[PDF] Méthodes analytiques pour létude des singularités en géométrie

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ETHODES ANALYTIQUES POUR L'ETUDE DES SINGULARITES

EN G

EOMETRIE COMPLEXE

par

Henri GuenanciaResume. |Nous donnons dans ce travail un panorama des methodes recentes et fondamentales

dans l'etude des singularites des fonctions plurisousharmoniques, avec en point de mire le theoreme de semi-continuite de l'exposant de singularite complexe, demontre par Demailly et Kollar. On pre-

sentera d'abord un apercu de la notion de fonction plurisousharmonique, avant d'introduire les objets

caracteristiques qu'on leur attache pour mesurer leurs singularites. Au passage, nous donnons une des-

cription precise de l'ideal multiplicateur associe a une fonction psh radiale, etendant ainsi le theoreme

de Howald au cadre analytique. On evoquera ensuite les resultats fondamentaux de la theorieL2, du theoreme d'extension d'Ohsawa-Takegoshi au theoreme d'annulation de Nadel, puis nous proposons une denition analytique des ideaux adjoints, nous permettant de retrouver une version qualitative du theoreme de Manivel. Alors, en utilisant de maniere cruciale les resultats d'approximation de Demailly, nous donnerons la preuve du theoreme de semi-continuite. Enn, nous donnerons une ap- plication naturelle de ce dernier resultat, a savoir un critere geometrique d^u a Nadel garantissant l'existence de metriques de K ahler-Einstein sur les varietes de Fano. sous la direction de Sebastien Boucksom iiHENRI GUENANCIA

REMERCIEMENTS

En premier lieu, je tiens a remercier tres chaleureusement Sebastien Boucksom, qui, avec une genereuse disponibilite, m'a initie a la complexite de la recherche, m'a engage et guide dans des voies fecondes et passionnantes, et a constamment accorde bienveillance et inter^et a mes questions les plus diverses.

Je voudrais aussi remercier Andreas H

oring, dont l'enseignement m'a fait decouvrir la geometrie complexe et qui m'a donne l'envie de continuer a en faire... tous les jours! Enn, je souhaite exprimer ici mon amicale gratitude envers Olivier Ta bi, que j'ai bien souvent sollicite, et qui a toujours accepte de faire de mes interrogations les siennes. M

ETHODES ANALYTIQUES EN GEOMETRIE COMPLEXEiii

Table des matieres

Remerciements.. ............................................................ ii Partie I. Plurisousharmonicite.. ............................................ 1

1. Fonctions sous-harmoniques

. .. ...............................................1

2. Fonctions psh

. .. .............................................................4

3. Fonctions quasi-psh

. .. .......................................................8

4. Pseudoconvexite

. .. ...........................................................10 Partie II. La theorieL2.. .................................................... 12

5. MethodesL2pour la resolution du@.. ...................................... 12

6. Le theoreme d'Ohsawa-Takegoshi

. .. .........................................16 Partie III. Mesurer les singularites des fonctions psh.. .................. 20

7. Les nombres de Lelong

. .. ...................................................20

8. Exposant de singularite complexe

. .. .........................................22

8.1. Un nouvel invariant pour les singularites

. .. ...........................22

8.2. Exposant de singularite holomorphe

. .. ...............................24 8.3. Enonce du theoreme de semi-continuite. .. .............. .............27

9. Les faisceaux d'ideaux multiplicateurs

. .. .....................................29

10. L'exemple des fonctions psh radiales

. .. .....................................32

10.1. Ideaux multiplicateurs des fonctions psh radiales

. .. .................32

10.2. Exemples

. .. .........................................................35 Partie IV. Les ideaux multiplicateurs en geometrie complexe.. ........ 39

11. Approximation des fonctions psh

. .. .........................................39

12. Le theoreme d'annulation de Nadel

. .. .......................................45

13. Ideaux adjoints analytiques

. .................................................47

13.1. Restriction et adjonction

. .. .........................................47

13.2. Ideal adjoint associe a une fonction psh

. .. ...........................49

13.3. Comparaison des ideaux adjoints algebriques et analytiques

. .. . . . . . 51

13.4. Retour au faisceauAdj0H('). .. .....................................58

Conclusion : le point de vue valuatif

. .. .........................................62 Partie V. Semi-continuite de l'exposant de singularite complexe.. . . . . 64

