[PDF] Exercices Juniors section de la bissectrice issue

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PR´EPARATIONOLYMPIQUEFRANC¸AISE DEMATH´EMATIQUES2019-2020Math´ematiquesOlympiquePr´eparationPOFM

ENVOI1 : G´EOM´ETRIE

CORRIG´E

Exercices Juniors

Exercice 1.SoitABCDun quadrilat`ere etM,N,P,Qles milieux respectifs de[AB],[BC],[CD], [DA].

Montrer que le quadrilat

`ereMNPQest un parall´elogramme.DA B CQM NP

Solution de l"exercice 1Puisque les pointsMetNsont les milieux respectifs des cˆot´es[AB]et[BC],

les droites(MN)et(AC)sont parall`eles. Puisque les pointsPetQsont les milieux respectifs des cˆot´es

[CD]et[DA], les droites(PQ)et(AC)sont parall`eles. Donc les droites(PQ)et(MN)sont parall`eles.

On obtient de la m

ˆeme fac¸on que les droites(NP)et(MQ)sont parall`eles. Donc les cˆot´es oppos´es deux a deux du quadrilat`ereMNPQsont parall`eles, ce qui en fait un parall´elogramme. 1 Exercice2.SoitABCun triangle rectangle enB. SoitMle point d"intersection de la m´ediane issue de Bavec la droite(AC), et(d)la perpendiculaire`a la droite(BC)passant par le pointM. SoitUle milieu du segment[AB],Vle milieu du segment[AM],Ile point d"intersection de la droite(UV)avec la droite (d), etJle point d"instersection de la droite(UV)avec la droite(BC).

Montrer queAC=IJ.BCA

Md UVI Jl Solution de l"exercice 2Les droitesdet(AB)sont perpendiculaires`a la droite(BC)donc elles sont parall =AVVM =1doncVestlemilieudusegment[UI].

Le quadrilat

`ereAIMUa ses diagonales qui se coupent en leur milieu, c"est donc un parall´elogramme. Les pointsUetMsont les milieux respectifs des segments[AB]et[AC]donc les droites(UM)et(BC) sont parall `eles. Donc la droite(UM)est perpendiculaire au segment[AB]et le quadrilat`ereAIMUest un rectangle.

Soitlla droite perpendiculaire au segment[BC]passant parV. Cette droite est la m´ediatrice du segment

[UM]et du segment[AI]donc le pointUest le sym´etrique du pointMpar rapport`a la droitelet le point

Aest le sym´etrique du pointIpar rapport`a la droiteldonc la droite(AM)est la sym´etrique de la droite

(UI)par rapport`a la droitel. Puisque la droite(BC)est sa propre sym´etrique par rapport`a la droitel,

le point d"intersection de la droite(BC)avec la droite(UI)est le sym´etrique du point d"intersection de

la droite(AM)avec la droiteBCdonc les pointsCetJsont sym´etriques par rapport`a la droitel. La sym

´etrie conserve les longueurs, doncAC=IJ.

2 Exercice 3.Soientd1,d2,d3des droites concourantes etA,A0des points sur la droited1,B,B0des

points sur la droited2,C,C0des points sur la droited3tels que les droites(AB)et(A0B0)sont parall`eles

et les droites(BC)et(B0C0)sont parall`eles. Montrer que les droites(AC)et(A0C0)sont parall`eles.AB C A 0C 0B 0S Solution de l"exercice 3SoitSle point de concours des trois droites. Puisque les droites(AB)et(A0B0) sont parall `eles, d"apr`es le th´eor`eme de Thal`es, ASA

0S=BSB

0S De m

ˆeme on trouveBSB

0S=CSC

0S On d

´eduit queASA

0S=CSC

0S ce qui signifie, d"apr `es le th´eor`eme de Thal`es, que les droites(AC)et(A0C0)sont parall`eles. 3 Exercice 4.SoitABCun triangle isoc`ele et obtus enA. Soitle cercle de centreBpassant parA, et le cercle de centreCpassant parA. SoitDle point d"intersection du cercleavec le segment[BC], Ele deuxi`eme point d"intersection de la droite(AD)avec le cercle , etFle point d"intersection de la droite(BC)avec le cercle qui n"est pas sur le segment[BC].

