[PDF] Symétrie molécules suivantes possèdent

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Symétrie

3.1Groupes

Déterminer si les ensembles suivants sont des groupes. 1. Les nombr esentiers Zsous l"opérationaddition: (Z,+). 2. Les nombr esentiers Zsous l"opérationmultiplication: (Z,×). 3. Les nombr esrationnels Q?sous l"opérationmultiplication: (Q?,×).

3.2Symétrie ponctuelleÀ l"aide de la notation de Schoenflies, identifier les groupes auxquels les molécules

suivantes appartiennent. 1. CO 2 2. bicy clo[4.4.0]deca-1,3,5,7,9-pentene3.CH ClFBr 1

3.5 XeOF

42
4.

B( OH)

35.1,1-difluor oéthylène

6.cis-1,2-difluoroéthylène

7.trans-1,2-difluoroéthylène

3.3Molécule inconnue

Déterminer le groupe ponctuel de la molécule suivante. Indice : Il y a cinq classes.3.4Produit de représentationDéterminer le résultat des produits suivants et décomposer le résultat en une somme

d"irreps.

1.C2v:A2×B1×B2

2.C3v:A1×A2×E

3.C6v:B2×E1

4.O:T1×T2×E

3.5XeOF4

ci-dessous est très réactive.

3.7 État final d"une transition dipolaire magnétique3

1.

Déterminer les opérations de symétrie.

2.

R egrouperces opérations en classes.

3.

Calculer la table des caractèr es.

4.

Calculer la table de multip licationdes irr eps.

6. Déterminer la p lusgrande dégénér escencepossible.

3.6État final d"une transition dipolaire électrique

Déterminer l"irrep de l"état final,

1. si l" étatinitial d"une molécule de symétrie C2vestA1. 2. si l" étatinitial d"une molécule de symétrie C2vestB1. 3. si l" étatinitial de la molécule O

2est-g.

4. l"axe de la molécule.

3.7État final d"une transition dipolaire magnétique

Déterminer l"état final,

1. si l" étatinitial d"une molécule de symétrie C2vestA1 2. si l" étatinitial d"une molécule de symétrie C2vestB1 3. si l" étatinitial de la molécule O

2est-g

Indice : Le champ magnétique d"une onde électromagnétique interagit avec le moment magnétique angulaire et de spin d"un électron. L"opérateur dipolaire magnétique se transforme comme l"opérateur moment angulaire.

3.9 Le groupe SO(2)4

3.8Moment dipolaire permanent

Le moment dipolaire d"une molécule se calcule à l"aide de l"équation suivante ⟨⟩=? ? dV:Sachant quese transforme comme (x,y,z) et que la fonction d"onde d"un niveau fondamental se transforme commeA1, déterminer à l"aide des tables de caractère si les molécules suivantes possèdent un moment dipolaire permanent. Si oui, donner en la direction. 1. CO 2 2. C 2H4 3. bicy clo[4.4.0]deca-1,3,5,7,9-pentene 4.

CH ClFBr

5.

B( OH)

3 6.

1,1-difluor oéthylène

7.cis-1,2-difluoroéthylène

8.trans-1,2-difluoroéthylène

3.9Le groupe SO(2)

Le groupe SO(2),special orthogonalpour un espace à deux dimensions, est composé de l"ensemble des rotations dont l"axe est perpendiculaire à cet espace. Ce groupe est isomorphique avec les matrices de rotation,

R()=?cos()-sin()

sin()cos()? 1. Démontr erque cet ensemble de matrices f ormeun gr oupe. 2. Déterminer les éléments conjugués et la structur edes classes. 3.

Déterminer s"il s" agitd"un gr oupeabélien.

4. À l"aide du premier lemme de Shur, démontrer que la représentationR()est réductible. 5. B loc-diagonaliserR()et donner deux représentations irréductibles 3.45

Solutions

3.1 1. Oui. 2.

N on,il n "ya pas d"in verse.

3. Oui. 3.2

1.D∞h. Étant donné queSinclutS1=hetS2=I, il existe une certaine

redondance. Par convention ou usage, on gardeIet on ometh 2.D2h 3.C1 4.C3h 5.C2v 6.C2v 7.C2h 3.3 Il s"agit de la molécule de méthane dont le groupe estTdLes opérations de symétrie sont illustrées sur le site symmetry .otterbein.edu/tutorial/methane.html 3.4 1.A1 2.E 3.E2

4.A1+A2+2E+2T1+2T2

3.56 3.5

1.Les opérations de symétrie sontE,C4,C-14,C2,v1,v2,′v1,′v2. Les plansv

et′vcontiennent l"axeC4, mais lesvsectionnent les atomes de fluor alors que les′vpassent entre les atomes de fluor. 2.

A vecun peu d"intuition, on détermine que

C -14=-1v1C4v1(3.1) v2=C-14v1C4(3.2) ′v2=C-14v1′C4(3.3) (3.4) Nous avons la structure de classes suivante :E,2C4,C2,2v,2′v. Ce group est C4v. 3. Nous allons utiliser à quelques reprises la relation de décomposition du produit de deux classes. Ceci nous permet de rapidement déterminer si certains caractères prennent des valeurs complexes. h=8 et nous avons 5 classes. La structure de la table des caractères est la suivante, C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l 2l 3l 4l

5où nous avons ajouté la représentation infidèle est présente par défaut.