14. Sous-additivite de l'exposant de singularite holomorphe

. .. ......... ........64

15. Semi-continuite dans le cas holomorphe

. .. .................................65

16. Semi-continuite de l'exposant de singularite psh

. .. .........................68

Partie VI. Metriques de K

ahler-Einstein sur les varietes de Fano.. . . 74

17. Position du probleme

. .. .....................................................74

17.1. Le tenseur de Ricci

. .. ...............................................75

17.2. Metriques de K

ahler-Einstein. .. .....................................78

18. La methode de continuite

. .. ...............................................80

19. Critere de Nadel sur l'existence de metriques de K

ahler-Einstein. .. .........83 ivHENRI GUENANCIA

References

. .. ...................................................................86 M

ETHODES ANALYTIQUES EN GEOMETRIE COMPLEXE1

PARTIE I

PLURISOUSHARMONICIT

E Dans cette partie, nous faisons un tour d'horizon de la notion de fonction plurisousharmonique en se concentrant aussi sur la notion d'exposant de singularite complexe, qui est l'objet du theoreme de semi-continuite de Demailly et Kollar que nous demontrerons dans la troisieme partie. Si les fonctions plurisousharmoniques ont ete introduites il y a deja quelques temps (1942), certains

outils essentiels tels que les faisceaux d'ideaux multiplicateurs sont eux plut^ot recents (annees 90),

et ainsi l'objectif de cette premiere partie va ^etre d'introduire naturellement la notion de pluri- sousharmonicite an de preparer a la deuxieme partie qui expliquera les methodes modernes et presentera quelques resultats recents. Dans cette section, qui se veut un apercu susamment general pour la suite de la theorie des

fonctions plurisousharmoniques, nous ne donnerons pas toutes les preuves (loin de la!), car elles sont

essentiellement presentes dans les livres de references [Dem], [Ho94], [Lel68] ou encore [Kra92], et les recopier systematiquement ne presente vraisemblablement pas beaucoup d'inter^et.

Nous avons choisi de ne pas redenir la notion de courant, et en particulier celle de courant positif,

en preferant renvoyer le lecteur a l'article introductif d'une grande clarte de Jean-Pierre Demailly [Dem92].

1. Fonctions sous-harmoniques

La notion de fonction sous-harmonique est assez large, et est a la base une notion developpee en

dimension reelle egale a deux, en lien etroit avec le probleme de Dirichlet. Dans [Kra92], l'approche

choisie est de denir une fonction sous-harmonique par une propriete de type qualitatif, en pratique dicilement veriable ad hoc. Ici, nous donnons directement une denition maniable, pour en deduire ensuite les proprietes at- tendues. Pour simplier l'ecriture, on va xer quelques notations concernant les moyennes sur les boules ou les spheres d'une fonction borelienneu(majoree ou minoree) sur une bouleB(a;r)Rn:

B(u;a;r) :=1(B(a;r))Z

B(a;r)u(x)d(x);

S(u;a;r) :=1(S(a;r))Z

S(a;r)u(x)d(x):

Denition 1.1. |Soi tu:

Rn![1;+1[ une fonction semi-continue superieurement. On dit queuest sous-harmonique si pour toute bouleB(a;r) , on a u(a)6B(u;a;r): En fait, on peut de maniere equivalente demander l'inegalite sur des spheres :

Proposition 1.2. |Soitu:

Rn![1;+1[une fonction semi-continue superieurement.

Alors on a equivalence :

2HENRI GUENANCIA

(i)u est sous-harmonique; (ii)u(a)6S(u;a;r);8B(a;r)

Remarque 1.