Montrer que le triangleDFEest isoc`ele enF.BC

A D EFX Solution de l"exercice 4SoitXle point d"intersection du cercle avec le segment[BC]. Les pointsB etCsont sym´etriques par rapport`a la m´ediatrice du segment[BC]donc les cercleset le sont aussi.

Il vient queDetXsont sym´etriques par rapport`a la m´ediatrice du segment[BC]. Le triangleDAXest

donc isoc `ele enAet[ADX=[AXD. Les pointsF,E,XetAsont cocycliques doncdFEA=dFXA. On d´eduit d

FED=dFEA=dFXA=[DXA=[XDA=dFDE

Ce qui donne bien que le triangleFDEest isoc`ele enF. 4 Exercice 5.Soitun cercle,Pun point`a l"ext´erieur du cercle. Les tangentes au cerclepassant par le pointPsont tangentes au cercleenAetB. SoitMest le milieu du segment[BP]etCle point d"intersection de la droite(AM)et du cercle. SoitDla deuxi`eme intersection de la droite(PC)et du cercle. Montrer que les droites(AD)et(BP)sont parall`eles. PA BMCD Solution de l"exercice 5En utilisant la puissance du pointMpar rapport au cercle,MB2=MCMA. PuisqueMest le milieu du segment[BP],MP2=MB2doncMP2=MCMA. On d´eduit de la r

´eciproque de la puissance d"un point par rapport`a un cercle que la droite(PM)est tangente au cercle

circonscrit au trianglePAC. On obtient du th´eor`eme de l"angle tangent que\MPC=[PAC. Or la droite

(PA)est tangente au cercledonc`a nouveau par le th´eor`eme de l"angle tangent,[PAC=[ADC. En r

´esum´e :[BPD=\MPC=[PAC=[ADC=[ADP

donc les droites(AD)et(BP)sont parall`eles. 5 Exercice 6.SoitA,B,CetDquatre points sur un cercle dans cet ordre. SoitUle point d"intersection des droites(AB)et(CD), etVle point d"intersection des droites(BC)et(DA). SoitKle point d"inter- section de la bissectrice issue deUdans le triangleAUCet de la bissectrice issue deVdans le triangle

AVC. SoitLle point d"intersection de la m´ediatrice du segment[KU]et de la m´ediatrice du segment

[KV].

Montrer que les pointsU,VetLsont align´es.A

B CDVU KL

Solution de l"exercice 6Le pointLest le centre du cercle circonscrit au triangleUKV. Pour montrer que

les pointsU,LetVsont align´es, il suffit de montrer que[ULV=180. Par le th´eor`eme de l"angle au

centre, [UKV=12 [ULV. Il suffit donc de montrer que[UKV=90. La somme des angles du triangleUKVvaut180, donc il suffit de montrer que[KUV+[KVU=90.

D"une part

[KUV=[CUV-[KUC=[CUV-12 [BUC. Or[BUC=180-[UBC-[BCU=[ADC-[UCB. On d

´eduit

[KUV=[CUV-12 [ADC+12 [UCB

De la m

ˆeme mani`ere, on obtient

KVU=[CVU-12

[CBA+12 [VCD Or [CBA+[ADC=180et

UCB=[VCD=[UCV=180-[CUV-[CVU

Finalement

KUV+[KVU=[CUV-12

[ADC+12 [UCB+[CVU-12 [CBA+12 [VCD [CUV+[CVU-12

180+212

(180-[CUV-[CVU) =90 ce qui donne le r

´esultat voulu.

6 en un pointA. Soittune tangente commune aux deux cercles ne contenant pas le pointA. La perpendi- culaire `a la droitetpassant par le pointAcoupe la m´ediatrice du segment[BC]en un pointF.

