[PDF] MATHEMATIQUES APPLIQUEES et préparations dCG sur

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ecole en ligne des professions comptablesLes corrigés des examensdeCF 2007

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Candidature jusqu'au 21 septembre

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1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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SESSION 2007

MATHEMATIQUES APPLIQUEES ET INFORMATIQUE

SUJET DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES

Durée :

2 heures Coefficient : 0,5

Matériel autorisé :

Une calculatrice de poche à fonctionnement autonome sans imprimante et sans aucun moyen de transmissi

on, à l'exclusion de tout autre élément fonctionnel ou documentaire (circulaire n° 99-186 du

16 novembre 1999 ; BOEN n° 42).

Document remis au candidat :

Le sujet comporte

6 pages numérotées de 1 à 6.

Il vous est demandé de vérifier que le sujet est compl et dès sa mise à votre disposition.

BAREME INDICATIF

Problème 1

7 points

Problème 2

7 points

Problème 3

6 points

Les trois problèmes peuvent être traités indépendamment les uns des autres

ANNEXE

Une table de la loi normale centrée réduite et un extrait de la table de distribution du khi-deux vous sont fournis en annexe.

AVERTISSEMENT

Si le du sujet, de ses questions ou de ses annexes vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement dans copie.

La clarté du raisonnement, la qualité de la rédaction et la présentation interviendront dans

l'appréciation de la copie. 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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Une é

tude a été menée sur le travail des assistants et sur les clients d'un cabinet d'expertise comptable.

PROBLEME 1

L'entreprise de jardineries "

ATOUT JARDIN » a fait faire une étude sur la vente de cactus de petite taille dans leurs magasins.

La demande m

ensuelle est une variable aléatoire supposée continue qui suit une loi normale d'espérance mathématique 200 et d'écart type 20.

On suppose que la demande mensuelle n'est pas affectée par les variations saisonnières, et qu'il y a

indépendance entre la dem ande d'un mois et celle d'un autre.

Travail à faire

1. a

. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité que la demande mensuelle soit compris, au sens

large, entre 190 et 220 cactus. b. Déterminer, à 10 -2 près, la probabilité que la demande mensuelle dépasse 240 cactus.

On suppose que le réapprovisionnement est mensuel et que la quantité de cactus commandée permet de

reconstituer exactement, au début de chaque mois , le stock initial.

On note

le taux de service, c'est-à-dire la probabilité que la demande mensuelle soit satisfaite.

Travail à faire

2.

a. Déterminer, à 10-2 près, le taux de service dans l'hypothèse où le stock initial est de 180

cactus. b. Déterminer le stock initial dont on doit disposer si on souhaite avoir un taux de service ég al à 0,96.

On note

la demande annuelle de cactus de petite taille.

On note

: , où X i désigne la demande du i

ème mois d'une année ( pour janvier,

pour février...etc

Travail à faire

3. a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire . Justifier la réponse et déterminer les paramètres de cette loi.

b. Donner, à 10-1 près, la probabilité que la demande d'une année ne dépasse pas 2 400

cactus.

c. Déterminer, à 10-4 près, la probabilité qu'au cours d'une année la demande mensuelle ne

dépasse jamais 200 cactus. 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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PROBLEME 2

Première Partie

Les clients du cabinet sont des petites et moyennes entreprises appartement à trois secteurs d'activité

le commerce en alimentation, en vêtements, ou en jardinage ; l'hôtellerie-restauration ; le bâtiment. Cinq assistants comptables se répartissent la saisie des documents trois assistants enregistrent toutes les factures d'achats-ventes ; deux assistants traitent les salaires sur un logiciel de paye ;

un assistant gère plus particulièrement la trésorerie et les autres opérations courantes.

Chaque assistant travaille 130 heures par mois et consacre la moitié de son temps à la saisie des

documents. Les durées de saisie mensuelles en minutes, par assistant, pour un cli ent, selon le secteur d'activité et selon le type de saisie, sont les suivants commerçants hôtels -restaurants bâtiment factures 60
45
20 paye 20 60
60
autres opérations 40
30
20

On note

T la matrice des durées de saisie mensuelles, exprimées en heure, par client et par type

d'opération

13/41/3

2/3 1/2 1/3

A la matrice du nombre de clients de chaque secteur d'activité (où x désigne le nombre

mensuel de commerçants clients du cabinet, y le nombre mensuel de clients du cabinet dans l'hôt ellerie, et z le nombre mensuel de clients du cabinet dans le bâtiment) : x

A = y

z

C la matrice des coûts de facturation, en euros, d'une heure de saisie de chaque type

d'opération (où a désigne le coût d'une heure de saisie factures, b le coût d'une heure de saisie de la paye, et c le coût d'une heure de saisie des autres opérations)

C = a b c

Travail à faire

1. Calculer le produit matriciel

u7 et donner l'interprétation concrète des élémen ts de cette matrice. 2 . Calculer le produit matriciel u7u et en donner l'interprétation c oncrète. 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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Deuxième partie

La contribution à la marge totale est évaluée à

80 € par mois pour un client commerçant ;

100 € par mois pour un client du cabinet dans l'hôtellerie ;

60 € par mois pour un client du cabinet dans le bâtiment.