Une remarque importante est qu'une fonction sous-harmonique est determinee par sa donnee presque partout : en eet, on a l'inegalite suivante pour toutz02 limsup r!0sup z2B(z0;r)u(z)6u(z0)6limsup r!0B(u;a;r)6limsup r!0sup z2B(z0;r)u(z) gr^ace a la semi-continuite superieure pour l'inegalite de gauche, et par denition de la sous- harmonicite pour l'inegalite de droite. Ainsiu(z0) = limsupr!0B(u;a;r) est determinee par sa valeur sur un ensemble de mesure pleine. Des denitions, on peut deduire sans grande diculte deux proprietes fondamentales des fonc- tions sous-harmoniques :

Theoreme 1.3. |Si

est connexe et siuest sous-harmonique sur , alors soitu 1, soit u2L1loc( Ce resultat de locale integrabilite est important car il nous permet de voir une fonction sous-

harmonique comme une distribution, et en particulier d'etudier les proprietes dierentielles de telles

fonctions. On conna^t bien le principe du maximum pour les fonctions holomorphes (plus precisement leur module); en fait l'enonce se generalise a la vaste classe des fonctions sous-harmoniques : Theoreme 1.4(Principe du maximum). |Siuest sous-harmonique sur , alors : sup u= limsup 3z!@ [f1gu(z): On passe maintenant aux proprietes de type dierentiel, c'est a dire essentiellement faisant usage du laplacien. Pour commencer, en utilisant la formule de Green, on peut montrer (cf [Dem]) qu'on dispose de la formule suivante, appelee parfois formule de Gauss : (1.1)S(u;a;r) =u(a) +1n Z r 0

B(u;a;t)tdt:

Remarque 2.

Ceci montre qu'une fonctionude classeC2est sous-harmonique si et seulement si son laplacien verie u>0. Le resultat suivant, qui permet d'approcher de maniere decroissante une fonction sous-harmonique par des fonctions lisses va ^etre d'un usage systematique par la suite : Theoreme 1.5. |Soituune fonction sous-harmonique sur telle queu6 1sur chaque composante connexe de Alors pour toute famille()de noyaux radiaux regularisants, alorsu?est sous-harmonique lisse sur =fx2 ;d(x;c )> g, et de plus la famille(u?)est croissante enetlim!0u?=u. M

ETHODES ANALYTIQUES EN GEOMETRIE COMPLEXE3

Demonstration. |O ncomm encepar le c aso uuestC2. Alors, si(x) =e(jxj), etn1= (S(a;r))r1n: (1.2)u ? (a) =Z

B(0;1)u(a+x)(x)d=n1Z

1 0

S(u;a;t)e(t)tn1dt:

Or, la formule de Gauss

1.1 n ousmon treq ueS(u;a;r) est croissante enr, donc7!u ? (a) est bien croissante.

Dans le cas general, il est facile de voir queuest sous-harmonique si et seulement si on a l'inegalite

u6u ? rsur r;8r >0; ourdesigne la (densite de la) mesure de probabilite uniforme surB(0;r). Ainsi, comme la convo- lution par une fonction positive preserve l'ordre, on au?6u??rsur r+et doncu?est sous-harmonique lisse sur On peut donc appliquer le resultat de croissance deja montre dans le cas lisse pour dire que u ? ? est croissant en, et par symetrie, il est croissant en, et il en est donc de m^eme de lim !0u ? ? =u ? .

Enn, comme

n1Z 1 0 e(t)tn1dt= 1; l'equation ( 1.2 ) montre queu ? >u; de plus la remarque1 j ointeau pr inciped um aximum montre queu= limsupr!0S(u;;r), et alors le lemme de Fatou (on peut se ramener au cas ouu est negative au voisinage du point considere, par semi-continuite inferieure) applique a l'equation 1.2 ) montre qu'on a limsup

!0u ? 6u, donc nalement, lim!0u ? =uce qui conclut.Muni du theoreme precedent, on peut enoncer un resultat crucial reliant la notion de sous-

harmonicite, intrinsequement liee a des proprietes de moyennes, a une propriete dierentielle, qui est le prolongement naturel de la remarque 2 Theoreme 1.6. |Soituune fonction sous-harmonique sur telle queu6 1sur chaque composante connexe de . Alorsuest une mesure positive.

