[PDF] Optique Géométrique 9 sept. 2020 1 : Etude

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Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frTD d"Optique 1

Optique Géométrique

09/09/2020

OOO

Préambule : compositions de physique récentes portant sur l"optique :AnnéeSujetParties d"optique

2020Diraction, optique adaptativePartie 4

2019InterférencesPartie E

2016Polarisation, InterféromètresTotalité du sujet

Propagation d"ondes

2015Optique géométrique1 : Etude géométrique du microscope,

Diraction2 : Pouvoir séparateur du microscope

2007Propagation d"une ondeI : Rayons lumineux,

électromagnétique dans lefibre optique

domaine optiqueIII : Biréfringence

IV : Milieux non linéaires

2005Ondes en mécanique1.A. : Cohérence des ondes

classique et quantiquelumineuses

2000Interféromètre de Michelson :Totalité du sujet

développements et applications

Bibliographie de base :

Se xtant,Optique expérimentale(indispensable pour les montages) S. Houard, Optique - Une approche expérimentale et pratique(intéressant égale- ment pour les montages)

E. Hecht, Optics

M. Bertin, J.P .F aroux& J. Renault, Optique et physique ondulatoire(Dunod, 3 ièmeédition, 1986) M. Françon, Vibration lumineuse - Optique cohérente J.C. Hild, Éléments de cours et expériences d"optique-J-Ph. Pérez, Optique

B. Balland, Optique géométrique

R. T aillet,Optique physique

Pour des précisions supplémentaires, quelques ouvrages plus diciles d"accès :

Born and W olf,Principles of Optics

G. Bruhat, OptiqueDernière modification : 26 août 20201/5

Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frExerciceI Rappels

1.Définitions

1.1 Rappeler les lois de Snell-Descartes qui gouv ernentla réfle xion/réfraction d"un rayon lumineux à la surface d"un dioptre. 1.2 Définir les notions de stigmatisme rigoureuxet destigmatisme approché. Donner des exemples de dispositifs optiques qui présentent un stigmatisme rigoureux. 1.3 Qu"appelle-t-on grandissement,grossissementetgrossissement commerciald"un système optique? 1.4 Qu"appelle-t-on conditions de Gausspour un système optique?

2.Lentille mince

2.1 Donner ,dans les conditions de Gauss, les relations de conjug aisond"une lentille mince. 2.2 En déduire les relations de conjug aisonaux fo yers,dites relations de Ne wton,qui relient la distance de l"objet au foyer objet à la distance de l"image au foyer image. 2.3 Calculer le grandissement de la lentille en fonction de la distance objet - fo yer objet. 2.4 À focale fixée, dans quelle configuration minimise-t-on la distance objet - image ? Quel est le grandissement de la lentille dans cette configuration? Comment faut-il déplacer la lentille pour augmenter/diminuer le grandissement? 2.5 Si l"on fix ela position de l"objet et de l"écran sur lequel on souhaite en f aire l"image, combien y a-t-il de positions possibles où l"on peut placer la lentille? Quelle est la focale maximale que l"on peut choisir?

3.Principe du microscope

Un microscope est constitué d"un objectif (représenté par une lentille convergente L

1de focalef1) et d"un oculaire (lentille convergenteL2de focalef2). Pour que l"oeil

n"ait pas à accommoder, il forme l"image à l"infini d"un objetABà observer. L"objectif en forme une image intermédiaireA1B1. On appelle intervalle optiquela distance

entre le foyer image de l"objectif et cette image intermédiaire.3.1Quelle est la condition sur l"image intermédiaire pour que l"oeil n"ait pas à accom-

moder? 3.2 Quel coe cient utiliser pour caractériser l"ecacité du microscope? Le calculer et l"exprimer en fonction des propriétés de l"objectif et de l"oculaire. 3.3 On appelle plans principauxles plans conjugués pour lesquels le grandissement est unité. Donner la position de ces plans pour le microscope. 3.4 On appelle points nodauxles points conjugués de l"axe optique pour lesquels le grossissement est unité. Montrer que, dans le cas présent, les points nodaux sont situés dans les plans principaux. 3.5 Quels sont les plans principaux et les points nodaux d"une lentille simple ?

4.Profondeur de champ

On modélise l"objectif d"un appareil photo par une lentille de focalefet de dia- mètreD. 4.1 Qu"appelle-t-on nombre d"ouv erture?Profondeur de champ ? 4.2 En considérant que l"image d"un point est nette lorsque son diamètre est inférieur à une valeura, déterminer la profondeur de champ d"un objectif photographique, en fonction dep, distance lentille - objet, et de l"ouverture numériquen.

ExerciceII Stigmatisme et aplan´etisme

1.Lois de Snell-Descartes

1.1

Énoncer le principe de Fermat.

