[PDF] Tout-en-un MATHS. MPSI. VUIBERT. Tout-en-

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R. Mansuy

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CONFORME

AU NOUVEAU

PROGRAMME

VUIBERTSOMMAIRE :

1. Bases mathématiques - 2. Nombres complexes - 3. Manipulations algébriques - 4. Limites

et continuité - 5. Équations différentielles - 6. Suites numériques - 7. Limites de fonctions,

continuité - 8. Dérivabilité - 9. Études locales et asymptotiques - 10. Arithmétique des

entiers - 11. Structures algébriques - 12. Polynômes et fractions rationnelles - 13. Espaces vectoriels - 14. Espaces vectoriels de dimension nie - 15. Matrices - 16. Échelonnement et systèmes linéaires - 17. Déterminants - 18. Espaces euclidiens - 19. Calcul intégral

20. Séries numériques - 21. Dénombrement - 22. Probabilités sur un univers ni - 23. Variables

aléatoires

L'auteur :

Roger Mansuy est Professeur en classe préparatoire scientifi que au lycée Louis-le-Grand

à Paris

ISBN : 978-2-311-01297-2

, des ouvrages pour faire la différence : - des cours complets pour acquérir les connaissances indispensables, - des ches de synthèse pour réviser l'essentiel avant les kholles ou les épreuves, - de nombreux exercices intégralement corrigés pour s'entraîner : vrai/faux, exercices d'application et d'approfondissement MATHS

MPSIMPSI

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Sicogif Certified PDF LES PAOISTES

Avant-propos

Les choix de rédactionÉcrire un livre impose des choix sur le contenu, l"ordonnancement et la forme du cours et des

exercices. Cet ouvrage est avant tout rédigé afin d"êtreefficace. Voici quelques partis pris.

Respecter l"esprit du programmeen particulier la progression lorsque celle-ci est annon- cée. Il ne s"agit pas de se limiter strictement au contenu explicitement mentionné dans le programme (ajouter une proposition qui permet de mieux comprendre un point exigible est un choix assumé) mais de fournir un outil qui permet de comprendre en profondeur les notions mises en oeuvre. Ajouter unegrande variété d"exemples: l"importance des exemples est sous-estimée; ils permettent de voir les propositions et théorèmes en actions. Illustrer les résultats avec desdessins explicitesou desschémas formateurs(il y en a plus d"une centaine dans cet ouvrage). L"intuition se nourrit de ces représentations. lesarticulations logiques.

L"utilisation recommandée

Si ce livre est construit pour être un outil utile, sa seule possession ne suffit pas et l"étudiant doit

aussi apprendre à l"exploiter. Voici quelques pistes de travail. Lire le cours, exemples compris; si besoin, refaire un calcul ou un schéma sur une feuille de brouillon. Retenir les énoncés et l"importance de chaque hypothèse; pour cela on peut utiliser les questionnaires de type Vrai ou Faux (à la fin du chapitre en classe, avant une colle ou un devoir). Faire une fiche de synthèse personnelle (celles proposées dans ce livre sont purement indicatives) en faisant apparaître les points de cours importants, leurs articulations voire des méthodes de calcul ou de résolution. Chercher les exercices suffisamment longtemps et ne jamais abandonner un énoncé sans

s"être posé les questions suivantes : quels sont les points de cours concernés? quels sont les

énoncés proches que je connais? pourquoi mes tentatives ne fonctionnent pas?

Remerciements

Un tel ouvrage ne serait rien sans les efforts renouvelés de dévoués relecteurs et testeurs; Marion

Scoazec, Anne-Laure Biolley, Yasmine Cheikh, Ulysse Mizrahi, Denis Monasse, Jean Parvillers,

Yixin Shen, les collègues, les anciens élèves, les élèves : "un seul mot, usé, mais qui brille comme

une vieille pièce de monnaie : merci!» (Pablo Neruda).3

Table des matières

Préface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

Chapitre 1.Bases mathématiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91. Écritures mathématiques9- 2. Ensembles et applications15- 3. Opérations entre parties21-

4. Ensembles ordonnés27- 5. L"ensemble des entiers naturels32-Synthèse35 -Exercices37 -

Corrigés

41

Chapitre 2.Nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

1. Corps des nombres complexes47- 2. Exponentielle complexe52- 3. Équations algébriques64

-Synthèse70 -Exercices72 -Corrigés76

Chapitre 3.Manipulations algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

