[PDF] PHQ 526 : Électromagnétisme avancé

View - Download PHQ 526 : Électromagnétisme avancé

Previous PDF

Next PDF

ÉLECTROMAGNÉTISME AVANCÉ

PHQ526

par

David SÉNÉCHAL

Ph.D., Professeur Titulairer¢DAE4¼½

r^EÅ1c @B@tAE0 r¢BAE0 r^H¡1c @D@tAE4¼c J

UNIVERSITÉ DESHERBROOKE

Faculté des sciences

Département de physique

30 mai 2018

2

Table des matières

1 Équations de Maxwell7

A Charge électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.A.1 Forces et unités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.A.2 Quantification de la charge électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

1.A.3 Distributions de charge et de courant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

B Forces électrique et magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

C Champs électrique et magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

D Lois de Gauss et d"Ampère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

E L"induction électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

F Les équations de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2 Potentiels et énergie électromagnétiques25

A Les potentiels électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

B Particule chargée dans un champ électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . .27

C Théorème de Poynting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

D Potentiels retardés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

2.D.1 Équation d"onde pour les potentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.D.2 Fonction de Green pour l"équation de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . .32

2.D.3 Ondes électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33

E Électrostatique des conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.E.1 Loi d"Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.E.2 Distribution des charges dans un conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

2.E.3 Capacité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

3 Dipôles électriques et magnétiques39

A Moment dipolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 B Développement multipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 C Moment quadripolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42 D Énergie d"une distribution de charge dans un potentiel externe. . . . . . . . . . . .43 E Moment dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 F Moment dipolaire magnétique et moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 G Force et couple sur un moment dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . .47

4 Champs macroscopiques53

A ChampsD,P,HetM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

B Conditions de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

C Potentiel scalaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

4.C.1 Exemple : sphère avec aimantation uniforme.. . . . . . . . . . . . . . . . . .58

D Énergie électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

5 Ondes planes dans le vide et les diélectriques63

A Ondes planes et représentation complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

B Polarisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

C Densité et flux d"énergie d"une onde monochromatique. . . . . . . . . . . . . . . . .68 3

4TABLE DES MATIÈRES

D Décomposition spectrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

E Lumière partiellement polarisée et paramètres de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . .73

6 Théorie de la constante diélectrique77

A Polarisabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77

B Modèle de Drude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

C Équation de Clausius-Mossoti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

D Fréquence de plasma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

E Plasma en champ magnétique : magnétosphère. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 F Dispersion dans les conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 G Propagation dans un conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

7 Réflexion et réfraction97

A Incidence normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97 B Incidence oblique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

C Angle de Brewster. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

D Coefficients de réflexion et transmission. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

E Réflexion totale interne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103

F Réflexion et réfraction sur les conducteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

8 Propagation dans un diélectrique anisotrope109

A Tenseur diélectrique et systèmes cristallins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

B Surface des indices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

C Vecteur radial et surface des rayons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .114

D Polarisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

9 Guides d"ondes et cavités123

A Équation de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .123

B Réduction aux composantes longitudinales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

C Modes TEM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126

D Modes TE et TM dans un guide conducteur creux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 E Guide d"onde rectangulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 F Guides d"ondes à section circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

9.F.1 Guide d"onde creux à section circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

9.F.2 Distribution du courant dans un fil conducteur. . . . . . . . . . . . . . . . .136

9.F.3 Fibre optique à saut d"indice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

G Pertes d"énergie dans les guides d"onde à parois conductrices. . . . . . . . . . . . .142

H Cavités électromagnétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

I Facteur de qualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .146

10 Rayonnement d"ondes électromagnétiques153

A Rayonnement par une source monochromatique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 B Rayonnement multipolaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

10.B.1 Rayonnement dipolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156

10.B.2 Rayonnement dipolaire magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .158

10.B.3 Rayonnement quadripolaire électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159

C Antennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

10.C.1 Antenne linéaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161

10.C.2 Résistance de rayonnement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163

10.C.3 Antennes réceptrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164

10.C.4 Réseaux d"antennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165

Table des matières

11 Diffraction171

A Diffraction scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171

11.A.1 Diffraction vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174

B Approximation de Fraunhofer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 C Diffraction par une ouverture circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

D Principe de Babinet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

E Formule de Stratton-Chu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183

12 Diffusion de la lumière187

A Diffusion par un électron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .188

B Théorie générale de la diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193

C Facteur de forme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195

D Fluctuations de densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196

13 Rayonnement par des charges ponctuelles201

A Champs produits par une charge en mouvement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201 B Charge en mouvement uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204 C Rayonnement non relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .206

D Cas où la vitesse est parallèle à l"accélération. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .207

E Cas d"une orbite circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .209

F Rayonnement synchrotron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .211

14 Formulation relativiste215

A Quadrivecteurs en relativité restreinte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .215

14.A.1 Tenseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217

14.A.2 Exemples d"invariants et de quadrivecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

B Forme covariante des équations de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

14.B.1 Tenseur de Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222

C Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

14.C.1 Formule de Larmor relativiste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .226

D Formulation lagrangienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .228

15 Annexes237

A Formulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

15.A.1 Notation indicielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

15.A.2 Formules d"analyse vectorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .238

15.A.3 Conversion entre les systèmes SI et gaussien. . . . . . . . . . . . . . . . . . .241