1.2 On considère le dioptre de la figure 2.1 et les deux points A1etA2, reliés par un rayon lumineux qui intercepte le dioptre au pointI. On considère un second rayon, reliantA1etA2, mais interceptant le dioptre au pointI0, infiniment proche deI. Que peut-on dire de la diérence de marche entre les cheminsA1IA2etA1I0A2? 1.3 Calculer cette di érence en fonction des vecteurs unitairesu1etu2et en déduire la forme vectorielle des lois de Snell-Descartes. On introduira le vecteur unitaire Nnormal au dioptre au pointI, orienté versA2.Dernière modification : 26 août 20202/5

Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.frFigure2.1 - Réfraction sur un dioptre. 1.4

Montrer que n1sini1=n2sini2.

2.Stigmatisme et aplanétisme

2.1 Soit un dispositif optique quelconque qui fait du pointAol"imageAi(voir fi- gure 2.2). Que peut-on dire des cheminsAoIJAietAoI0J0Aisiest rigoureuse- ment stigmatique?Figure2.2 - Dispositif optique stigmatique.

2.2Condition des sinus d"AbbeLe systèmeest dit aplanétique s"il est stigmatique

pour tout couple de pointsBoetBi, infiniment proches deAoetAi, contenus, respectivement, dans les plans normaux à l"axe optique enAoetAi. Montrer que, dans cette condition, n oA oBosino=niA iBisini:(II.1)3.Applications : points de Weierstrass 3.1 On considère à nouv eaule dioptre de la figure 2.1. Montrer qu"il est stigmatique pour les pointsA1etA2s"il est le lieu des pointsIvérifiantn1A

1I+n2IA

2=a, où

aest une constante. 3.2 Montrer que, si a=0, ce lieu est un cercle dont on précisera le rayon et le centre. 3.3 Identifier les points, appelés points de W eierstrass,pour lesquels un dioptre sphé- rique est rigoureusement stigmatique. 3.4 Montrer qu"en ces points le dioptre sphérique est aussi aplanétique. ExerciceIII Aberrations des lentillesFigure3.1 - Dioptre sphérique de rayonR. 1. On considère un dioptre sphérique, de rayon R, qui sépare un milieu d"indicen1d"un milieu d"indicen2. On noteS2l"image du pointS1par le dioptre (voir FIG. 3.1). 1.1

Montrer ,sans approximation, que

n 1l 1+n2l 2=1R n2s2l

2n1s1l

1! :(III.1) 1.2 Que de vientl"équation (III.1) si l"on ne considère que des rayons proches de l"axe?

Dernière modification : 26 août 20203/5

Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.fr1.3On associe deux dioptres sphériques, de rayons RetR0, pour former une lentille.

En supposant que la lentille est mince, qu"elle est utilisée dans l"air et dans les conditions de Gauss, retrouver la relation de conjugaison donnée au premier exer- cice. On montrera en particulier que sa focale,f, vérifie, en notantnl"indice du verre, 1f =(n1) 1R 1R 0! :(III.2)

2.Aberrations chromatiquesLes indices optiques des matériaux dépendent de la lon-

gueur d"onde. C"est notamment le cas des verres, typiquement la silice, utilisés pour former les lentilles. 2.1 On utilise un v erreborosilicate cro wn(BK7) d"indice n=1;52867 à=400nm, n=1;51571 à=590nm etn=1;51166 à=800nm. On réalise une lentille biconvexe dont les faces ont pour rayon de courbureR1=73;2cm etR01=40cm. Calculer la focale aux trois longueurs d"onde considérées. Que constate-t-on? 2.2 On envoieunfaisceaudelumièreblanche,parallèleàl"axeoptique,etquirecouvre toute la lentille, de diamètreD=8cm. Qu"observe-t-on au voisinage du foyer image "moyen» de la lentille? Evaluer le diamètre minimum de la tache observée

à l"écran.

2.3 Pour corrigercesaberrations,onréaliseundoubletachromatique.Pourcela,onac- cole à la lentille précédente une autre lentille faite d"un matériau diérent, choisie telle que les foyers du doublet aux longueurs d"onde extrêmes soient confondus. On utilise un verre flint (SF2) d"indicen=1;68222 à=400nm,n=1;64615 à =590nm etn=1;63505 à=800nm. Comment doit-on choisir cette seconde lentille? Calculer la focale du doublet achromatique.

3.Aberrations géométriquesOn considère une lentille plan-convexe, d"indicen, suppo-

sée achromatique, dont la face plane est éclairée par un faisceau collimaté parallèle à

l"axe optique et centré. La face convexe est une surface sphérique de rayonR. On note Cle centre du dioptre sphérique et, comme précédemment,Oson sommet. 3.1 On considère un rayon lumineux d"angle d"incidence isur le dioptre sphérique. Ce rayon intercepte l"axe optique en sortie de la lentille au point notéF(i). Calculer

CF(i) en fonction deRet den.

3.2 Ce dispositif est-il stigmatique ?Où se concentrent les rayons lumineux ?Sur

quelle longueur?3.3Montrer que, dans les conditions de Gauss, CF(i) est indépendant deiet retrouver

l"équation (III.2) . ExerciceIV Propagation dans un milieu d"indice continˆument variable 1. Énoncer le principe de Fermat et f aireune analogie a vecle principe de moindre ac- tion qui gouverne les lois de la mécanique. Énoncer les équations de Lagrange qui découlent de ce principe de moindre action. 2. Quel est l"équi valentdu lagrangien dans le cas de l"optique ?En déduire l"équation dite des rayons lumineux qui gouverne la propagation de la lumière dans un milieu d"indice continûment variabled(n~u)ds=~rn; où ~uest le vecteur tangent au rayon.