(a) (b)

En app liquantle 2ePTO sur la classeE,

1 Comme ces caractères doivent être réels, positifs et différents de zéro, la seule solution possible est12+12+12+12+22=8. Nous avons alors, C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l 21
l 31
l 41
l 52
(c) À partir du produitC2C2=E, la règle de décomposition du produit de deux classes donne ?(l)(C2)?2=dl(l)(E) 3.57

Ce qui nous donne la table suivante,

C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l

21±1

l

31±1

l

41±1

l

52±2

(d)En appliquant le 2e PTO sur le produit des classesEetC2, on détermine le signe des caractères de la classeC2. C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l 21 1
l 31 1
l 41 1
l 52 -2
(e) S inous app liquonsdès maintenant les PT Ospour déterminer À partir du produit(C4;C-14)(C4;C-14)=2E+2C2, la règle de décom- position du produit de deux classes donne,

2(l)(2C4)2(l)(2C4)=dl?2(l)(E)+2(l)(C2)?

2?(l)(2C4)?2=dl?(l)(E)+(l)(C2)?

Pourl2,l3etl4,dl=1et cette équation dévient, ?(l)(2C4)?2=1 (l)(2C4)=±1

Pourl5,dl=2et cette équation dévient,

?(l5)(2C4)?2=0 (l5)(2C4)=0

La table est alors,

C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l

21 1±1

l

31 1±1

l

41 1±1

l

52 -2 0

3.58 (f)En appliquant le 2e PTO sur le produit des classesEet2C4, on détermine le signe des caractères de la classe2C4. Il y aura un "+1" et deux "-1". C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l 21 11
l

31 1-1

l

41 1-1

l

52 -2 0

(g)

À l" aidedu 1er PT Oimp liquantA1etl2,

1+1+2+2X(l)(v)+2X(l)(d)=0

X (l)(v)+X(l)(d)=-2; La seule solution possible estX(l)(v)=X(l)(d)=-1, puisque ce caractère représente une matrice de transformation isométrique. Ainsi, C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l

21 1 1 -1 -1

l

31 1 -1

l

41 1 -1

l

52 -2 0

(h) Maintenant, à l"aide des deux PTO, on détermine aisément les caractères manquants, C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

l

21 1 1 -1 -1

l

31 1 -1 1 -1

l

41 1 -1 -1 1

l

52 -2 0 0 0

(i) F inalement,nous app liquonsla notation de M ullikenet nous a vons, C 4vE C

22C42v2′vA

11 1 1 1 1

A

21 1 1 -1 -1

B

11 1 -1 1 -1

B

21 1 -1 -1 1

E2 -2 0 0 0

4.

La table des multip licationsdes irr epsest

C 4vA

1A2B1B2EA

1A

1A2B1B2EA

2A

1B2B1EB

1A 1A2EB 2A

1EEE×E

3.59 Le caractère deE?Eest(4;4;0;0;0). En utilisant l"opérateur projection, a (l) i=1h

Kg(K)r(K)?i(K);

on obtient, a (A1)=18 (4+4)=1 a (A2)=1 a (B1)=1 a (B2)=1 a (E)=0;(3.5)

Ainsi,E?E=A1?A2?B1?B2

5.Il faut d"abord déterminer les propriétés de transformation d"un vecteurr=

(x;y;z)

E(x;y;z)=(x;y;z)

C

2(x;y;z)=(-x;-y;z)

C

4(x;y;z)=(-y;x;z)

v1(x;y;z)=(x;-y;z) ′v

1(x;y;z)=(y;x;z)

Le caractère du triplet est donc(3;-1;1;1;1). L"opérateur moment dipolaire se décompose donc de la façon suivante, a (a1)=18 (3-1+2+2+2)=1(3.6) a (E)=18 (6+2)=1(3.7)

Plus spécifiquement,(z)=A1et(x;y)=E.

estA1, sont celles dont l"intégrant inclutA1, ( i)?(x;y;z)?( f) =A1?(A1?E)?( f) =(A1?E)?( f) =A1?( f)?E?( f) Il y a deux façons d"obtenir un intégrant se transformant commeA1 3.910 (a)( f)=A1. La lumière est polarisée selonzet la fonction d"onde du niveau final se transforme commeA1. (b)( f)=E . La lumière est polarisée dans le planxyet la fonction d"onde du niveau final se transforme commeE. 6. La plus grande dégénérescence possible dans un système de symétrieC4vcor- respond à la dimension de la la plus grande irrep. La dégénérescence maximale est donc de 2. 3.6

1.A(z)

1,B(x)

1etB(y)

2

2.A(x)

1,A(y)

2etB(z)

1

3.(x;y)uet(z)u

4.(z)g

3.7

1.A2,B1ouB(y)

2

2.A1,A2etB2

3.get+g

3.8 1. N on 2. N on 3. N on 4. Oui 5. N on 6.

Oui, selon z

7.

Oui, selon z

8. N on 3.9 1. Démontr onsque les 4 critèr essont r espectés. 3.911

Groupe fermé

R(2)R(1)=?cos2-sin2

sin2cos2??cos1-sin1 sin1cos1? =?cos(2+1)-sin(2+1) sin(2+1)cos(2+1)? =R(2+1) =R(3)(3.8)Comme tous les angles sont admissibles, les éléments forment un groupe fermé.

Associativité

Sous l"effet de l"opération multiplication, l"associativité est respectée.

Identité

R(0)=?1 0

0 1?

Inverse

Il existe un inverse pour chaque élément

R()-1=?cos-sin

sincos?-1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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