Montrer queBC=2AF.OXt

ABCY FM Solution de l"exercice 7SoientXetYles points de tangences detavec les cercles de centreBetC respectivement. SoitOle point d"intersection la droitetavec la tangente commune au deux cercles en

A. Les pointsXetAsont sym´etriques para rapport`a la droite(OB)et les pointsYetAsont sym´etriques

par rapport `a la droite(OC). On d´eduit[BOA=12 [XOAet[COA=12 [YOA. On en d´eduit :

BOC=[BOA+[AOC=12

[XOA+12 [AOY=12 [XOY=90 SoitMle milieu de[BC]. Le triangleBOCest rectangleOdoncMest le centre du cercle circonscrit`a ce triangle. Ceci donneMO=MB=12 BC. Comme les droites(OA)et(MF)sont perpendiculaires`a la droite(BC), elles sont donc parall`eles. Enfin,

MOY=\MOC+[COY=\MCO+[AOC=90

donc les droites(OM)et(AF)sont perpendiculaires`a la droitetdonc elles sont parall`eles. Donc le quadrilat `ereOMFAest un parall´elogramme etBC=2OM=2AF. 7 Exercice 8.SoitABCun triangle acutangle non isoc`ele enA. SoitMle milieu du segment[BC],H l"orthocentre du triangleABC,O1le milieu du segment[AH]etO2le centre du cercle circonscrit au triangleCBH. Montrer que le quadrilat`ereO1AMO2est un parall´elogramme.A BCMHO 1O 2H AH BH CO X Solution de l"exercice 8SoitHAle pied de la hauteur issue du sommetA,HBle pied de la hauteur issue du sommetBetOle centre du cercle circonscrit au triangleABC.

On remarque d

´ej`a queO2est sur la m´ediatrice de[BC]donc les droites(MO2)et(AH)sont parall`eles car elles sont perpendiculaires `a(BC). Il suffit donc de montrer queMO2=AO1. SoitXle sym´etrique du pointHpar rapport au pointM. AlorsMest le milieu de[BC]et[XH]donc BHCXest un parall´elogramme et[XBA=[XBC+[CBA=[HCB+[CBA=90(car le triangleBCHCest rectangle enHC) et de mˆeme[XCA=90doncXest le point diam´etralement oppos´e`aAsur le cercle circonscrit `aABC.

La sym

´etrie de centreMenvoieBsurC,CsurBetHsurXdonc elle envoie le cercle circonscrit`aBCH sur le cercle circonscrit `aBCXdonc elle envoieO2surO. En particulier,MO2=MO. Comme les pointsOetMsont les milieux respectifs des segments[XA]et[XH], d"apr`es le th´eor`eme de Thal `es, OMAH =XMXH =12 doncAH=2OMdonc MO

2=MO=12

AH=AO1

ce qui conclut. 8 Exercice 9.SoitABCun triangle,sont cercle circonscrit et!le cercle de mˆeme centre queet tangent `a la droite(BC). Les tangentes au cercle!passant parAcoupent(BC)en un pointXdu cˆot´e

deBet en un pointYdu cˆot´e deC. La tangente au cercleenBet la parall`ele`a la droite(AC)passant

parXse coupent en un pointSet la tangente au cercleenCet la parall`ele`a la droite(AB)passant par

Yse coupent en un pointT.

Montrer que la droite(ST)est tangente au cercle.A

BC O N! PM XYST

Solution de l"exercice 9Afin d"

´eviter d"avoir`a s´eparer les diff´erents cas, en fonction de la position du

pointYpar rapport au segment[BC], nous allons utiliser les angles de droite orient´es :(AB,CD)d´esigne

l"angle (relatif) dont il faut tourner la droite(AB)pour qu"elle soit parall`ele`a la droite(CD). Nous allons montrer que la droite(TA)est tangente au cercle circonscrit au triangleABCet de mˆeme pour la droite(SA), ce qui donnera bien que la droite(ST)est tangente`a ce cercle. Pour montrer que la droite(AT)est tangente au cercle, il suffit de montrer que(AC,AT) = (BC,BA). Les droites(TY)et(AB)sont parall`eles donc(BC,BA) = (BC,YT) = (YC,YT), donc on est ramen´e`a montrer que(AC,AT) = (YC,YT), autrement dit que les pointsT,A,YetCsont cocycliques. Pour cela, on peut montrer que(YT,YA) = (CT,CA). En effet,(YT,YA) = (AB,AY)(par parall´elisme de(AB)et(YT)) et(CT,CA) = (BC,BA)donc il ne reste plus qu"`a montrer que(AB,AY) = (BC,BA), autrement dit que le triangleAYBest isoc`ele enY. SoitOle centre du cercle, qui est aussi le centre du cercle!, et soitMetNles points de contact respectifs du cercle!avec les segments[YA]et[YB]. Alors les trianglesOMAetONBsont rectangles,