Reciproquement, siv2 D0(

)est telle quevest une mesure positive, alors il existe une unique fonctionusous-harmonique sur telle quevsoit la distribution associee au. Demonstration. |L' ideee stde con sidererv=v ? qui est sous-harmonique et lisse d'apres le casC2. On voit ensuite que (v) est croissant en, donc on peut construire sa limite simpleu, sous-harmonique. Alors, commevtend faiblement versv, le theoreme de convergence monotone montre queurepresente bienv. Quant a l'unicite, elle reside dans le fait qu'il existe une unique fonction sous-harmonique qui co ncide avecupresque partout, ajoute au fait que deux fonctions

localement integrables egales au sens des distributions sont egales presque partout.Pour nir, on donne le resultat suivant, point cle dans le theoreme de Hartogs concernant le

prolongement des fonctions holomorphes denies en dehors d'un compact en dimension complexe superieure ou egale a 2. Nous nous en servirons lors de l'etude des fonctions quasi-psh, et plus precisement pour etablir un theoreme de compaciteLp.

4HENRI GUENANCIA

Theoreme 1.7(Lemme d'Hartogs). |Soit(un)une suite de fonctions sous-harmoniques sur Rmlocalement uniformement majorees. On suppose que limsup n!+1un(x)6M pour toutx2 , et pour une certaine constanteM. Alors pour tout >0et tout compactK il existe un entiern0tel que pour toutn>n0, sup x2Kun(x)6M+: Demonstration. |Le r esultates tlo cal,d oncon p euts upposerq uet outesl esfon ctionsunsont negatives, etM60. Puis, par compacite deK, on se ramene a prouver que pour tout >0 et a2 , il existe >0 etn02Ntels que pourn>n0, on ait sup x2B(a;)u n(x)6M+:

On xe donca2

et >0. On considere alorsr >0 tel queB(a;r) , puis on choisit un >0 tel que

B(a;r+ 2)

, etrr+ m M+2 < M+:

Alors, le lemme de Fatou nous dit que

limsup n!+1B(un;a;r)6B(limsup n!+1un;a;r)6M: Alors, on choisitn0tel que pourn>n0, on aitB(un;a;r)6M+2 . Enn, pour toutx2B(a;), on a : u n(x)6B(un;a;r+)6rm(r+)mB(un;a;r) carunest negative, etrm(B(a;r))1est une constante independante der. En regroupant tout ce qui a ete dit, on conclut tres facilement.2. Fonctions psh Il y a de nombreuses manieres d'introduire les fonctions psh, car, comme toutes les notions fonda- mentales, la notion de plurisousharmonicite peut s'aborder de dierents points de vue. L'approche la plus naturelle consiste peut-^etre a dire, en suivant [Lel68] dans son article fondateur, qu'une fonction psh (sur un ouvert deCn) est la version complexe d'une fonction convexe (sur un ouvert deR2n). Ou encore que la plurisousharmonicite est la version geometrique, au sens complexe, de la notion de sous-harmonicite. Soyons maintenant un peu plus precis. Une fonctionf, disonsC2si l'on veut eviter le langage des distributions pour le moment, sur un ouvert deR2nest convexe si, par denition, sa hessienne (reelle)@2f@x i@xj(a) i;j est positive (on dit parfois semi-positive pour eviter les confusions avec l'an- glais) en tout pointa. M

ETHODES ANALYTIQUES EN GEOMETRIE COMPLEXE5

Alors une fonctionude classeC2sera dite psh si sa hessienne complexe @2u@z i@zj(a) i;j est semi- positive pour touta.

Pour avoir une denition general, il nous faut cependant le langage -tres pratique- des distributions :

Denition 2.1. |Soi t

un ouv ert( connexe)d eCn, alors une fonctionu: ![1;+1[ est dite plurisousharmonique (psh) si elle est identiquement egale a1, ou si elle est semi-continue superieurement (scs), localement integrable, et si pour tout vecteur= (1;:::;n)2Cnet tout pointa2 , la distribution

Hu() :=X

16i;j6n@

2u@z i@zk(a)ij2 D0( est une mesure positive.

Remarque 3.

Par commodite d'ecriture, on a deni la notion de fonction psh sur un ouvert connexe. Bien s^ur, cette notion s'etend a un ouvert quelconque en demandant d'^etre psh sur toute composante connexe. On note alors Psh(quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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