1. Manipulations de sommes et produits83- 2. Quelques sommes classiques91- 3. Formule du

binôme95- 4. Systèmes linéaires100-Synthèse105 -Exercices107 -Corrigés111

Chapitre 4.Limites et continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121

1. Relation d"ordre surR121- 2. Propriétés des fonctions réelles123- 3. Exponentielles, loga-

rithmes, puissances132- 4. Exponentielle complexe, fonctions circulaires140-Synthèse146 -

Exercices

148 -Corrigés152

Chapitre 5.Équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

1. Calculs de primitives161- 2. Équations différentielles165- 3. Équations linéaires d"ordre

1168- 4. Équations linéaires d"ordre 2170-Synthèse176 -Exercices178 -Corrigés181

Chapitre 6.Suites numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189

1. Compléments sur les réels189- 2. Suites convergentes192- 3. Suites réelles200- 4. Suites

extraites207-Synthèse211 -Exercices213 -Corrigés217

Chapitre 7.Limites de fonctions, continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

1. Étude locale225- 2. Fonctions continues sur un intervalle236- 3. Fonctions continues sur un

segment240-Synthèse244 -Exercices246 -Corrigés251

Chapitre 8.Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

1. Fonctions dérivables261- 2. Fonctions de régularité supérieure266- 3. Propriété des accrois-

sements finis268-Synthèse278 -Exercices280 -Corrigés284

Chapitre 9.Études locales et asymptotiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291

1. Relations de comparaison291- 2. Développements limités298- 3. Applications305-Syn-

thèse

309 -Exercices311 -Corrigés315

4

Table des matières

Chapitre 10.Arithmétique des entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3251. Divisibilité325- 2. PGCD, PPCM330- 3. Nombres premiers334- 4. Systèmes congruen-

tiels339-Synthèse342 -Exercices344 -Corrigés347

Chapitre 11.Structures algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .353

1. Groupes354- 2. Anneaux et Corps359-Synthèse364 -Exercices365 -Corrigés369

Chapitre 12.Polynômes et fractions rationnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .377

1. Définitions et premières propriétés377- 2. Racines de polynômes382- 3. Arithmétique des

polynômes387- 4. Fractions rationnelles395-Synthèse405 -Exercices407 -Corrigés412

Chapitre 13.Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .425

1. Structure d"espace vectoriel425- 2. Applications linéaires434- 3. Bases445-Synthèse450 -

Exercices

452 -Corrigés456

Chapitre 14.Espaces vectoriels de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .465

1. Dimension465- 2. Applications linéaires en dimension finie473-Synthèse481 -Exer-

cices

483 -Corrigés488

Chapitre 15.Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .499

1. Matrices499- 2. Produit matriciel507- 3. Équivalence et similitude515-Synthèse521 -

Exercices

523 -Corrigés527

Chapitre 16.Échelonnement et systèmes linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .535

1. Opérations élémentaires535- 2. Systèmes linéaires543-Synthèse547 -Exercices549 -

Corrigés

552

Chapitre 17.Déterminants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559

1. Groupe symétrique559- 2. Déterminant denvecteurs dans une base566- 3. Applications

linéaires et matrices572- 4. Quelques méthodes de calcul576- 5. Applications583-Syn- thèse

586 -Exercices588 -Corrigés593

Chapitre 18.Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .601

1. Produit scalaire601- 2. Orthogonalité608- 3. Isométries vectorielles618-Synthèse627 -

Exercices

629 -Corrigés634

Chapitre 19.Calcul intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643

1. Intégrale sur un segment644- 2. Sommes de Riemann650- 3. Intégration et dérivation653-

4. Formule de Taylor661-Synthèse666 -Exercices668 -Corrigés673

Chapitre 20.Séries numériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683

1. Séries générales683- 2. Séries à termes positifs687-Synthèse694 -Exercices696 -Corri-

gés 700 5

Table des matières

Chapitre 21.Dénombrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7111. Ensembles finis711- 2. Dénombrement717-Synthèse722 -Exercices723 -Corrigés727

Chapitre 22.Probabilités sur un univers fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .733

1. Espace probabilisé fini733- 2. Conditionnement738- 3. Indépendance743-Synthèse746 -

Exercices

748 -Corrigés752

Chapitre 23.Variables aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .759

1. Généralités759- 2. Indépendance763- 3. Moments766-Synthèse776 -Exercices778 -

Corrigés

782

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .790

6

COURS2Chapitre

Nombres complexes

1. Corps des nombres complexes

Ce premier paragraphe sert à comprendre une construction deC. Dans un premier temps, on pourra se dispenser de sa lecture.

