[PDF] Baccalauréat S - 9 septembre 2019 - Corrigé

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?Corrigé du baccalauréat S?

Antilles-Guyane9 septembre2019

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

Une association offre à ses adhérents des paniers de légumes. Chaque adhérent a le choix entre trois

tailles de panier : un panier de petite taille, un panier de taille moyenne, et un panier de grande taille.

PartieA

L"association envisage de proposer en outre des livraisonsd"oeufs frais. Pour savoir si ses adhérents sont

intéressés, elle réalise un sondage. On interroge un adhérent au hasard. On considère les évènements suivants : •A: "l"adhérent choisit un panier de petite taille»; •B: "l"adhérent choisit un panier de taille moyenne»; •C: "l"adhérent choisit un panier de grande taille»; •F: "l"adhérent est intéressé par une livraison d"oeufs frais». On dispose de certaines données, qui sont résumées dans l"arbre ci-dessous : A 2 3F 3 4 F B1 4F 3 5 F C F F

1.Dans cette question, on ne cherchera pas à compléter l"arbre.

a."L"adhérent choisit un panier de petite taille et est intéressé par une livraison d"oeufs frais.»

est l"événementA∩F:P(A∩F)=P(A)×PA(F)=2

3×34=12.

b.P?

B∩

F? =P(B)×PB?B? =P(B)×(1-PB(B))=14×? 1-35? =110

La probabilité que l"adhérent choisisse un panier de taillemoyenne et qu"il ne soit pas inté-

ressé par une livraison d"oeufs frais est égale à 1 10.

c.La livraison d"oeufs frais ne sera mise en place que si la probabilité de l"évènementFest supé-

rieure à 0,6. D"après la formule des probabilités totales, DoncP(F)?0,65, donc la livraison d"oeufs frais sera mise en place.

2.Dans cette question, on suppose queP(F)=0,675.

a.PC(F)=P(F∩C) P(C)

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

•P(C)=1-23-14=112 P

C(F)=P(F∩C)

P(C)=0,0251

12=12×0,025=0,3

b.L"adhérent interrogéest intéressé par la livraison d"oeufsfrais. La probabilité qu"il ait choisi un

panier de grande taille estPF(C)=P(C∩F)

P(F)=0,0250,675≈0,04.

PartieB

1.La masse, en gramme, d"un panier de grandetaille peut êtremodélisée par une variable aléatoire,

notéeX, suivant une loinormale d"espérance 5000 et d"écart-type420. Un panier degrandetaille

est déclaré non conforme lorsque sa masse est inférieure à 4,5 kg.

On choisit au hasard un panier de grande taille.

La probabilité qu"il soit non conforme estP(X<4500) qui, arrondie au centième, donne 0,12.

2.Les responsables de l"association décident de modifier la méthode de remplissage. Avec cette

nouvelle méthode, la masse, en gramme, d"un panier de grandetaille est désormais modélisée

par une variable aléatoire, notéeY, suivant une loi normale d"espérance 5000 et d"écart-typeσ.

La probabilité qu"un panier de grande taille choisi au hasard soit non conforme est alors de 0,04.

On a doncP(Y<4500)=0,04.

SoitZ=Y-μ

σ=Y-5000σ.

D"après le cours, la variable aléatoireZsuit la loi normale centrée réduite.

Y<4500??Y-5000<-500??Y-5000

σ<-500σ

DoncP(Y<4500)=0,04 équivaut àP?

Z<-500

=0,04; à la calculatrice on trouve -500

σ≈-1,75069 ce qui donneσ≈286.

PartieC

Depuisplusieurs années, lesassociations distribuantdesproduitsfraisàleurs adhérentssedéveloppent

dans tout le pays et connaissent un succès grandissant.

Lors d"une émission de radio consacrée à ce sujet, un journaliste annonce que 88% des adhérents de

ces associations sont satisfaits; la proportion d"adhérents satisfaits est donc supposée être dep=0,88.

