LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
Par exemple une matrice de dimension 3 4 possède 3 rangées et 4 colonnes. Celle-ci serait distincte d'une matrice 4 3 qui a 4 rangées et 3 colonnes
Déterminants
de l'inverse d'une matrice le déterminant de la transposée d'une matrice. d'un cours de H. Ledret et d'une équipe de l'université de Bordeaux animée par J ...
Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une indication sur La quantité det(A) est appelée le déterminant de la matrice A ...
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
Le déterminant d'une matrice carrée A est un nombre det A qu'on associe `a A qui apparaıt dans beaucoup de formules. Quand les coefficients de la matrice sont
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
3.5.1.Déterminant de la transposée d'une matrice.—. Preuve. Soit A différentiels avec A non diagonalisable plus tard dans le cours) il existe une matrice D.
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Cours de mathématiques - Exo7
Remarque. • La matrice A− X In est à coefficients dans [X] donc son déterminant χA(X) appartient à [X].
Généralités sur les matrices
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LES DÉTERMINANTS DE MATRICES
1- Rappel - Définition et composantes d'une matrice . 2- Le déterminant d'une matrice . ... 3- Calcul du déterminant pour une matrice.
Déterminants
Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale
L1 MASS : Alg`ebre Linéaire Cours 9 mars 2006 Déterminants
Le déterminant d'une matrice carrée A est un nombre det A qu'on associe `a A qui On dit déterminant d'ordre n pour le déterminant d'une matrice n × n.
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Déterminant d'un produit et matrices inversibles. Déterminant de la matrice Notes de cours chapitre 5 . ... Calculer le déterminant de la matrice.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
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Inverse d'une matrice. Critère d'inversibilité : le déterminant. 2. Pivot de Gauss sur les matrices. But de l'algorithme. Présentation de la méthode.
Chapitre 5 Déterminant
Le déterminant d'une matrice carrée est un scalaire dont la valeur fournit une indication sur l'inversibilité de cette matrice. Pour préciser la nature de cette
Matrices déterminants 1. Les matrices
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Unité 1 : Déterminant d'une matrice 2x2. Soit une matrice A a 2 lignes et 2 colonnes avec des parenthèses (ou des crochets) pour une matrice.
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Les nombres figurant dans la matrice sont appelés termes de la matrice au cours des 20 premières journées et qui en a marqué 1 lors de la 21ème
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1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ? Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3 La définition que
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La colonne j est cosj C + sinj S Ainsi la matrice A est de rang 2 4 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée inversible
Comment on calcule le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant d'une matrice diagonale ou triangulaire (supérieure ou inférieure) est égal au produit des termes de la diagonale principale. Comme pour les déterminants d'ordre 2, la valeur du déterminant est égale au produit des termes de la diagonale principale.Pourquoi calculer déterminant matrice ?
Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en alg?re linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.Comment calculer le déterminant d'une matrice carrée d'ordre n ?
Si une matrice a deux lignes égales, son déterminant est nul. Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A?B)=det(A)?det(B).- Définition : Si A est une matrice carrée (ai,j)1?i,j?n ( a i , j ) 1 ? i , j ? n , les mineurs principaux sont les déterminants des matrices tronquées (ai,j)1?i,j?k ( a i , j ) 1 ? i , j ? k , pour k allant de 1 à n .
MAT 1200:
Introduction à l"algèbre linéaire
Robert Guénette et Saïd EL MORCHID
Département de Mathématiques et de StatistiqueChapitre 5: Les Déterminants
Références
Déterminants d"ordre 1 et 2
Définitions
Exemples
Déterminants d"ordre n
Définition
Conséquences
Déterminant d"un produit et matrices inversiblesDéterminant de la matrice transposée
Les déterminants et les matrices inversibles
Sous-matricesAij- Mineur- Cofacteurs
Mineur
Cofacteur
Le déterminant d"une matricenn
Matrice des cofacteurs. Matrice adjointe
La règle de Cramer pour résoudre un systèmeRéférences:
Notes de cours chapitre 5 .
Livre: Chapitre 3 page 175
Déterminants d"ordre 1 et 2
Définitions
1.Cas d"une matrice 11:
SoitA= (a11)une matrice de type 11, le déterminant deAest det(A) =ja11j=a11 2Cas d"une matrice 22:
SoitA=a
11a12 a 21a22. Le déterminant deAest le nombre réel det(A) =a 11a12 a 21a22
=a11a22a12a21Exemple
Calculer le déterminant de la matrice
A=1 5 2 4Déterminants d"ordre n
Définition générale
On définit le déterminant par la formule
detA=a11:::a1n.