1.1.Construction du corpsC

Commençons par donner une définition abstraite de la structure algébrique de corps. Intuiti-

vement, il s"agit d"un ensemble avec deux opérations pour lesquelles toutes les manipulations simples se passent bien. On étudiera dans un autre chapitre les structures algébriques pour elles-mêmes.Définition 2.1. Un corps est un ensembleKmuni de deux lois de composition internes+ettelles que +est associative, commutative, admet un élément neutre noté0et tout élément deK admet un symétrique pour+. est associative, commutative, admet un élément neutre distinct de0et noté1et tout élément deKdifférent de 0 admet un symétrique pour. •est distributive sur+.Exemple Les ensemblesR,QetQ(p2) =fa+bp2,a,b2Qgsont des corps pour l"addition et la multiplication usuelles.

L"idée que nous allons utiliser pour construireCconsiste à partir deR2, l"ensemble des couples de

réels, et d"en faire un corps en le munissant de deux lois de composition internes bien choisies.47

Mathématiques MPSI

Pour cela posons, pour tout(x,y)et(x0,y0)2R2:

(x,y)+(x0,y0) = (x+x0,y+y0),

(x,y)(x0,y0) = (xx0yy0,x0y+xy0).RemarqueComme on cherche à retrouver les complexes dont on a l"habitude, on définit le produit pour

obtenir la formule suivante

(x+iy)(x0+iy0)=(xx0yy0)+i(xy0+x0y).On vérifie rapidement queR2avec ces lois est bien un corps que l"on noteraC.Notation

À partir de la construction précédente, on note(x,y)=x+iy(ce qui revient à noter(1,0)=1 et(0,1)=i). O nv érifieaisément que i2=1 d"après la définition de la loi. Les réelsxetysont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire du complexex+iy. Les parties réelle et imaginaire d"un complexezsont notéesRe(z)et

Im(z)respectivement.Proposition 2.1.

Les applications partie réelle et partie imaginaire définies deCdansRsontR-linéaires, c"est-à-dire pour tousz,z02Cet,02R,

Re(z+0z0) =Re(z)+0Re(z0),

Im(z+0z0) =Im(z)+0Im(z0).

Pour exprimer ces relations, on dit aussi que, pour la partie réelle ou la partie imaginaire,

l"image d"une combinaison linéaire à coefficients réels est la combinaison linéaire (avec les

mêmes coefficients) des images.1.2.Conjugaison, moduleDéfinition 2.2.

Soitz=x+iyun nombre complexe (avecx,y2R).

Le conjugué de zest le nombre complexez=xiy.

Le module de zest le réel positifjzj=px

2+y2.48

Chapitre 2 - Nombres complexesCOURSRemarque

On remarque quejzj=0 si, et seulement si,z=0.Des calculs immédiats donnent la proposition suivante.

Proposition 2.2.

Pour toutz2C,

z+z=2Re(z),zz=2iIm(z),zz=jzj2.Remarque

La dernière propriété reliant module et conjugué est très utile en pratique car elle permet de

"se débarrasser» des nombres complexes non réels au dénominateur en multipliant par le conjugué. Plus précisément, pour tout complexeznon nul, 1z =z jzj2. Par exemple, déterminons les parties réelle et imaginaire du nombre complexe

3+i2+i.

3+i2+i=(3+i)(2i)5

=15 (7i).

La partie réelle est

75
, la partie imaginaire15 .Une simple vérification permet d"obtenir la proposition suivante.

Proposition 2.3.

Pour tousz1,z22C,z

1+z2=z

1+z 2,z 1z2=z 1.z

2.Proposition 2.4.

Pour tousz1,z22C,jz1z2j=jz1jjz2j.

Si, de plus,z26=0, alorsz

1z 2 =jz1jjz2j.Démonstration

Ces identités découlent directement de l"écriturez.z=jzj2.Précisons maintenant quelques inégalités en module.

49

Mathématiques MPSI

Proposition 2.5.

Pour toutz2C,

jRe(z)jjzjetjIm(z)jjzj. Il y a égalité respectivement pourz2Retz2iR.Démonstration

Pour toutz2C,

Re(z)2Re(z)2+Im(z)2=jzj2,

Im(z)2Re(z)2+Im(z)2=jzj2.