OA=OBetOM=ONdoncMA=pOA

2-OM2=pOB

2-ON2=NBet puisqueYM=YN,

on d ´eduitYA=YBet le triangleYABest isoc`ele enYcomme voulu. 9

Exercices Seniors

Exercice 10.Soientd1,d2,d3des droites concourantes etA,A0des points sur la droited1,B,B0des

points sur la droited2,C,C0des points sur la droited3tels que les droites(AB)et(A0B0)sont parall`eles

et les droites(BC)et(B0C0)sont parall`eles. Montrer que les droites(AC)et(A0C0)sont parall`eles.AB C A 0C 0B 0S

Solution de l"exercice 10SoitSle point de concours des trois droites. Puisque les droites(AB)et(A0B0)

sont parall `eles, d"apr`es le th´eor`eme de Thal`es, ASA

0S=BSB

0S De m

ˆeme on trouveBSB

0S=CSC

0S On d

´eduit queASA

0S=CSC

0S ce qui signifie, d"apr `es le th´eor`eme de Thal`es, que les droites(AC)et(A0C0)sont parall`eles. 10 Exercice 11.SoitABCun triangle isoc`ele et obtus enA. Soitle cercle de centreBpassant parA, et le cercle de centreCpassant parA. SoitDle point d"intersection du cercleavec le segment[BC], Ele deuxi`eme point d"intersection de la droite(AD)avec le cercle , etFle point d"intersection de la droite(BC)avec le cercle qui n"est pas sur le segment[BC].

Montrer que le triangleDFEest isoc`ele enF.BC

A D EFX Solution de l"exercice 11SoitXle point d"intersection du cercle avec le segment[BC]. Les pointsB etCsont sym´etriques par rapport`a la m´ediatrice du segment[BC]donc les cercleset le sont aussi.

Il vient queDetXsont sym´etriques par rapport`a la m´ediatrice du segment[BC]. Le triangleDAXest

donc isoc `ele enAet[ADX=[AXD. Les pointsF,E,XetAsont cocycliques doncdFEA=dFXA. On d´eduit d

FED=dFEA=dFXA=[DXA=[XDA=dFDE

Ce qui donne bien que le triangleFDEest isoc`ele enF. 11 Exercice 12.SoitABCun triangle,son cercle circonscrit et un autre cercle passant par les points

AetB. La droite(AC)coupe le cercle

en un pointDet la tangente`a cercleenBcoupe en un pointE. Montrer que les droites(BC)et(DE)sont parall`eles.ABC D E

180-Solution de l"exercice 12La droite(BE)est tangente au cercle

enBdonc par le th´eor`eme de l"angle tangent, [EBA=[BCA. Les pointsD,A,BetEsont cocycliques donc[EDA=180-[EBA. On d´eduit que [EDA=180-[BCDce qui donne bien que les droites(BC)et(ED)sont parall`eles. 12 Exercice13.SoitA,B,CetDquatre points sur un cercle dans cet ordre. SoitUle point d"intersection des droites(AB)et(CD), etVle point d"intersection des droites(BC)et(DA). SoitKle point d"inter- section de la bissectrice issue deUdans le triangleAUCet de la bissectrice issue deVdans le triangle

AVC. SoitLle point d"intersection de la m´ediatrice du segment[KU]et de la m´ediatrice du segment

[KV].

Montrer que les pointsU,VetLsont align´es.A

B CDVU KL Solution de l"exercice 13Le pointLest le centre du cercle circonscrit au triangleUKV. Pour montrerquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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