Polycopié dexercices et examens résolus: Mécanique du point
Déterminer les composantes du vecteur tel que la base
Le travail manuel à lécole primaire et au Certificat dEtudes
Tangentes au cercle et cercles tangents. JANVIER. – 1re SEMAINE d'arithmétique rencontrées au cours de l'exercice le dessin géométrique consistant à.
Mécanique des sols I - Chapitre IV Résistance au cisaillement des sols
4- Mesure au laboratoire des caractéristiques de rupture. 5- Remarques qualitatives. 1. Rupture des sols. 2. Rappels contraintes. 3. Cercle de.
Exercices dOptique
tracer la tangente en M au cercle de rayon 1/n1 ; 3) `A l'aide d'une calculatrice déterminer A et B par régression ... Rép : 1) § Cf. Cours Gt =.
PRODUIT SCALAIRE DANS 2 Etude analytique (2) -Applications
Cours PRODUIT SCALAIRE (cercle) 3 r = Solution : l'équation cartésienne du cercle est : (? ): (. ) ... 4) cercle définie par trois points ou Cercle.
Exercices de mathématiques - Exo7
Construire un cercle tangent à deux droites données et passant par un point donné. [007498]. Exercice 7499 Questions de cours.
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3. Quadrature du cercle. (a) Calculer une équation de la tangente à ( ) en un point Mt. (b) La tangente en M1 (pour t = 1) coupe l'axe des ordonnées en N.
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11 janv. 2021 Création d'exercices avec des nombres aléatoires . ... 12.7.3 Cercles disques et ellipses . ... 17.5.4 Comme aux examens .
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Exercice 1. On donne la droite d d'équation 3x-2y-6=0 et le point A(4; 3). Calculer l'équation du cercle c qui passe par le point P(-2;
Olympiades Nationales de Maths 2020 : Sujet + Corrigé
Les autres candidats doivent traiter les exercices nationaux 1 et 3. On dit qu'un cercle est inscrit dans un polygone si ce cercle est tangent à tous ...
Propriétés physiques des sols
• Chapitre IIHydraulique des sols
• Chapitre IIIDéformations des sols
• Chapitre IVRésistance au cisaillement des sols
Mécanique des sols I
• Représenter les états de contraintes dans les sols • Étudier la résistance au cisaillement des sols à partir d'essais en laboratoire • Évaluer le comportement des sols à court et long termeChapitre IVRésistance au cisaillement des sols
Objectifs de ce chapitre
1- Notions élémentaires sur la rupture des sols
2- Rappels sur les contraintes - conventions
3- Cercle de Mohr-Coulomb et conséquences
4- Mesure au laboratoire des caractéristiques de rupture
5- Remarques qualitatives
1. Rupture des
sols2. Rappels
contraintes3. Cercle de
Mohr4. Mesure au
laboratoire5. Remarques
qualitativesProblème de mécanique des sols
• tassements admissibles • contraintes appliquées inférieures à la rupture cisaillementChapitre IVRésistance au cisaillement des sols
1- Notions élémentaires - rupture des sols
1. Rupture des
sols2. Rappels
contraintes3. Cercle de
Mohr4. Mesure au
laboratoire5. Remarques
qualitatives • petites déformations • loi de comportement linéaire• grandes déformations : plasticité parfaite • calcul à la rupture tassements résistance au cisaillement enfoncement de la fondation lignes de glissementsoulèvement de la surface Augmentation des contraintes jusqu'à la rupture • glissement des particules de sol les unes par rapport aux autres • mouvement relatif des grains sur des surfaces de glissement rupture des grains2.1 Distribution des contraintes autour d'un point
2.1.1 Tenseur des contraintes
2.1.2 Représentation plane - cercle de Mohr
2.1.3 Problèmes à deux dimensions
2.2 Équation de l'équilibre local
2.3 Conditions aux limites
2- Rappels contraintes - conventions
2. Rappels
contraintes3. Cercle de
Mohr4. Mesure au
laboratoire5. Remarques
qualitatives1. Rupture des
solsSol matériau continu
• particules petites • sols cohérents et saturés hypothèse de moins en moins valable pour les milieux granulaires mouvement relatif des grains (discontinuité de déplacement) • Vecteur contrainte en M sur une facette dSDécomposition en :
- contrainte normale suivant la normale2.1 Distribution des contraintes autour d'un point2.1.1 Tenseur des contraintes
n,MT n n nt - contrainte tangentielle suivant le plan de la facetteConvention de signe :
- normale rentrante - angles positifs dans le sens trigonométrique- contrainte de compression positive • Tenseur des contraintes - ensemble des contraintes en un point M - obtenues en donnant à la facette toutes les orientations possibles zyzxzzyyxyzxyxx • Contraintes tangentielles tenseur symétrique xzzxzyyzyxxy W • Contraintes principalesTrois plans privilégiés pour lesquels= 0