Le cas d"égalité correspond àIm(z)=0 etRe(z)=0 respectivement.Proposition 2.6. Inégalités triangulaires

P ourtous z1,z22C,

jz1+z2jjz1j+jz2j.

Il y a égalité si, et seulement si,z1z

22R+.

P ourtous z1,z22C,

jjz1jjz2jjjz1z2j.Démonstration

P ourtous z1,z22C,

jz1+z2j2= (z1+z2)(z 1+z

2)=z1z

1+z2z 1+z1z 2+z2z 2 =jz1j2+2Re(z1z

2)+jz2j2.En utilisant l"inégalité (établie au point précédent),2Re(z1z

2)2jz1jjz2j, on en déduit

la majorationjz1+z2jjz1j+jz2j.

Le cas d"égalité correspond à 2Re(z1z

2)=2jz1z2jdoncz1z

22R+.
D éduisonscette inégalité de la pr écédente.P ourtous z1,z22C, jz1j=jz2+z1z2jjz2j+jz1z2j, jz2j=jz1+z2z1jjz1j+jz1z2j.

Doncjjz1jjz2jjjz1z2j.50

Chapitre 2 - Nombres complexesCOURS1.3.Interprétation géométrique La construction deCrepose sur une identification ensembliste deCau plan; on peut en déduire facilement une utilisation des complexes en géométrie.Définition 2.3. L "affixed "unpoint M(x,y)du plan est le complexez=x+iy. pour affixezAetzB.Proposition 2.7. La partie réelle (respectivement imaginaire) d"un complexezest la coordonnée du point d"affixezsur l"axe des abscisses (respectivement ordonnées).Remarque On déduit de cette proposition que le conjugué d"un complexezest l"affixe du symétrique du point d"affixezpar rapport à l"axe des abscisses.Im(z)Im(z)Re(z)z z On vérifie par un calcul rapide l"expression suivante de la distance entre deux points.

Proposition 2.8.

La distance entre deux points du planAetBd"affixezAetzBest le modulejzAzBj.Remarque

L"applicationd:

¨C2!R+

(z,z0)7! jzz0j est, en un sens qu"on verra plus tard, une distance

car elle vérifie les propriétés suivantes, déduites des propriétés du module détaillées précé-

demment. •8z,z02C,d(z,z0)=0)z=z0.51

Mathématiques MPSI

•8z,z02C,d(z,z0)=d(z0,z).

•8z,z0,z002C,d(z,z0)d(z,z00)+d(z00,z0).De cette expression de la distance usuelle en termes de complexes, on déduit que l"équation

complexe d"un cercle de rayonR>0et de centre le point d"affixe!2Cestjz!j=Ret que celle du disque correspondant estjz!jR.Exemple La lunule d"Hippocrate est la partie du plan intérieure au cercle de centre(0,0)et de rayon1

et extérieure au cercle de centre(1,0)et passant par(0,1):Un pointMd"affixezappartient à la lunule si, et seulement si,jzj1 etjz+1jp2.

2. Exponentielle complexe

2.1.Compléments de trigonométrie

On ne cherche pas à définir ici les fonctions trigonométriques mais on se limite à quelques rappels

utiles pour la suite. Les fonctionssinetcossont connues et on en déduit des propriétés de la

fonction tan=sincos

Rappelons les formules d"addition des fonctions trigonométriques cos et sin.Proposition 2.9. formules d"addition et de duplication

Pour tous,'2R,

sin(+') =sin()cos(')+cos()sin('), cos(+') =cos()cos(')sin()sin(').

En particulier, pour tout2R,

sin(2) =2sin()cos(), cos(2) =cos2()sin2()=2cos2()1=12sin2().52

Chapitre 2 - Nombres complexesCOURS

Les formules d"addition sont particulièrement utiles lorsqu"il s"agit de linéariser des produits de

deux termes sous la forme d"un cosinus ou d"un sinus.Corollaire 2.10. linéarisation de produit

Pour tous,'2R,

2sin()cos(') =sin(+')+sin(')

2cos()sin(') =sin(+')sin(')

2cos()cos(') =cos(+')+cos(')