ExerciceV Fibres optiques(AgregA 2007)

1. Une fibre optique est f abriquéeà base de v erresou de plastiques supposés transparents et isotropes. La fibre à saut d"indice est constituée d"un coeur cylindrique homogène de rayonr1, d"indicen1, d"axeOzet d"une gaine cylindrique d"indicen2entourant le coeur et de même axe. On introduit n21n222n21: Dans la pratique,n1etn2ont des valeurs très voisines, etjj 102. On considère, dans l"air d"indice 1, un rayon incident dont le plan d"incidence contient l"axeOz, et qui arrive sur l"entrée de la fibre avec une incidence. Les cal- culs suivants, et les conclusions qui s"en suivent, ne s"appliquent qu"au cas des fibres dont le coeur est susamment grand, et donc nécessairementmultimodes. La propa- gation dans les fibres de plus petit diamètre, en particulier les fibresmonomodes, n"est correctement prédite qu"en optique ondulatoire. 1.1 Comment f aut-ilchoisir n1etn2pour que la lumière soit guidée, c"est-à-dire pour que la réflexion totale puisse se produire?

Dernière modification : 26 août 20204/5

Préparation à l"agrégation de Montrouge

Septembre 2020Clément Sayrin

clement.sayrin@lkb.ens.fr1.2Montrer alors que, si reste inférieur à un anglemax, un rayon peut être guidé dans

le coeur. On appelle ouverture numérique O.N. la quantité sinmax. Exprimer l"O.N. en fonction den1et. Faire l"application numérique avec =102etn1=1;50. 1.3 Que se passe-t-il si l"on courbe fortement la fibre ? 1.4 Une impulsion lumineuse arri veà t=0, au pointOd"entrée de la fibre précé- dente, sous la forme d"un faisceau conique convergent d"axeOz, de demi-angle au sommeti< max. Pour une fibre de longueurL, calculer l"élargissement temporel tde cette impulsion à la sortie de la fibre. On donneL=10 m,i=8. Faire l"application numérique.

2.Extension à un milieu non homogène : loi fondamentale de l"optique géométrique

En utilisant les lois de Snell-Descartes relatives à la réfraction dans un milieu iso- trope non homogène, on peut aboutir à la loi fondamentale de l"optique géométrique d(n~u)ds=~rn; où ~uest le vecteur unitaire tangent au rayon lumineux,nl"indice du milieu etsl"abs- cisse curviligne le long de ce rayon, en un point donné de ce dernier.

En introduisant

~v, vecteur unitaire porté par la normale principale au rayon et orienté dans sa concavité, etR>0, rayon de courbure de ce rayon au point considéré, on peut montrer que la loi fondamentale de l"optique géométrique permet d"aboutir à l"expression plus simple suivante nR =~v·~rn: 2.1 En s"appuyant sur un e xempleconcret bien choisi, discuter du sens ph ysiquede cette dernière formule. Décrire une expérience de laboratoire permettant une illus- tration simple de ce phénomène.

2.2Application : fibre optique à gradient d"indice

On reprend le cadre de l"application précédente, mais, afin de remédier en particulier à l"élargissement des impulsions, on remplace le coeur par un milieu inhomogène d"indicen(~r) vérifiant l"équation suivante n

2(r)=n210

BBBBB@12 rr

1!

21CCCCCA;pourr homogène d"indicen2, et on a encoren1=n(r=0)=1;50 et =n21n222n21=102. On considère un rayon lumineux pénétrant dans la fibre enOavec l"incidence et se propageant dans un plan axial (le plan d"incidence contient l"axeOz) et dans le coeur. a. On introduit , angle formé en un point par le rayon lumineux et l"axeOz. Que peut-on dire de la quantiténcos? Etablir alors l"équation de la trajectoire de ce rayon lumineux en fonction der1,0=arcsinsinn

1et. Quelle est la

nature de cette trajectoire? Montrer que le rayon coupe l"axe (Oz) en des points régulièrement espacés d"une longueurdqu"on exprimera en fonction der1, et0. b. Dans les conditions précédentes, quelle est la condition sur pour que le rayon se propage eectivement dans le coeur de la fibre? En déduire l"ouverture nu- mérique en fonction deetn1. Faire l"application numérique et commenter. c. En considérant une impulsion lumineuse identique à celle de l"application pré- cédente, l"élargissementt0de cette impulsion à la sortie d"une fibre à gradient d"indice de longueurLest donnée par t0=n1Lc

12cos01+cos02

Faire l"application numérique pourL=10 m eti=8et conclure. d. Donner des e xemplespratiques d"utilisation des fibres optiques.

Dernière modification : 26 août 20205/5

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