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Exercice 1 :

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B. On admet que,

dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

Si le joueur achève une partie A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type ܣ

Pour tout entier naturel ݊ supérieur ou égal à ͳ, on note ܽ௡ la probabilitĠ de l'Ġǀğnement ܣ

1. a) ComplĠter l'arbre pondĠrĠ ci-contre.

b) Montrer que pour tout entier naturel ൒ͳ , on a : ܽ௡ାଵൌ-ǡͷ ܽ

Dans la suite de l' exercice, on note ܽ la probabilité que le joueur joue au jeu ܣ lors de sa première partie, où ܽ

a) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel ݊൒ͳ , on a : -൑ܽ

3. Etude du cas général. Dans cette question, le réel ܽ

d) La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre insérée en début

des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensiǀement

aux jeux vidéo ?

Avis du professeur

Fonction :

Déterminer une limite

Etudier les variations

Probabilité/suites:

Compléter un arbre pondéré

Calculer des probabilités avec la formule des probabilités totales

Mener un raisonnement par récurrence

Etudier la conǀergence d'une suite

DĠterminer la limite d'une suite

Calculer des probabilités avec une loi binomiale

Compétences

Calculer

Démontrer

Raisonner

Ex 1 Ex 2 Ex 3 TOTAL

/20 /7,5 /4,5 /6

Exercice 2 : On donnera la valeur décimale approchée arrondie à ͳ-ିଷ du résultat.

à des tests. Les études statistiques menées sur un effectif assez grand ont montré que : ͺΨdes pièces présentent le défaut A ; Parmi les pièces atteintes de défaut A, 15% ont le défaut B. Parmi les pièces non atteintes de défaut A, 5% ont le défaut B.

On prĠlğǀe au hasard une piğce dans la production d'une journĠe et on considğre les Ġǀğnements suiǀants :

1.

a) Calculer la probabilité que la pièce prélevée au hasard présente les deux défauts A et B.

puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 12 pièces.Soit ܺ

prélèvement de 12 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses de ce prélèvement.

a) Déterminer la loi de ܺ c) Déterminer la probabilitĠ d'obtenir au moins 5 pièces défectueuses dans ce lot.

Exercice 3 :

Partie A :

1. Déterminer la limite de la fonction ݑ en ൅λ.

En utilisant la calculatrice préciser la valeur de c.

Partie B :

1. Soit ܽ

2.

Correction DS 5 - TS

Exercice 1 :

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B. On admet que,

dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

Si le joueur achève une partie A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type ܣ

Pour tout entier naturel ݊ supérieur ou égal à ͳ, on note ܽ௡ la probabilitĠ de l'Ġǀğnement ܣ

4. c) ComplĠter l'arbre pondĠrĠ ci-contre. [0,5]

d) Montrer que pour tout entier naturel ൒ͳ , on a : ܽ௡ାଵൌ-ǡͷ ܽ

Dans la suite de l' exercice, on note ܽ la probabilité que le joueur joue au jeu ܣ lors de sa première partie, où ܽ

d) Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel ݊൒ͳ , on a : -൑ܽ

Initialisation : ݊ൌͳ

On a ܽଵൌ-ǡͷ et -൑-ǡͷ൑-ǡ͸ donc ܲ Hérédité : Soit ݇ un entier naturel non nul fixé. On sait, par hypothèse de récurrence, que : -൑ܽ

Donc -൑-ǡͷܽ

Donc -ǡ͵൑-ǡͷܽ

Ainsi, ܲ

Or ׊݊אԳכǣ-൑ܽ

6. Etude du cas général. Dans cette question, le réel ܽ

h) La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre insérée en début des

parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant intensiǀement audž jeudž

vidéo ? [0,5]

Exercice 2 : On donnera la valeur décimale approchée arrondie à ͳ-ିଷ du résultat.

à des tests. Les études statistiques menées sur un effectif assez grand ont montré que : ͺΨ des pièces présentent le défaut A ; Parmi les pièces atteintes de défaut A, 15% ont le défaut B. Parmi les pièces non atteintes de défaut A, 5% ont le défaut B.

On prĠlğǀe au hasard une piğce dans la production d'une journĠe et on considğre les Ġǀğnements suiǀants :

4.

d) Calculer la probabilité que la pièce prélevée au hasard présente les deux défauts A et B.[0,25]

Or toute suite croissante et majorée converge

Or ׊݊אԳכ ǣ ܽ௡ାଵൌ-ǡͷ ܽ

Donc -ǡͷκ൅-ǡ͵ൌ κ

On en déduit que si le joueur joue un très grand nombre de parties, la publicité la plus vue sera la publicité associée à la

partie de type A. puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 12 pièces. Soit ܺ

prélèvement de 12 pièces, associe le nombre de pièces défectueuses de ce prélèvement.

d) Déterminer la loi de ܺ

f) DĠterminer la probabilitĠ d'obtenir au moins 5 piğces dĠfectueuses dans ce lot. [0,75]

Exercice 3 :

Partie A :

4. Déterminer la limite de la fonction ݑ en ൅λ.[0,5]

A chaque épreuve, il y a deux issues : ܵ " la pièce est défectueuse » et ܵ prélèvement, donc ܺ Variations de ݑ ൅λ En utilisant la calculatrice préciser la valeur de c.

Partie B :

3. Soit ܽ

[1] 4. [1]

A l'aide de la calculatrice, on obtient ܿ

Or deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Conclusion : Il existe une unique tangente à ࣝ parallèle à la droite ࣞ, il s'agit de la tangente au point d'abscisse -.

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