Unauditeur intervient dansl"émission pour contester le pourcentageavancépar lejournaliste. àl"appui

de son propos, l"auditeur déclare avoir réalisé un sondage auprès de 120 adhérents de ces associations

et avoir constaté que, parmi eux, seuls 100 ont indiqué être satisfaits. On va teste l"hypothèsep=0,88 sur un échantillon de taillen=120. n=120?30,np=105,6?5 etn(1-p)=14,4 donc on peut utiliser un intervalle de fluctuation asymp- totique au seuil de 95%. I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?

0,88-1,96?

0,88×0,12?120; 0,88+1,96?

0,88×0,12?120?

?0,822 ; 0,938? La proportion d"adhérents satisfaits dans l"échantillon de taille 120 estf=100

120≈0,833.

f?Idonc la contestation de l"auditeur n"est pas fondée.

Antilles-Guyane29 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

L"espace est rapporté à un repère orthonormé?

O ;-→ı,-→?,-→k?

On considère les points A(10; 0; 1), B(1; 7; 1) et C(0; 0; 5). z y x?? OC D A B FE

1. a.--→OA (10 ; 0 ; 1) et--→OB (1 ; 7 ; 1) donc--→OA.--→OB=10×1+0×7+1×1=11?=0 doncles vecteurs--→OA

et--→OB ne sont pas orthogonaux, donc les droites (OA) et (OB) ne sont pas perpendiculaires. b. --→OA.--→OB=OA×OB×cos?AOB donc cos?AOB=--→OA.--→OB

OA×OB

Or OA=?

102+02+12=?101 et OB=?12+72+12=?51.

Donc cos

?AOB=11 ?101×?51; on en déduit que la mesure en degrés, arrondie au dixième de

AOB est 81.

2.SoitQle plan d"équation 7x+9y-70z=0.

• 7xO+9yO-70zO=7×0+9×0-70×0=0 donc O?Q. • 7xA+9yA-70zA=7×10+9×0-70×1=0 donc A?Q. • 7xB+9yB-70zB=7×1+9×7-70×1=0 donc B?Q. Le plan (OAB) a donc pour équation cartésienne 7x+9y-70z=0.

3.Pour déterminer une représentation paramétrique de la droite (CA), on cherche les coordonnées

du vecteur--→OA : ce vecteur a pour coordonnées (10-0 ; 0-0 ; 1-5)=(10 ; 0 ;-4). La droite (CA) a donc pour représentation paramétrique : ?x=0+10k y=0+0k z=5-4ksoit???x=10k y=0 z=5-4koùk?R.

4.Soit D le milieu du segment [OC]. Les coordonnées de D sont donc (0 ; 0 ; 2,5).

Tout plan parallèle au plan (OAC) d"équation 7x+9y-70z=0 a une équation de la forme

7x+9y-70z+d=0.

Le planPest parallèle au plan (OAB) passe par D donc le réeldvérifie 7xD+9yD-70zD+d=0 soit 7×0+9×0-70×2,5+d=0, ce qui donned=175.

Le planPa donc pour équation 7x+9y-70z+175=0.

Antilles-Guyane39 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

5.Le planPcoupe la droite (CB) en E et la droite (CA) en F

Les coordonnées de F vérifient à la fois l"équation de la droite (CA) et l"équation du planP, donc

vérifient le système :???????x=10k y=0 z=5-4k

7x+9y-70z+175=0

Il s"agit donc de chercher le réelktel que 7(10k)+9(0)-70(5-4k)+175=0, autrement ditk=1 2.

Cela donnexF=10×1

2=5,yF=0 etzF=5-4×12=3.

Le point F a pour coordonnées (5 ; 0 ; 3).

On admet que le point E a pour coordonnées?1

2;72; 3?.

6.On va démontrer que la droite (EF) est parallèle à la droite (AB).-→EF a pour coordonnées?5-1

2; 0-72; 3-3?=?92;-72; 0?.