2sin()sin(') =cos(+')cos(').Démonstration

Chacune de ses formules se démontre en utilisant les formules d"addition dans le membre de droite.Remarque Les formules ci-dessus permettent de passer d"une forme linéarisée comme somme de fonctions trigonométriques (utile pour calculer une primitive par exemple) à une forme factorisée comme produit (utile pour étudier le signe par exemple). Il convient de savoir les utiliser dans les deux sens. Par exemple, on peut lire la troisième formule de droite à gauche de la façon suivante : pour tous,'2R, cos()+cos(')=2cos+'2 cos'2 .Exemple

Soitp,q2N. Calculons l"intégraleI=R2

0cos(pt)cos(qt)dt. Pour cela linéarisons l"expres-

sions dans l"intégrale. I=12 Z 2 0 cos(p+q)t+cos(pq)tdt

¨0 sip6=q,

sinon.Exemple Déterminons le signe de la fonctionf:t7!cos(t)+cos(3t)sur l"intervalle[0,]. D"après la formule de linéarisation (utilisée de droite à gauche), pour toutt2[0,], cos(t)+cos(3t)=2cos(2t)cos(t).53 Mathématiques MPSICommecos(2t)change de signe en4et34etcos(t)change de signe en2, on en déduit que la fonctionfest positive sur[0,4 ][[2 ,34 ].Définition 2.4. La fonction tangente, notéetanest la fonction définie surRnf2+k,k2Zgcomme le quotient du sinus par le cosinus.Remarque Cette définition nous permet d"obtenir la-périodicité de tan puis quelques valeurs :x0 6 4 3 tan(x)01p31p3 Le calcul avec les dérivées de cos et sin donne tan

0=1cos

2=1+tan2.

Ces expressions permettent, entre autres, d"obtenir le tableau de variations puis l"allure suivante de la courbe représentative.2.21.21. 22.
23.
2 422
0tan 54
Chapitre 2 - Nombres complexesCOURSCorollaire 2.11.

Pour tous,'2Rnf2

+k,k2Zgtels que+'2Rnf2 +k,k2Zg, tan(+') =tan()+tan(')1tan()tan(').

En particulier, pour tout2Rnf2

+k,k2Zgtel que 22nf2 +k,k2Zg, tan(2) =2tan()1tan2().Démonstration

Écrivons tan=sincos

, utilisons les formules d"addition puis factorisons par le terme adapté tan(+') =sin(+')cos(+')=sin()cos(')+cos()sin(')cos()cos(')sin()sin(')

Calculonst=tan8

. Comme tan4 =1, on a

1=2t1t2,

donctest une solution de l"équation polynomialet2+2t1=0. Comme les racines sont

1p2. Or,

8 2[0,2 [, donct0 et tan8 =p21.2.2.Exponentielle d"un imaginaire purDéfinition 2.5. Pour tout2R, on définit le complexeeipar cos+isin.Remarque Cette définition permet de décrire les complexes de la formecos+isincomme les affixes des points du cercle unité.55

Synthèse

Nombres complexesL"écriture naturelle pour un nombre complexe est l"écriture cartésienne définie avec deux réels.Écriture cartésienne

Un complexezadmet une unique écriturex+iyavecx,y2R;xest la partie réelle etyest la partie imaginaire dez. On les noteRe(z)etIm(z). .Le conjugué dez=x+iyestz=xiy. .Les applications parties réelle, imaginaire et l"application conjugué sontR-linéaires.

Dès qu"il s"agit d"effectuer des calculs avec des produits et des quotients, il convient de préférer

l"écriture géométrique.Écriture géométrique Un complexeznon nul admet une unique écriturereiavecr>0et2[0,2[;rest le module dezetson argument principal. On les notejzjet arg(z).

P ourtout z2C,jzj2=zz.

P ourtous zetz02C,jzz0j=jzjjz0jet arg(zz0)=arg(z)+arg(z0)[2].

P ourtout z6=0,1z

=1jzjet arg(1z )=arg(z)[2].

Ces derniers résultats sur le module et l"argument sont des conséquences des propriétés de

l"exponentielle complexe.Exponentielle complexe L"application7!ei=cos+isinest surjective deRdansU(non injective). (E uler)P ourtous 2R, cos=ei+ei2 , sin=eiei2i. (morphisme) P ourtous ,'2R,eiei'=ei(+').

(de M oivre)P ourtout n2Net tout2R,(ei)n=ein.Parmi les ensembles remarquables de nombres complexes, on remarque quelques groupes.

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