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Terminale ES - Problème avec des exponentielles : exercice 4 du sujet du bac ES Pondichéry du 17 avril 2012.
Adapté aux nouveaux programmes de 2012.
Énoncé
Partie A :
On considère la fonction f définie sur [0;8] par : f(x)=(?4x2+5)e?x+3.On note (
V) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.On note
f' la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle [0;8].1) a) Démontrer que pour tout x ? [0;8], on a f'(x)=(4x2?8x?5)e?x.
b) Étudier le signe de la fonction f' sur l'intervalle [0;8]2) a) Calculer une valeur exacte de f(8) et prouver que f(8) est strictement inférieur à 3.
b) Calculer une valeur exacte de f( 52) et prouver que f(
52) est strictement inférieur à 3.
3)Dresser le tableau de variations de f sur [0;8] en y indiquant les valeurs exactes de f(0), f(
5 2) et f(8).4) Justifier que l'équation f(x)=3 admet une solution x0 et une seule sur l'intervalle [0;8]. Donner une valeur
approchée de x0 à 10-1 près.Partie B.
Une entreprise produit de la peinture qu'elle vend ensuite. Toute la production est vendue. Le coût moyen
unitaire de cette production peut être modélisé par la fonction f de la partie A. Pouxx hectolitres de peinture fabriqués (avec x ? [0,5;8]), le nombre f(x) désigne le coût moyen unitaire
de production par hectolitre de peinture, exprimé en centaines d'euros (on rappelle qu'un hectolitre est égal à
100 litres).
Dans la suite de l'exercice, on utilise ce modèle. On pourra utiliser les résultats de la partie A.
Chaque réponse sera justifiée.
1) Déterminer le coût moyen unitaire de production en euros, arrondi à l'euro près, pour une production de 500
litres de peinture.2) a) Combien de litres de peinture l'entreprise doit-elle produire pour minimiser le coût moyen unitaire de
production ? Quel est alors ce coût, à l'euro près ?b) Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 100 €. À l'aide de la question précédente,
déterminer si l'entreprise peut réaliser des bénéfices.Pour cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise
en compte dans l'évaluation.3) Le prix de vente d'un hectolitre de peinture est fixé à 300 €. On appelle seuil de rentabilité la quantité à partie
de laquelle la production est rentable, c'est-à-dire qu'elle permet à l'entreprise de réaliser un bénéfice. Quel est
le seuil de rentabilité pour cette entreprise ?Terminale ES - Adaptation de l'exercice 3 du bac Pondichéry avril 2012 - Problème exponentielles -1/3
Corrigé
Partie A
f est la fonction définie sur [0;8] par f(x)=(?4x2+5)e?x+3.1) a) f(x) est de la forme u(x)×v(x)+3 avec u(x)=?4x2+5, u'(x)=?4×2x+0=?8x,
v(x)=e?x et v'(x)=?e?x. Donc Donc f'(x)=(?8x+4x2?5)e?x donc f'(x)=(4x2?8x?5)e?x ? x ? [0;8]. b) Comme pour tout réel X, eX>0, pour tout x de [0;8], on aura e?x>0.Le signe de
f'(x) sera donc celui du trinôme 4x2?8x?5. Les racines du trinôme 4x2?8x?5 sont donc x1=8?122×4=?4
2×4=?1
2 et x2=8+12
2×4=20
2×4=5
2. Sur ℝ, le signe du trinôme 4x2?8x?5 serait : x-∞ ?1 2 52 +∞
4x2?8x?5 + 0 - 0 +
Sur [0;8], le signe du trinôme, tout comme celui de f'(x) est : x0 52 8
4x2?8x?5
ou f'(x) - 0 +2) a) f(8)=(?4×82+5)e?8+3 f(8)=?251e?8+3.
