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Nouvelle Calédonie novembre 2019

EXERCICE 2 5 points

On considère la fonction f définie sur [0;+∞[ par : f(x)=ln(3x+1 x+1). On admet que la fonction f est dérivable sur [0;+∞[ et on note f' sa fonction dérivée. On note cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

Partie A

1. Déterminer limx→-∞f(x) et en donner une interprétation graphique.

2.a. Démontrer que pour tout nombre réel positif ou nul, f'(x)=2

(x+1)(3x+1)

2.b. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur [0;+∞[.

Partie B

Soit (un) la suite définie par :

u0=3 et, pour tout entier naturel n, un+1=f(un).

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1

2⩽un+1⩽un.

2. Démontrer que la suite (un) converge vers une limite strictement positive.

Partie C

On note L la limite de la suite

(un). On admet que f(L)=L. L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de L. On introduit pour cela la fonction g définie sur [0;+∞[par g(x)=f(x)-x. On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction g sur [0;+∞[ où x0=-2+

3=0,215

et g(x0)=0,088, en arrondissant à 10-3.

1. Démontrer que l'équation

g(x)=0 admet une unique solution strictement positive. On la note α.

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2.a. Recopier et compléter l'algorithme ci-après afin que la dernière valeur prise par la variable x soit

une valeur approchée de αpar excès à 0,01 près.

2.b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme.

3. En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite L de la suite (un).

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CORRECTION

Partie A

1. Pour tout nombre réel x de [0;+∞[ f(x)=ln(3x+1

x+1).

Remarque

Pour tout réel x positif ou nul : 3x+1

x+1>0. limx→+∞ 3x+1 x+1= 3

1=3 et limX→3ln(X)=ln(3) donc limx→+∞f(x)=ln(3)

La droite d'équation y=ln(3) est une asymptote horizontale à la courbe représentative de f en +∞.

2.a. (ln(u))'=u'

u u(x)=3x+1 x+1 u'(x)=(x+1)×3-(3x+1)×1 (x+1)2=3x+3-3x-1 (x+1)2=2 (x+1)2 u'(x) u(x)=2 (x+1)2×x+1

3x+1=2

(x+1)(3x+1) f'(x)=2 (x+1)(3x+1)

2.b. Pour tout nombre réel positif ou nul, f'(x)>0.

Donc f est strictement croissante sur [0;+∞[ ;

Partie B

u0=3 et pour tout entier naturel n, un+1=f(un).

1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :

2⩽un+1⩽un.

Initialisation

u0=3 f(u0)=u1=3×3+1

3+1=10

4=5

2=2,5 donc 1

2⩽u1⩽u0 et la propriété est vérifiée pour n=0.

Hérédité

Pour démontrer que la propriété est vérifiée pour tout entier naturel n, on suppose que

2⩽un+1⩽un et on doit démontrer que 1

2⩽un+2⩽un+1.

f est une fonction croissante sur [0;+∞[ donc Si 1

2⩽un+1⩽un alors f(1

2)⩽f(un+1)⩽f(un)

Or f(1

2)=ln(3×0,5+1

0,5+1)=ln(2,5

1,5)=ln(5

3)= 0,51à 10-2 près donc 1

2⩽f(1

2) f(un+1)=un+2 et f(un)=un+1.

Conséquence :

2⩽un+2⩽un+1 Conclusion

Le principe de récurrence nous permet d'affirmer que pour tout entier naturel n, 1

2⩽un+1⩽un

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2. Pour tout entier naturel n, un+1⩽un donc (un) est décroissante, et 1

2⩽un donc (un) est une suite

minorée par 1 2.

La suite

(un) est décroissante et minorée par 1

2 donc (un) est une suite convergente et sa limite

L⩾1

2>0.

Partie C

1. Sur

]0;x0] g est strictement croissante donc si 00 et limx→+∞ g(x)=-∞.

0 appartient à l'intervalle ]-∞;g(x0)]

Le Théorème des valeurs intermédiaires nous permet que l'équation g(x)=0 admet une solution

unique

α appartenant à [x₀;+∞[.

2.a.

2.b. On peut utiliser l'algorithme pas à pas avec la calculatrice, les calculs sont un peu longs, on obtient

0,53. . On propose un programme Python.

Programme

Exécution

. On peut obtenir aussi cette valeur par balayage. g(0,52)=1,3×10-3>0 et g(0,53)=-3,61×10-3

3. g(L)=f(L) - L donc

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Partie A

1. Déterminer limx→-∞f(x) et en donner une interprétation graphique.

2.a. Démontrer que pour tout nombre réel positif ou nul, f'(x)=2

2.b. En déduire que la fonction f est strictement croissante sur [0;+∞[.

Partie B

Soit (un) la suite définie par :

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 1

2⩽un+1⩽un.

2. Démontrer que la suite (un) converge vers une limite strictement positive.

Partie C

On note L la limite de la suite

3=0,215

1. Démontrer que l'équation

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2.a. Recopier et compléter l'algorithme ci-après afin que la dernière valeur prise par la variable x soit

2.b. Donner alors la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme.

3. En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite L de la suite (un).

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CORRECTION

Partie A

1. Pour tout nombre réel x de [0;+∞[ f(x)=ln(3x+1

Remarque

Pour tout réel x positif ou nul : 3x+1

1=3 et limX→3ln(X)=ln(3) donc limx→+∞f(x)=ln(3)

2.a. (ln(u))'=u'

3x+1=2

2.b. Pour tout nombre réel positif ou nul, f'(x)>0.

Partie B

1. On veut démontrer en utilisant un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, on a :

2⩽un+1⩽un.

Initialisation

3+1=10

2=2,5 donc 1

2⩽u1⩽u0 et la propriété est vérifiée pour n=0.

Hérédité

2⩽un+1⩽un et on doit démontrer que 1

2⩽un+2⩽un+1.

2⩽un+1⩽un alors f(1

2)⩽f(un+1)⩽f(un)

2)=ln(3×0,5+1

0,5+1)=ln(2,5

1,5)=ln(5

3)= 0,51à 10-2 près donc 1

2⩽f(1

Conséquence :

2⩽un+2⩽un+1 Conclusion

2⩽un+1⩽un

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2. Pour tout entier naturel n, un+1⩽un donc (un) est décroissante, et 1

2⩽un donc (un) est une suite

La suite

2 donc (un) est une suite convergente et sa limite

L⩾1

Partie C

1. Sur

0 appartient à l'intervalle ]-∞;g(x0)]

α appartenant à [x₀;+∞[.

2.b. On peut utiliser l'algorithme pas à pas avec la calculatrice, les calculs sont un peu longs, on obtient

Programme

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3. g(L)=f(L) - L donc

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