Travail à faire

1. Ecrire sous forme canonique le programme linéaire de variables réelles

visant à maximiser la marge totale. 2.

La solution optimale a été déterminée par la méthode du simplexe. On note e1, e2 et e3 les variables

d'écart associées respectivement aux durées des factures, de la paye et des autres opérations. Le

dernier ta bleau se présente ainsi : e 1 e 2 e 3 résultat 0 0 1/6 1 0 3/2 97,5
0 1 10/9 0 4/3 2/3 130
1 0 1/3 0 1 2 0

Objectif

0 0 220/9
0 160/3
280/3

13 000

Travail à faire

a. Donner le nombre optimal de clients de chaque secteur d'activité. Indiquer si le cabinet a intérêt à se spécialiser dans une clientèle particulière. b. Donner le montant maximal de la marge totale. c . A l'optimum, combien reste-t-il d'heures de saisie disponibles ? 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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PROBLEME 3

L'expert

-comptable veille particulièrement à la qualité du travail des ses collaborateurs en vérifiant qu'il

n'y a pas d'erreurs.

L'expérience a montré à l'expert

-comptable que la probabilité qu'un enregistrement comporte une erreur vaut 0,02. On admet qu'un enregistrement contient au plus une erreur. 1. Périodiquement, l'expert-comptable contrôle 1 000 enregistrements.

On note

la variable aléatoire qui associe, à chaque contrôle, le nombre d'enregistrements (parmi les

1

000 contrôlés) contenant une erreur.

Travail à faire

a. D

éterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire . Justifier la réponse et

préciser les paramètres de cette loi. b. Déterminer, à 10 -3 près, la probabilité de trouver 10 erreurs lors d'un contrôle de 1 000 enregistrements. 2.

La saisie d

es factures est répartie uniformément entre les trois assistants comptables Anatole,

Bérénice et Cunégonde. L'expert

-comptable constate que les pourcentages d'enregistrements contenant une erreur commise par les assistants sont différents de l'un à l'autre , et que les erreurs rencontrées portent soit sur les montants, soit sur les numéros de compte. Ces pourcentages sont supposés stables et sont donnés dans le tableau suivant

Assistant comptable

Pourcentage d'enregistrements

contenant une erreur

Pourcen

tage d'erreurs de montant parmi les erreurs

Anatole

1% 20%

Bérénice

2 40%

Cunégonde

5% 10%

L'expert

-comptable s'apprête à vérifier un enregistrement pris au hasard.

Travail à faire

a. Calculer, à

10-3 près, la probabilité que cet enregistrement comporte une erreur de numéro

de compte commise par l'assistant Anatole. b. Calculer, à 10 -3 près, la probabilité que l'enregistrement soit exact. c. Si l'expert -comptable constate que cet enregistrement comporte une erreur de montant, quelle est, à 10 -3 près, la probabilité qu'elle soit imputable à Cunégonde ? 3.

L'expert-comptable désire comparer les proportions d'erreurs constatées parmi les deux types de

saisie suivants : enregistrements des factures et traitement de la paye. Sur un échantillon de 1000 factures, le taux d'erreur est de 2%. Sur un échantillon de 5000 écritures de paye, le taux d'erreur est de 1%. 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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Travail à faire

a. Recopier et compléter le tableau suivant

Avec une erreur

Sans erre

urs TOTAL

Nombre de factures

Nombre de feuilles de paye

TOTAL b. Effectuer un test du khi -deux, au seuil de risque 5%, permettant de décider s'il y a ou non indépendance entre la nature d'un enregistrement et le fait qu'il soit ou non exact. 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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ANNEXE

Loi normale centrée réduite (répartition)

Cas des grandes valeurs de t

Nota :

La table donne les valeurs de (t) pour t 0. Si t est négatif on prend le complément à l'unité de

la valeur lue dans la table. (-t) = 1 - (t) 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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T able de distribution de (loi de K Pearson) 1 re école en ligne des professions comptables D.E.C.F 2007

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Proposition de corrigé

PROBLEME 1

1.

Je pose

X - 200

20 , la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite (0;1)

1. a. Déterminer, à 10

-2 près, la probabilité que la demande mensuelle X soit compris, au sens large, entre 190 et 220 cactus.

190 200 200 220 200

(190 220) ( )

20 20 20

1 (190 220) ( 1) 2

D'où

(190 220) (1) ( 0, 5) étant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Etant donné les propriétés de

(1) ( 0, 5) (1) (1 ( 0, 5)) (1) (0, 5) 1 0, 5328

La probabilité, à

2 10 près, que la demande mensuelle X soit comp rise, au sens large, entre 190 et 220 cactus est 0,53

1. b. Déterminer, à 10

-2 près, la probabilité que la demande mensuelle X dépasse 240 cactus.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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