B Théorème de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .242

D Polynômes de Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .245

E Fonctions de Bessel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

15.E.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

15.E.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .249

15.E.3 Fonctions de Bessel modifiées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250

F Méthodes de solution de l"équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252

15.F.1 Propriétés des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .252

15.F.2 Séparation des variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

15.F.3 Séparation des variables en coordonnées cartésiennes. . . . . . . . . . . . .253

15.F.4 Séparation des variables en coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . .255

15.F.5 Séparation des variables en coordonnées cylindriques. . . . . . . . . . . . .258

G Vecteurs et tenseurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260 5

Table des matières

6

CHAPITRE1

Équations de Maxwell

L"objectif de ce chapitre est l"établissement des lois fondamentales de l"électromagnétisme - soit

les équations de Maxwell - à partir des observations empiriques. Il s"agit donc d"un procédé

inductif. Les chapitres suivants seront, par contraste, plus déductifs. On suppose ici que ces lois

sont déjà connues; ce chapitre est donc en bonne partie composé de rappels.

ACharge électrique

1.A.1Forces et unités

Les phénomènes électriques sont connus depuis l"Antiquité. THALÈSde Milet, six siècles avant

notre ère, savait que l"ambre1frotté pouvait attirer à lui de menus objets, comme des brindilles.

Un mystère fascinant a toujours entouré cette capacité des corps électrisés à exercer une force à

distance sur d"autres corps. Cependant, ce n"est qu"au 18e siècle, par une application de la mé-

thode expérimentale, que les phénomènes électriques ont été réellement approfondis. On conçoit

dès lors que la "vertu électrique» est un fluide qui peut s"écouler d"un corps à l"autre. Un corps

électrifiépeut transmettre ce fluide à un autre corps par contact direct. Il peut aussi attirer à lui

des petits objets qui ne sont pas au préalable électrifiés, mais qui le deviennent à son contact et

qui sont par la suite violemment repoussés par lui. En 1729, Stephen GRAYdistingue les corps

conducteurs, qui peuvent transporter le fluide électrique d"un objet à l"autre, des corpsisolants.

Quelques années plus tard, CharlesDUFAYpropose le modèle dit desdeux fluides: l"ambre frotté

porte une électricité diterésineuse, alors que le verre frotté porte une électricité ditevitrée. Les

deux fluides s"attirent l"un l"autre et se neutralisent lorsqu"ils entrent en contact. Par contre, deux

corps portant des électricités du même type se repoussent. Benjamin FRANKLINpropose plus tard

la théorie dufluide unique: il n"y a qu"un type d"électricité, qui est normalement en quantité

équilibrée dans les corps. C"est son surplus dans un corps qui correspond à l"électricité vitrée (ou

positive, selon Franklin) et son déficit qui correspond à l"électricité résineuse (ou négative). Le

18e siècle voit aussi l"invention du condensateur, alors appelébouteille de Leyde, qui permet de

stocker le fluide électrique pendant un certain temps.

1.elektron, en grec

7

Chapitre 1. Équations de Maxwell

La loi de Coulomb

À la fin du 18e siècle, l"influence de Newton pousse les savants à déterminer des lois quantitatives

sur les forces exercées par les corps électrisés. C"est Charles COULOMBqui, en 1785, réalise le

premier des expériences précises sur la grandeur de ces forces, à l"aide d"une balance à torsion

de son invention. La loi de Coulomb stipule que la force mutuelle entre deux sphères électrisées

décroit comme l"inverse du carré de la distance séparant les deux sphères, comme la force de

gravité. De plus, cette force est proportionnelle à la quantité de fluide électrique sur chaque

sphère, est attractive si les deux objets ont des charges de signes opposés, négative dans le cas

contraire. Ainsi, la grandeur de cette force s"exprime ainsi :

F=keq1q2

r2(1.1)

oùq1etq2dénotent la quantité de fluide électrique - lacharge électrique- sur les objets 1 et

2 respectivement, alors querest la distance séparant les deux objets etkeest une constante.

Cette affirmation suppose bien sûr une méthode qui permet d"ajouter à répétition à un objet une

quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

[PDF] Champ magnétique Spectre - Cours de mathématiques de Christian - Tir À L'Arc

[PDF] Champ magnétique terrestre

[PDF] Champ professionnel Bijoutier/Bijoutière Orientation « Bijouterie

[PDF] Champ professionnel Habitat - PLAN DE PROGRESSION – 3ème

[PDF] CHAMP PROFESSIONNEL VASTE ET EXIGEANT

[PDF] Champ psychosomatique_2009,52 - La Mise En Réseau

[PDF] champ sémantique, champ sémantique lexical ou

[PDF] Champ tournant, moteurs synchrone et asynchrone. I. Champ

[PDF] Champ. NA mixte

[PDF] CHAMPAGNE (75cl) VIN BLANC (75cl) - Anciens Et Réunions

[PDF] CHAMPAGNE (J. Higelin) transposé en Gm Gm Dm La nuit promet d - Anciens Et Réunions

[PDF] champagne - Amicale du site de formation de Villeneuve d`Ascq

[PDF] champagne - ardenne - Anciens Et Réunions

[PDF] champagne - france prosecco - italy white france vins de pays

[PDF] Champagne - Francis Bernard