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Exercice 1 :
Résoudre les équations/inéquations suivantes : a) =1 b) =52,7 c) =-5 d) e)ln()=-5 f)ln()>4 g)ln(1-5)<2Exercice 2 :
Calculer les fonctions dérivées.
a) est définie surℝpar()=2- b) est définie surℝpar()=(2 +3) c) est définie surℝpar()= d) est définie surℝpar()=3,4 e) est définie surℝpar()= f)est définie surℝpar()=0,2+1+ g) est définie sur]0;+∞[par()= h) est définie surℝpar()= i) est définie sur]-Exercice 3 :
Pour chaque fonction, déterminer la dérivée, le signe de la dérivée puis dresser le tableau de variation.
a)est définie surℝpar()= b)est définie sur[0;+∞[par()= c)est définie sur[400;+∞[par()=10000-4451,1Exercice 4 :
On considère la fonctiondéfinie sur l'intervalle[1;6]par()=2-2-4ln().
a) Calculer′(). b) Etudier le signe de′()sur l'intervalle[1;6]. c) Dresser le tableau de variation de la fonctionsur l'intervalle[1;6].d) Montrer que l'équation()=0admet une unique solution dans[3;6], on la note. Déterminer une
valeur approchée deà10 e) Dresser le tableau de signes de la fonction.Exercice 5 : Logarithme et acoustique
Partie A : Etude des variations d'une fonction
On considère la fonctiondéfinie sur l'intervalle[0,5;25]par()=,6ln()+93,2.
On appellesa courbe représentative dans le repère défini à la question 3. 2/3 a) Calculer′(). b) Etudier le signe de′()sur l'intervalle[0,5;25]. c) Dresser le tableau de variation de la fonctionsur l'intervalle[0,5;25].Partie B : Application à l'acoustique
Quand l'oreille d'une personne normale est soumise à une pression acoustique, exprimée en bars, l'intensité
sonore, exprimée en décibels, du bruit responsable de cette pression est donnée par : ()=,6ln()+93,2.
1) Déterminer l'intensité sonore, en décibels, correspondant à une pression acoustique de 14 bars.
2) Une personne normale ne peut supporter un bruit supérieure à 120 décibels. Déterminer la pression, en
bars, que l'oreille de la personne subit si elle est soumise à une intensité sonore de 120 décibels.
Exercice 6 : Taux d'alcoolémie
Lorsqu'une personne absorbe à jeun une certaine quantité d'alcool, on note()son taux d'alcoolémie (en
grammes d'alcool par litre de sang) en fonction de(le temps écoulé en heure depuis l'absorption). Dans cet
exercice, on se propose d'étudier le taux d'alcoolémie d'une femme d'environ 65 kg ayant absorbé de l'alcool.
Dans ce cas, la fonctionest définie sur[0;6]par : ()=Partie A : Etude de fonction
1) On désigne par′la fonction dérivée de la fonction. Démontrer que, pour toutde[0;6], ′()=
2) Etudier le signe de′()puis dresser le tableau de variation desur[0;6].
Partie B : Application
1) Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.
2) Depuis le 15 septembre 1995, le taux maximum d'alcoolémie autorisé pour conduire un véhicule est
0,5g/L.
Indiquer si la personne aura respecté la législation en conduisant sa voiture 3 heures après l'absorption d'alcool.
Exercice 7 :
On considère la fonctiondéfinie sur[-0,5;5]par()= -9+14ln(+1).
Dans le repère ci-dessous, on a représenté la courbe représentative de la fonction. On admet que la fonctionest dérivable sur[-0,5;5]et on note′sa fonction dérivée.Partie A :
Avec la précision permise par le graphique, répondre aux questions suivantes :1) Déterminer(0)et′(0).
2) Donner le nombre de solutions de l'équation()=1,5.
Partie B :
1) Calculer′()et vérifier que pour tout∈[-0,5;5],′()=
2) Déterminer le signe de′()puis les variations de la fonctionsur[-0,5;5].
3) Déterminer l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonctionau point 0.
Exercice 8 :
On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22h. La température y est alors de 20°C.
Le but du problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce.On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11°C.
On désigne parle temps écoulé depuis 22h, exprimé en heures, et par()la température de la pièce exprimée
en °C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonctiondéfinie sur l'intervalle[0;9].
1) Prévoir un sens de variation de la fonctionsur l'intervalle[0;9].
On admet désormais que la fonctionest définie sur l'intervalle[0;9]par()=9
+11.2) Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
3) Calculer(9). En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
3/34) Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15°C.
5) Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
Exercice 9 :
Pour préserver l'environnement, les Français trient depuis de nombreuses années leurs déchets, en particulier le
verre. On désigne parla fonction définie sur l'intervalle[0;+∞[par : ()=67-
On admet que, pour une région, ()représente le taux (exprimé en pourcentage) de recyclage du verre en
fonction du temps, exprimé en années, écoulé depuis 1992. Ainsi de(0)=17, on déduit, qu'en 1992, il y avait
dans cette région 17% du verre recyclé.1) Calculer le taux de recyclage du verre dans cette région pour l'année 2014 ( arrondir le résultat à 0,01%).
2) Déterminer par le calcul l'année où le taux de recyclage du verre dans cette région sera de 63,84%.
3) Selon le modèle précédent, le taux de recyclage du verre dans cette région sera-t-il un jour de 70% ?
Justifier votre réponse.
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