Comme pour tout réel
x, ex>0, on a e?8>0 donc ?251e?8<0 (en multipliant les deux membres par même nombre négatif -251) donc ?251e?8+3<3 (en additionnant 3 aux deux membres), donc f(8)<3. b) f( 52)=(?4×(
5 2) 2 +5)e ?52+3=(?4×25 4+5)e ?52+3=(?25+5)e ?52+3 donc f( 52)=?20e
?52+3.Comme pour tout réel
x, ex>0, e ?52>0 donc ?20e ?52<0 donc ?20e ?52+3<3, soit f(?5 2)<3.3)x0 5
2 8
signe de f'(x) - 0 + variations def 8 ?251e?8+3
?20e ?52+3 f(0)=(4×02+5)e?0+3=5×1+3=8Terminale ES - Adaptation de l'exercice 3 du bac Pondichéry avril 2012 - Problème exponentielles -2/3
4) Sur l'intervalle [
52;8] :On a prouvé que f(8) est inférieur à 3. De plus, la fonction f est strictement
croissante sur l'intervalle , donc son maximum sur cet intervalle est f(8). Comme f(8)<3, l'équation f(x)=3 ne peut pas avoir de solution sur l'intervalle [ 5 2;8].Sur l'intervalle
[0;52], la fonction f est continue car dérivable, strictement décroissante. f(0)=8 donc f(0)>3 et f( 52)<3. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=3
admet une solution unique dans [0;52].Bilan des études sur
[0;52] et sur [ 52;8] : l'équation f(x)=3 admet une solution x0 et une seule dans
l'intervalle [0;8], et cette solution est dans l'intervalle ]0;52[. En effectuant un balayage de pas 0,1 de l'intervalle [0;2,5] à la calculatrice, on trouve : f(1,1)>3 et f(1,2)<0. Donc 1,1Partie B
1) 500 L=5 hectolitres. f(5)≈2,3598 d'après la calculatrice. 2,3598 centaines d'euros = 235,98 euros.
À l'euro près, le coût moyen unitaire de production d'un hectolitre de peinture pour une production de 500
euros, à l'euro près, est de 236 €.2) a) On a vu dans la partie I que f admet un minimum sur [0;8] en x=5
2=2,5. Pour minimiser le coût
moyen unitaire de production, l'entreprise doit donc produire 2,5 hL soit 250 L de peinture. f 52)=?20e
?52+3≈1,36 Le coût de production unitaire est alors de 136 € à l'euro près, pour un hectolitre
de peinture.b) On a vu à la question précédente que le coût de production minimal était d'environ 136 €. 136>100. Si le
prix de vente de l'hectolitre de peinture est de 100 €, l'entreprise sera en déficit d'au moins 35 € par hectolitre.
3) Le bénéfice éventuel, en centaines d'euros, pour x hL produits, est de 3?f(x).
Le seuil de rentabilité pour cette entreprise est la plus petite des valeurs de x située dans [0;8] telle que3?f(x)=0. (vue l'étude des variations de f : on part en 0 d'une valeur supérieure à 3 puis la fonction est
continue et décroissante et prend des valeurs inférieures à 3).3?f(x)=0? 3?[(?4x2+5)e?x+3]=0 ? 3?(?4x2+5)e?x?3=0 ? ?(?4x2+5)e?x=0.
Un produit est nul lorsque l'un au moins de ses facteurs est nul. Or e?x ne peut pas s'annuler car pour tout réel
x, e?x>0. Donc 3?f(x)=0 ? ?(?4x2+5)=0 ? 4x2?5=0 ? 4x2=5 ? x2=5 43?f(x)=0? x=⎷
54 ou x=?⎷
54 ? x=⎷5
2 ou x=?⎷5
2.Comme seule
⎷52 est dans l'intervalle [0;8], c'est la valeur à garder pour le seuil de rentabilité. ⎷5
2≈0,1118 ,
le seuil de rentabilité est donc d'environ 1,118 hL, soit111,8 L.
Terminale ES - Adaptation de l'exercice 3 du bac Pondichéry avril 2012 - Problème exponentielles -3/3
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