[PDF] [PDF] La fonction logarithme - Lycée dAdultes

On a alors :x>-1

2et 2x+1

On a :

e-1-1

2=1-e2e? -0.32 donc-12

On conclut par :S=?

-1

2;1-e2e?

2 Propriétés de la fonction logarithme

2.1 Le logarithme du produit

Théorème 6 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : lnab=lna+lnb Démonstration :D"après les propriétés de l"exponentielle, on a : e a=eb?a=b

Orelnab=abetelna+lnb=elna×elnb=ab

On conclut donc que lnab=lna+lnb.

Remarque :C"est cette propriété qui est à l"origine de la fonction logarithme.

Exemple :ln2+ln3=ln6

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62 PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME

2.2 Conséquences

Théorème 7 :Pour tous réels strictement positifsaetb, on a : 1) ln a b=lna-lnb 2) ln 1 b=-lnb3) lnan=nlnaavecn?N 4) ln ⎷a=12lna Démonstration :Pour démontrer la propriété 1, on revient aux propriétés de l"exponentielle.

On aelna

b=abetelna-lnb=elnaelnb=ab d"où la propriété : ln a b=lna-lnb

Pour la deuxième propriété, on faita=1

La troisième propriété se démontre par récurrence à l"aide du produit. Pour la dernière propriété : on aa=⎷ a×⎷adonc d"après la propriété du produit, on a : lna=ln⎷ a+ln⎷a=2ln⎷ad"où ln⎷a=ab Exemples :Voici 4 exemples d"utilisation de ces propriétés.

êExprimer ln50 avec ln2 et ln5 et ln⎷

12 avec ln2 et ln3

On a 50=2×52donc ln50=ln2+2ln5

On a 12=22×3 donc ln⎷

12=12(2ln2+ln3) =ln2+12ln3

êDéterminer l"entierntel que 2n>10 000

On a donc : ln2

n>ln104soitnln2>4ln10

On obtient alors :n>4ln10

ln2or4ln10ln2?13.29 doncn?14 êRésoudre l"équation : ln⎷2x-3=ln(6-x)-12lnx l"équation existe si ?2x-3>0 6-x>0 2 x<6 x>0 On en déduit l"ensemble de définition :Df=?3 2; 6?

On a alors

1

2[ln(2x-3) +lnx] =ln(6-x)

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7 soit lnx(2x-3) =2ln(6-x)

L"équation revient à :

x?Dfetx(2x-3) = (6-x)2

2x2-3x=x2-12x+36

x

2+9x-36=0

On calcule :Δ=81+144=225=152on trouve alors deux solutions x ?=-9+15

2=3 , 3?Dfetx??=-9-152=-12 ,-12 /?Df

on conclut par :S={3}

êRésoudre ln(5-x)-ln3+ln(x-1)?0

l"inéquation a un sens si ,?5-x>0 x-1>0??x<5 x>1 On en déduit l"ensemble de définition :Df=]1;5[

L"inéquation revient à :

x?Dfet ln(5-x) +ln(x-1)?ln3 ln(5-x)(x-1)?ln3 (5-x)(x-1)?3

5x-5-x2+x?3

-x2+6x-8?0 On calcule :Δ=36-32=4=22on trouve alors les racines suivantes : x ?=-6+2 -2=2 , 2?Dfetx??=-6-2-2=4 , 4?Df Comme le coefficient dex2est négatif et que l"on veut que la quantité soit positive, on prend à l"intérieur des racines, intervalle qui est inclus dans l"ensemble de définition.

On conclut par :S= [2;4]

3 Étude de la fonction logarithme

3.1 Dérivée

Théorème 8 :La fonction logarithme est dérivable sur son ensemble de définition et : (lnx)?=1 x

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83 ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME

Démonstration :On revient à la définition de la dérivée, c"est à dire on cherche lesa?R?+pour lesquels la limite suivante est finie : lim x→alnx-lna x-a Pour déterminer cette limite, on fait un changement de variable. Onpose alors X=lnxetA=lna. On a alorsx=eXeta=eAet six→aalorsX→lna. La limite devient alors : lim

X→lnaX-A

eX-eA Or la fonction exponentielle est dérivable surRet la dérivée en lnaestelna: lim

X→lnae

X-eA

X-A=elna=a

Cette limite est strictement positive poura?R?+. On en déduit que la limite suivante existe pour touta?R?+et : lim

X→lnaX-A

eX-eA=1a Conclusion : la fonction logarithme est dérivable surR?+et(lnx)?=1 x.

3.2 Limite en 0 et en l"infini

Théorème 9 :On a les limites suivantes :

lim x→0+lnx=-∞et limx→+∞lnx= +∞ Démonstration :Pour montrer la limite en+∞, on revient à la définition : Soit un réelA>0, il existe alors un réelMtel queA=eM. On ax>Aalors lnx>M. Pour tout réel positifM, il existeA=eMtel que six>Aalors lnx>M.

