UAA5 Séquence 6 : Les polynômes
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Chapitre I Compléments dalgèbre : les polynômes
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Les polynômes
d) Les points représentés en c) font partie du graphe du polynôme P. Le graphe complet du polynôme est obtenu en représentant tous les points ( ( )).
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non-négatifs est un polynôme l.m.n. à coefficients entiers. polynôme complet dont le degré est égal au degré maximal rencontré.
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Titre : LES POLYNÔMES
Le polynôme complet x - 2 x + 3 x - 5 x + 6 x - 8 est un polynôme complet du 5ème degré en x. Parlez du polynôme homogène ? Parlez des polynômes égaux ?
Bonjour à vous toutes et tous. Jespère que tout se passe toujours
7. Complet/ incomplet. Observer si le polynôme contient toutes les puissances à partir de la plus élevée jusqu'à l'exposant zéro (terme indépendant).
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Mar 28 2022 être complets
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appelé de type local par HORMANDER. Nous dirons d'autre part qu'un polynôme P(X) est complet s 'il n'existe aucun vecteur non nul v ~ Rn
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Cours - Polynomes - Christophe Bertault
Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI Dé?nition (Degréd’unpolynômecoef?cientdominantpolynômeunitaire) Soit P =(ak)k?N? K[X]unpolynôme NON NUL Le plus grand indice k pour lequel ak 6= 0 est appelé le degré de P et noté deg(P)
Les polynômes - Lycée Michel Rodange
complet du polynôme est obtenu en représentant tous les points ( x P (x )) où x Tracez le graphe du polynôme sans calculer des images supplémentaires Dans le cas d’un polynôme du 2e degré la courbe obtenue est appelée une parabole e) Représentez graphiquement le polynôme du 1er degré Q(x ) 3x 5 Le graphe est ici 4
1 Polynômes et monômes - Archiveorg
Le degré total ou partiel d’un polynôme est le maximum des degrés de ses monômes Il convient de distinguer le polynôme nul qui est sans monômes (une sommation indexée sur l’ensemble vide est nulle par convention) ; le polynôme nul n’a pas de degré (ou bien on convient de lui attribuer le degré -1 )
Chapitre Polynôme et Fractions - Ensah-community
POLYNÔMES 1 DÉFINITIONS 2 • 2 est un polynôme constant de degré 0 1 2 Opérations sur les polynômes • Égalité Soient P = anXn +a n1X n 1 + +a 1X +a0 et Q = bnX n + b n1X n 1 + + b 1X + b0 deux polynômes à
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Comment calculer le degré d'un polynôme?
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Comment savoir si un polynôme est unitaire?
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Quelle est la définition d’un polynôme scindé?
3.3 POLYNÔMES SCINDÉS ET THÉORÈME DE D’ALEMBERT-GAUSS Dé?nition (Polynôme scindé)SoitP? K[X]. On dit quePestscindé(surK) s’ilN’estPASconstant et possède exactement deg(P)racines (dans K) comptées avec multiplicité.
Comment calculer la valeur numérique d’un polynôme ?
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Bonjour à vous toutes et tous.
manquent un peu. scolaire et je vais vous envoyer ce que nous aurions dû encore voir. Ceci est juste pour votre information et sans aucune obligation de votre part, correctif suivra. Si vous éprouvez quelques difficultés vous pouvez toujours consulter les sites déjà donnés précédemment. Je vous remets leurs adresses ci-dessous. http://mathinverses.weebly.com/ pas ? Que faites- vous pour vous occuper votre temps ? professionnelle : orban.marine@agrisaintgeorges.be ou mathagriorban@gmail.comEn retour, je vous transmettrai le correctif.
Bon amusement et bon travail.
M. Orban
3UAA5 Les polynômes
Définitions.
Vocabulaire
1. Monôme :
a est appelé le coefficient ; x la variable et n exprime le degré du monôme. Ex : െʹݔଷ est un monôme de coefficient -2, de variable x et de degré 3.2. Monôme semblables:
Ce sont des monômes qui ont la même partie littérale (même variable et même degré)Ex : െʹݔଷ et ͺݔଷ
3. Polynômes :
Un polynôme est une somme de monômes.
Ex : െʹܽଷ͵ܽହܽ4. Réduire
(= additionner ou soustraire) les termes semblables et réécrire le polynôme ainsi réduit. Un polynôme réduit est un polynôme qui ne contient plus de monômes semblables.Ex : െʹܽଷ͵ܽହܽ est un polynôme réduit mais െʹܽଷ͵ܽହ͵ܽʹܽହܽ
pas un polynôme réduit.5. Ordonner
= Réécrire le polynôme en plus élevé et de manière commençant par le posant le plus petit).Ex : െʹݔଷ͵ݔହݔ ͵ݔହെʹݔଷݔ est un
polynôme ordonné.6. Degré
Ex :െʹݔଷ͵ݔହݔ est un polynôme réduit ordonné de degré 5
7. Complet/ incomplet
Observer si le polynôme contient toutes les puissances à partir de la plus élevéeEx : ܲ
terme de degré 1. réel donné.Ex : ܲ
Calculons la valeur numérique de ce polynôme pour ݔൌʹOn écrira :ܲ
Exercices
1) Ordonne les polynômes suivants de manière décroissante, détermine le
degré de ceux-complets en notant le(s) terme(s) manquant(s) : a) 5x4 - 4x³ + 2x² - 5x + 4x³ + 5x4 b) -9x² + 4x + 5x² - 8x + 9 2x 52) Calcule les valeurs numériques des polynômes suivants :
a) P(x) = -7x³ + 5x² - 5x + 3P(-1) =
P(0) =
b) Q(x) = 3x² + 2x -1 c) P(x) = 3x² - 4x + 5 pour x = 1 d) P(t) = t5 + 2t³ - 3t + 4 pour t = -2 e) P(x) = 4x² - 5x + 3 6x³ pour x = ଵ f) P(a) = -2a³+ 7a²- 2a -2 pour a = ିଵOpérations
Addition et soustraction.