--→AB a pour coordonnées(1-10 ; 7-0 ; 1-1)=(-9 ; 7 ; 0).--→AB=-2-→EF donc les vecteurs-→EF et--→AB sont colinéaires, donc les droites (EF) et (AB) sont paral-

lèles.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

Soitgla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parg(x)=4x-xlnx. On admet que la fonctiongest dérivable sur ]0 ;+∞[ et on noteg?sa dérivée.

PartieA

Le graphique ci-contre représente une partie de la courbe représentative de la fonctiongobtenue par un élève sur sa calculatrice. Cet élève émet les deux conjectures suivantes : • il semble que la fonctiongsoit positive; • il semble que la fonctiongsoit strictement croissante.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

2345678910L"objectif de cette partie est de valider ou d"invalider chacune de ces conjectures.

1.Sur l"intervalle ]0 ;+∞[,

2.Sur l"intervalle ]0 ;+∞[.

Doncg(x)>0 sur ]0 ; e4[ etg(x)<0 sur ]e4;+∞[.

3.•g(x)<0 sur ]e4;+∞[ donc la première conjecture est fausse.

•g(1)=4>0 etg(e4)=0, doncg(1)>g(e4) alors que 1PartieB Dans cette partie, on poursuit l"étude de la fonctiong.

1. a.On rappelle que limt→+∞lnt

t=0.

Pour calculer lim

x→0xlnx, on poset=1 x; doncxlnx=1tln?1t? =-ln(t)t. lim x→0x>0t=+∞; or limt→+∞-lnt t=0 donc limx→0xlnx=0.

Antilles-Guyane49 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

b.limx→04x=0 et limx→0xlnx=0 donc limx→0g(x)=0

2. a.Pour tout réelxstrictement positif,g?(x)=4×1+1×lnx-x×1

x=4+lnx-1=3-lnx. b.Pour tout réelx>0,g?(x)>0??3-lnx>0??3>lnx??xx→+∞lnx=+∞ =?limx→+∞4-lnx=-∞ =?limx→+∞x(4-lnx)=-∞ =?limx→+∞g(x)=-∞

On dresse le tableau de variations de la fonctiongsur ]0 ;+∞[ : x0 e3+∞ g?(x)+++0--- e3 g(x)

0-∞

3.On désigne parGla fonction définie sur ]0 ;+∞[ parG(x)=14x2(9-2lnx).

On admet que la fonctionGest dérivable sur ]0 ;+∞[. a.Sur ]0 ;+∞[,G?(x)=1

42x×(9-2lnx)+14x2?

-2x? =9x2-xlnx-x2=4x-xlnx=g(x) doncG est une primitive degsur ]0 ;+∞[.

b.On cherche si l"affirmation suivante est vraie :"Il n"existe aucun réelαstrictement supérieur à 1 tel que?

1 g(x)dx=0.» 1 g(x)dx=G(α)-G(1) donc? 1 g(x)dx=0??G(α)-G(1)=0??G(α)=G(1)

G(1)=1

4×12(9-2ln1)=94

Il s"agit donc de savoir s"il existe un réelα>1 tel queG(α)=9 4. Le fonctionGest dérivable donc continue, et a pour dérivée la fonctiongdont on connaît le signe : on sait que six>e4,g(x)<0 donc la fonctionGest strictement décroissante sur l"intervalle?e4;+∞?. • lim x→+∞lnx=+∞ =?limx→+∞9-2lnx=-∞ =?limx→+∞1

4x2(9-2lnx)=-∞

=?limx→+∞G(x)=-∞ •G(e4)=1

4?e4?2?9-2ln?e4??=14e8(9-8)=e84>94

La fonctionGest continue, strictement décroissante sur?e4;+∞?; de plusG(e4)>9 4et lim

x→+∞G(x)= -∞. Donc, d"après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équa-

tionG(x)=9

4admet une solution unique sur?e4;+∞?.

L"affirmation proposée est donc fausse.

Antilles-Guyane59 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE45 points

Candidatsn"ayantpas suivi l"enseignementde spécialité

PartieA

1.On considère la suite?pn?définie pour tout entier natureln, parpn=n2-42n+4.