Conclusion : lim

x→+∞lnx= +∞. Pour la deuxième limite, on fait un changement de variable. On poseX=1 x.

Donc six→0+alorsX→+∞. On a alors :

lim x→0+lnx=limX→+∞ln1 x=limX→+∞-lnx=-∞

3.3 Tableau de variation et courbe

On peut résumer les variations et les limites de la fonction ln, dans un tableau de variation :

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3.4 CROISSANCE COMPARÉE9

x 1 x ln

0+∞

1 0 e 1

On a alors la courbe représentative suivante :

12 -1 -2 -31 2 3 4 5 6 7 0 e y=lnx

3.4 Croissance comparée

Théorème 10 :On a les limites suivantes :

lim x→+∞lnx x=0 et limx→0+xlnx=0 Démonstration :Pour la premère limite, on fait un changement de variable.

On pose :X=lnx, on a alorsx=eX. On a alors :

x→+∞alorsX→+∞

Notre limite devient alors :

lim x→+∞lnx x=limX→+∞XeX=0 car limx→+∞e xx= +∞ Pour la deuxième limite, on fait le changement de variable suivant :X=1 x.

On a alors :

x→0+alorsX→+∞

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103 ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME

La deuxième limite devient alors :

lim x→0+xlnx=limX→+∞1 Xln1X=limX→+∞-lnXX=0 d"après notre première limite Remarque :Suite à ces limites, on peut dire que : "xl"emporte sur lnxen +∞». On peut généraliser ces limites, pourn?N?, par : lim x→+∞lnx xn=0 et limx→0+xnlnx=0 Exemple :Déterminer la limite suivante : limx→+∞x-lnx C"est une limite indéterminée, car de la forme "+∞-∞». On met alorsxen facteur. x-lnx=x? 1-lnx x?

On a alors :

lim x→+∞x= +∞ lim x→+∞lnx x=0 lim x→+∞1-lnx

Par produit, on a :

lim x→+∞x-lnx= +∞

3.5 Une dernière limite

Théorème 11 :On a la limite suivante :

lim x→1lnx x-1=1 ou limx→0ln(1+x)x=1 Démonstration :Cela découle de la dérivée de ln enx=1, en effet, on a : ln)?(1) =1 1=1 ln)?(1) =limx→1lnx-ln1 x-1=limx→1lnxx-1 ln)?(1) =limh→0ln(1+h)-ln1 lim x→1lnx x-1=1 lim h→0ln(1+h) h=1

3.6 Dérivée du logarithme d"une fonction u

Théorème 12 :Soit une fonctionudérivable et strictement positive surD.

La fonction lnuest alors dérivable surDet :

(lnu)?=u? u

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11 Démonstration :La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Exemple :Déterminer la dérivée de la fonction définie surRpar : f(x) =ln(1+x2) On pose la fonctionu(x) =1+x2.uest manifestement strictement positive surR, donc la fonctionfest dérivable surRet : f ?(x) =2x 1+x2

4 Applications

4.1 Étude d"une suite

On pose, pourn?1,un=?

1+1 n? n . Étudier la limite éventuelle de la suite (un). On pourra poservn=lnun.

Calculonsvn:

v n=ln? 1+1 n? n =nln? 1+1n? La fonction associée à la suite (vn)est :f(x) =xln? 1+1 x? Sous cetteforme, lalimitedefen+∞estune formeindéterminée.On effectue un changement de variable pour lever l"indétermination :X=1 x, on a ainsi : six→+∞alorsX→0+

On peut ainsi calculer la limite :

lim x→+∞f(x) =limX→0+ln(1+X) X=1

On en déduit alors que : lim

n→+∞vn=1 On revient alors à la suite(un):vn=lnundoncun=evn, on en déduit que (un)est convergente et : limx→+∞un=e

4.2 Étude d"une fonction

fest la fonction définie surI=]0;+∞[par : f(x) =x+1 x+lnxx2 C fest sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

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124 APPLICATIONS

1) a) Pourquoi la droitedd"équationy=xest-elle asymptote oblique àCf?

b) On notehla fonction définie surIparh(x) =x+lnx. Démontrer que l"équationh(x) =0 a surIune solution uniqueαtelle que :

0,5<α<0,6.

c) En déduire la position relative deCfetd.

2) a) Démontrer que pour tout réelxdeI,f?(x) =g(x)

x3oùgest une fonction définie surIque l"on précisera. b) Démontrer que pour toutxdeI, on ag(x)?1. c) En déduire les variations defet tracerCf.

1) a) On calcule la quantitéf(x)-x=1x+lnxx2. On passe ensuite à la limite

en+∞. lim x→+∞lnx x2=0 lim x→+∞1 x=0???????

Par addition, on a

lim x→+∞f(x)-x=0

On a donc : lim

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