........a n1:::ann= X oùPnest l"ensemble des permutations de l"ensemblef1;2;:::;nget sign() = (1)N()est la signature de. Le nombreN()est défini comme lenombre d"inversions parmi l"ensemble de tous les couplesf(i;j)jiConséquences immédiates de la définition
Personne ne songerait à utiliser cette définition pour évaluer un déterminant d"ordre plus élevé car fait intervenir une somme dentermes ce qui est impraticable. Son intérêt est purement théorique et permet de dégager rapidement les propriétés du déterminant. I Linéarité par rapport à une ligne
det 0 B BBBBB@L
1 L i+Ti L n1 C CCCCCA=det0
B BBBBB@L
1 L i L n1 C CCCCCA+det0
B BBBBB@L
1 T i L n1 C CCCCCA
I Multiplication d"une ligne par un nombre réelc
det 0 B BBBBB@L
1 c L i L n1 C CCCCCA=cdet0
B BBBBB@L
1 L i L n1 C CCCCCA
Conséquences immédiates (suite)
I Si la matriceBest obtenue à partir de la matriceAen permutant 2 lignes, alors detB=detA. I SiApossède une ligne nulle, alors detA=0.
I SiAcontient deux lignes identiques, alors detA=0.
I SiAest une matrice triangulaire inférieure ou supérieure d"ordren, alors detA=a11a22a33:::ann=le produit de la diagonale I Si la matriceBest obtenue à partir de la matriceAen appliquant l"opération élémentairec Li+Lj!Lj, alors detB=detA.Exemple Evaluer le déterminant en appliquant des opérations élémentaires sur les lignes, i.e. par élimination de Gauss12 5 02 0 413 1 0 7 0 42 0
Déterminant d"un produit et matrices inversibles Proposition:
SiEest une matrice élémentaire, on a que
detEA=detEdetAPar induction, on obtient le résultat suivant. Corollaire:
det(E1E2:::EkA) =detE1detE2:::detEkdetAThéorème: Une matrice carréeBest inversible si et seulement si detB6=0.Théorème: SoitAetBdeux matrices carrées. On a que
det(AB) =detAdetB Déterminant de la matrice transposée
Théorème:
SoitAune matrice carrée. On a que
detAt=detAConséquence: opérations sur les colonnes SoitAune matrice carrée.
a) Si une matrice Best obtenue en ajoutant à une colonne de la matriceA un multiple d"une autre de ses colonnes, alors detB=detA. b) Si Best la matrice obtenue en permutant deux colonnes deA, alors detB=detA. c) S iBest la matrice obtenue en multipliant une colonne deApark, alors detB=kdetA.Exemple: Calculer le déterminant de la matrice par des opérations élémentaires sur les colonnes. A=0 B B@28 6 8
39 5 10
3 0 12
14 0 61
C CA Les déterminants et les matrices inversibles
Théorème:
Une matrice carrée est inversible si et seulement si detA6=0. SiAest une matrice carrée inversible, alors
detA1=1detA:Exemple: Est ce que la matrice suivante est inversible? Si oui, calculer detA1. A=0 B B@31 25
0 536 6 77 4
58 0 91
C CAThéorème:
Soient~u1;~u2;;~un,nvecteurs deRnetAla matrice dont les colonnes ou les lignes sont les vecteurs ~ui. Alors~u1;~u2;;~unsont indépendants si et seulement si le déterminant deAest non nul. Sous-matricesAijet mineursMijMineur
SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. Alors la matriceAijde type (n1)(n1)désigne la sous-matrice formée des éléments deAqui restent après avoir supprimé laiemeligne et lajemecolonne. Le déterminant de la sous-matriceAijest appeléle mineurdeaijet est noté parMij.Exemple Soit la matrice
A=0 B B@12 5 0
2 0 41
3 1 0 7
0 42 01
C CA Trouver les sous-matricesA32,A43et calculerM32,M43. Cofacteur
Définition
SoitA= (aij)une matrice carrée de typenn. On appellecofacteurde l"élémentaijle nombre C ij= (1)i+jMij= (1)i+jdetAij:Exemple Soit la matrice
A=0 @12 5 2 0 4 3 1 01
A Trouver les cofacteursC21,C22etC23.
Exemple:
Calculer le déterminant de la matrice
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