Soient les polynômes
232 ( ) 1 4 6 8 ( ) 4 2
A x x x x
B x x x
alors ( ) ( )A x B x2 3 2( ) ( ) 1 4 6 8 4 2A x B x x x x x x
Supprime les ( ).
23262( ) ( )8144xABxxxxxx
Réduis et ordonne ton résultat.
32( ) ( ) 8 4 1A x B x x x
Attention au changement de signe pour la soustraction, au signe devant des ( )Multiplication.
Soient les polynômes
2 4 3 2 1 Q x xR x x x
alors calcule .Q x R x2( ). ( ) 4 . 3 2 1Q x R x x x x
Distribue puis réduis le résultat.
32( ). ( ) 3 14 7 4Q x R x x x x
Exercices
Calcule
1) Si P(x) = 5x³ - 2x² + 5x 3 et R(x) = 3x² + 4x + 5 x³
a) P(x) + R(x) = b) P(x) R(x) = c)Vérifie P(x) + R(x) si x = 22) Soient P(x) = -4x² - 5x + 1 et S(x) = -x 2
Calcule P(x) . S(x) =
Vérifie si x = -1
3) Soient P(x) = x² + 2x - 3 et R(x) = x 3x² - 2
Calcule : 2.P(x) 3.R(x) =
Division euclidienne
24(3 3 8 7 ):(3 6)x x x x
3x4 + 0x3 - x2 + 7x + 8 3x+6 On utilise la disposition
pratique.On ordonne et on complète
le dividende.On divise le 1er terme du
dividende par le 1er terme du diviseur : 1 433 11 3 3 xxx1er terme du
quotientOn multiplie le diviseur par
le 1er terme du quotient.3 4 3.(3 6) 3 6x x x x
On soustrait ce résultat du
dividende et on obtient le 1er reste partiel. -3x4 - +6x33211233
xxx -6x3 - x2 + 7x + 8 +6x3 +12x211x2 + 7x + 8
-11x2 -+ 22x - 9x + 8 - 9x + 18 26On fait de même avec le reste partiel comme nouveau dividende 32623
xxx
2 3 22 .(3 6) 6 12x x x x
211 11
33xx x 2 2
11 33 66.(3 6)3 3 3
11 22 x x xx xx3.(3 6) 9 18xx
Le degré du reste est évidemment inférieur à celui du diviseur.26 est le reste.
Division par ( x a ) -
Lorsque le diviseur est un binôme de la forme
xa , on peut utiliser une autre disposition pratique appelée méthode .Effectue la division de
325 11 6x x x
par 2xDividende :
321 5 11 6D x x x x
Diviseur :
2d x x
Il faut ordonner le dividende (suivant les puissances décroissantes de la variable) et le compléter si nécessaire. coefficients de Dx1 -5 11 -6
a = 2 2 -6 10 .2 .2 .2 coefficients de qx1 -3 5 4 = r
Quotient :
21 3 5q x x x
le quotient est de degré 2 car33 1 2xxxx
Reste :
4rOn peut exprimer le dividende sous la forme
.D x d x q x r Donc (x³ - 5x² + 11x 6) = (x 2) . (x² - 3x + 5) + 4Exercices
Calcule en utilisant la méthode de Horner.
Ecris le dividende égalité. Ou D(x) = d(x) . Q(x) + R(x). a) (4x³ - 3x² - x + 1) : (x 2) b) (x4 3 x² + 1) : (x + 1)Loi du reste
Le reste de la division x - a est la
valeur numérique de ce polynôme pour x = a Ex : a) Sans effectuer la division, calcule le reste de la division de3229P x x x
par x3323 3 2.3 9
27 2.9 9
27 18 9
0 rPRemarque
r0 donc la division est exacte.On dit que
Px est divisible par x3 CommeD d.q r
et que r0 alors x x x x x3 2 22 9 3 3 b) Sans effectuer la division, calcule le reste de la division deP x x x4334
par x +2 rP432 2 3. 2 416 3. 8 4
16 24 4
44Remarque
r0 Px pas divisible par x +2 . CommeD d.q r
et que r0 alors x x x x x x4 3 3 23 4 5 10 20 2 44Exercices
1) Calcule le reste des divisions suivantes sans effectuer la division :
a) (2x³ - 9x² + 7x + 6) : (x 2) b) (x³ + 7x + 12) : (x + 4)2) Parmi les divisions suivantes, détermine celles qui se font exactement.
Justifie tes réponses par un calcul SANS utiliser Horner. a) (x6 + 3x³ - 2) : (x + 1) b) b) (2x³ + 6x² + x + 3) : (x + 3La factorisation
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