- plans principaux - directions principales - contraintes principales majeure, intermédiaire, mineure 1 2 3 321000000
2.1.2 Représentation plane - cercle de Mohr
• pour l'étude de l'état de contrainte autour d'un point • représentation des contraintes dans un système d'axes ( - axe des abscisses confondu avec la normale à la facette o - axe des ordonnées confondu avec la composante tangentielle o rotation de par rapport à 2 o • Lorsque la facette tourne autour de M, le point figuratif des contraintes décrit un cercle appelé cercle de Mohr • En 3D, apparition de3 cercles délimités
par 1 2 et 32.1.3 Problèmes à deux dimensions
• En MdS, la majorité des cas sont des problèmes en 2D - symétrie de révolution : fondation circulaire, pieux - géométrie constante dans une direction : talus, remblai, semelle filante, mur • Réduction de la représentation graphique de Mohr à 1 seul cercle plan perpendiculaire à 2 • Le plan étudié contient 1 et 3 NPour un état de contrainte donné,
lorsque la facette tourne autour de M, les contraintes sont représentées par un point N sur le cercle de Mohr • Propriété importante des cercles de Mohr Lorsqu'une facette tourne autour du point M, le point N représentatif des contraintes sur le cercle de Mohr tourne en sens inverse à une vitesse angulaire double • vecteur T 1 • plan physique : rotation de la facette de + rotation de -2dans le plan de Mohr angle 1 par rapport à n 1 • vecteur T 2 angle - 2 par rapport à n 2 • Exemples de différents états de contraintes caractéristiques • Exemples de différents états de contraintes caractéristiques (suite) 1 3 • Composantes normale et tangentielle d'une contrainte sur une facette donnéeA- cas le plus simple : repère principal connu
exemple : les sols v 1 h 3 )sin()cos( ntn V V V V V 2 2222
313131
: angle entre la normale et la direction principale 1 TB- cas général : repère quelconque
Contrainte normale et tangentielle sur une facette dont la normale fait un angle par rapport à x 22222 sincoscossincossinsincos xyxyntxyyxn T • Détermination des contraintes et directions principales
Méthode 1
0 nt on trouve donc les directions principales yxxy tan22 T V y x ab batan2 2 yxxy ba W avec 111212 1
2cossinsincos
xyyx 333232
3
2cossinsincos
xyyx rayoncentre V 1 2 yx 2sina ouMéthode 2
diagonaliser la matrice yxyyxx • valeurs proprescontraintes principales• vecteurs propresdirections principales 0Idet nnn,MT n2.2 Équation de l'équilibre local
2.3 Conditions aux limites
à lire
3.1 Notion de courbe intrinsèque
3.2 Critère de Coulomb
3.3 Lignes de glissement
3.4 Relations entre contraintes principales
au moment de la rupture3.5 Théorème des états correspondants
3- Cercle de Mohr-Coulomb et
conséquences2. Rappels
contraintes3. Cercle de
Mohr4. Mesure au
laboratoire5. Remarques
qualitatives1. Rupture des
sols3.1 Notion de courbe intrinsèque
• À partir du cercle de Mohr, on peut exprimer les contraintes dans un sol sur n'importe quelle facette • Une utilisation possible - étude de la stabilité et de la résistance d'un sol - courbe intrinsèque : limite d'écoulement des sols séparation de la zone des états de contraintes possibles de la zone impossible à développer dans le sol pcq l'écoulement ou la rupture se produit avantCourbe intrinsèque
• Détermination expérimentale • Cercle tangent à la courbe intrinsèque écoulement par glissement suivant la direction qui correspond au point de contact entre le cercle et la courbe3.2 Critère de CoulombExpérimentalement, il a été montré que la courbe intrinsèque d'un sol :
• deux demi-droites symétriques par rapport à o • sols pulvérulents : les droites passent par l'origine • sols cohérents : existence d'une résistance au cisaillement sous contrainte normale nulle cohésion (c) droites de Coulomb angle de frottement interne ( 0' c' c Wctan tancAngle de talus naturel
• talus de sable sec formant un angle • à la profondeur h, sur une facette parallèle au talus c cossinhcosh ntn 2 • équilibre limite (limite de rupture ou de glissement) V c W c W c tan maxnt tancoshcossinh maxnt2 M c dDtantan
' est donc l'angle de talus naturelquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] 3 éme 4ème Mathématiques
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