Affirmation1: La suite?pn?est strictement décroissante. p22=222-42×22+4=-436 etp23=232-42×23+4=-433 p

22

Affirmation1 fausse

2.Soitaun nombre réel. On considère les suites(un)et(vn)définies par :

•u0=aet, pour tout entier natureln,un+1=1

3?u2n+8;

•vn=u2n-1 pour tout entier natureln. Affirmation2: La suite(vn)est une suite géométrique.

Pour toutn,vn=u2n-1 doncu2n=vn+1.

v n+1=u2n+1-1=?1

3?u2n+8?

2 -1=19?u2n+8?-1=19u2n+89-1=19(vn+1)-19 =1

9vn+19-19=19vn

Donc la suite (vn) est géométrique de raison1 9.

Affirmation2 vraie

3.On considère une suite(wn)qui vérifie, pour tout entier natureln,n2?(n+1)2wn?n2+n.

Affirmation3: La suite(wn)converge.

Pour toutnnon nul,

n

2?(n+1)2wn?n2+n??n2

(n+1)2?wn?n2+n(n+1)2 ?n n+1?

2?wn?n2+nn2+2n+1

1

1+1n)))

2 ?wn?1+1 n

1+2n+1n2

lim n→+∞1 n=limn→+∞1n2=0 donc limn→+∞(((

11+1n)))

2 =1 et limn→+∞1+1 n

1+2n+1n2=1.

D"après le théorème des gendarmes, on peut en déduire que lim n→+∞wn=1.

Donc la suite (wn) converge.

Affirmation3 vraie

PartieB

On considère la suite

(Un)définie parU0=1

2et, pour tout entier natureln,Un+1=2Un1+Un.

1.U1=2U0

1+U0=2×1

2 1+12= 1 3 2= 2 3

2.On va démontrer par récurrence, pour tout entier natureln, la propriétéPn:Un=2n

1+2n.

Antilles-Guyane69 septembre 2019

Corrigédu baccalauréat SA. P. M. E. P.

•InitialisationPourn=0,2n

1+2n=201+20=11+1=12=U0donc la propriété est vraie au rang 0.

•HéréditéOn suppose la propriété vraie pour un entier naturelnquelconque; on va démontrer que la

propriété est vraie au rangn+1. U n+1=2Un

1+Un=22n

1+2n

1+2n1+2n=

2×2n

Donc la propriété est vraie au rangn+1.

•ConclusionLapropriété estvraie aurang 0etelle est héréditairepour toutn?0;donc,d"après leprincipe

de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier natureln. On a donc démontré que, pour tout entier natureln, on aUn=2n 1+2n.

3.On considère les trois algorithmes suivants dans lesquels les variablesn,petusont du type

nombre. Pour un seul de ces trois algorithmes la variableune contient pas le termeUnen fin d"exécution.

Algorithme 1Algorithme 2Algorithme 3

u←12i←0

Tant quei u←2u u+1i←i+1

Fin Tant que

u←12Pouriallant de 0 àn u←2u u+1Fin Pour p←2n u←p p+1 Dans l"algorithme 2, le nombreivarie entre 0 etndonc prendn+1 valeurs; la valeur deuen sortie est doncUn+1. L"algorithme 2 ne convient donc pas.

EXERCICE45 points

Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité Une ville possède deux ports maritimes : un port de plaisanceA, un port de commerce B.

Le port de plaisance A n"a pas d"accès direct à l"océan mais est relié au port de commerce B qui, lui, est

ouvert sur l"océan. Un passant, installé en terrasse sur le port de plaisance A, jette une bouteille dans

l"eau. À l"instant 0, la bouteille se trouve dans le port A.

Soitnun entier naturel. On admet que :

• quand labouteille estdansleportAauboutdenheures,laprobabilitéqu"elle ysoitencorel"heure suivante est 3 5;

• quand la bouteille est dans le port B au bout denheures, la probabilité qu"elle soit dans le port A

l"heure suivante est 1

10et la probabilité qu"elle se trouve toujours dans le port B l"heure suivante

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