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43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2014

Séried'exercices n

o 2

Lesfonctions

Exercice1:images etantécédents

Onconsidèrel'application

f:R!R x"!|x|.

1.Déterminerlesimagesdirectes suivantes :

a.f({#1,2}),b.f([#3,#1]),c.f([#3,1]).

2.Déterminerlesimages réciproquessuiv antes:

a.f !1 ({4}),b.f !1 ({#1}),c.f !1 ([#1,4]).

Exercice2:domaine dedéfinition

1.Calculerle domainededéfinitiondesfonctionsfdéfiniesdela façonsui vante:

a.f(x)= 5x+4 x 2 +3x+2 ,b.f(x)= x+ 3 x,c.f(x)= 4 x 2 #5x.

2.Donnerle domainededéfinition etl'imagedirecte decesdomaines parlesfonctions f

suivantes a.f(x)= 4#3x 2 ,b.f(x)= 1 x+1 ,c.f(x)=1+sin(x),d.f(x)=tan(2x).

Exercice3:parité

1.Aprèsav oirdonnéleurdomainededéfinition,diresiles fonctionsfdéfiniesdela façon

suivantesontpaires,impairesounil'une nil'autre. a.f(x)=2x 5 #3x 2 +2,b.f(x)=x 3 #x 7 ,c.f(x)=cos(x 2 ),d.f(x)=1+sin(x).

2.Mêmequestion pourlafonctionfdéfiniepar

f(x)= xsin( 1 x 1#x 2

3.Onconsidèrel afonctionf:x"!x

2 +2x#3. Aprèsav oirdéterminésonensemblededéfinition,montrer quelacourbe représentative C f defpossèdeunax ede symétriequ'ilfaudracalculer. 1

4.Mêmequestion aveclafonction g:x"!sin(x)+

1 2 cos(2x).

5.Onconsidèrel afonctionf:x"!

x 2 #4

2(x#1)

Aprèsav oirdéterminésonensemblededéfinition,montrerquela courbereprésentativ eC f defpossèdeuncentre desymétriequ'il faudracalculer .

6.Mêmequestion avecg:x"!#x

3 +3x+4.

Exercice4:vraiou faux

Diresiles propositionssuiv antessontvraies oufausses. Siellessontvraies,leprouver. Sielles sontfausses donneruncontreexemple.

1.Soientf:R!Runefonction,et u,v%R.Ona alors

(siu2.Soientf:R!Runefonctionet k%R.On supposeque pourtout!>0,|f(x)#k|&!, alorsfestconstanteet f(x)=kpourtoutx%R.

3.Lacomposéede deuxfonctions impairesestune fonctionimpaire.

4.SoientEunepartie deRetf:E!Runefonctionimpa iresurle domaineD.Alors

nécessairement,Dcontient0etf(0)=0 .

5.Soitf:R!Runefonction impairesurRetcroissante surR

.Alorsnécessairement f estcroissante surRtoutentier.

6.SoientEunepartiede Rsymétriqueparrapport à0etf:E!Runefonctionbijecti veet

impairesurle domaineE.Alorssa bijectionréciproquef !1 estimpairesur f(E).

7.Soientfetgdeuxbijectionsd'un ensembleEdanslui-même. Onditque xestunpoint

fixedeEpourflorsque f(x)=x.

Onnoteh=g'f.Quellesaf firmationssont vraies?

(a)hestune bijectiondeEdanslui-même. (b)Sifpossèdeunpoint fixeet gpossèdeunpoint fixe,alors hpossèdeunpoint fixe. (c)Sihpossèdeun pointfixe alorsgetfpossèdentunpoint fixe. (d)h !1 =f !1 'g !1

8.Soientf:E!Fetg:F!Gdeuxapplications.On noteh=g'fetUunepartiede

G.Quellesaf firmationssont vraies?

(a)Sifetgsontinjectiv esalorshestinjectiv e. (b)Sifetgsontsurjectiv esalorshestsurjecti ve. (c)hestuneapplication deEdansG. (d)h !1 (U)=f !1 (g !1 (U)). 2

Exercice5:injectif ,surjectif, bijectif?

1.Lesapplications suivantessont-ellesinjectiv es,surjectivesoubijectives?

1. f:N!N n"!n+1, 2. g:Z!Z n"!n+1, 3. h:R!R x"!x 2

2.Soitf:R!Rdéfiniepourtout x%Rparf(x)=

2x (1+x 2 (a)fest-elleinjectiv e?Surjective? (b)Montrerque f(R)=[#1,1]. (c)Montrerquela restrictiong=f| [!1,1] estunebijection.

Exercice6:composition

1.Donnerledomaine dedéfinitionainsi quelaforme delafonction f'g,g'f,f'fetg'g

pourlesfonctions fetgdéfiniesdela façonsui vante: (a)f(x)=2x 2 #x,g(x)=3x+2, (b)f(x)=1#x 3 ,g(x)= 1 x (c)f(x)=s in( x),g(x)=1# x, (d)f(x)=

2x+3,g(x)=x

2 +2.

2.Donnerledomaine dedéfinition ainsiquela formedela fonctionf'g'hpourlesfonctions

f,gethdéfiniesdela façonsui vante: (a)f(x)=x+1,g(x)=2x,h(x)=x#1, (b)f(x)= x#1,g(x)=x 2 +2,h(x)=x+3, (c)f(x)= 2 x+1 ,g(x)=cos(x),h(x)= x+3.

3.Donnerledomaine dedéfinition desfonctionsFsuivantesetlesmettresouslaforme f'g

oùfetgsontàdéfinir . (a)F(x)=sin( x), (b)F(x)= x 2 x 2 +4

4.Vérifiersi lesaffirmations suivantes sontvraiesounon:

(a)Sigestunefonction paireet h=f'galors,hestaussiune fonctionpaire. (b)Sigestunefonction impaireet h=f'galors,hestaussiune fonctionimpaire.

Exercice7:défis

1.Soitf:[0,1]![0,1]telleque

f: x,six%[0,1](Q,

1#x,sinon.

Démontrerquef'f=Id

[0,1]

2.Soitf:I!Iuneapplication,a vec Iuninterv alledeRtellequef=f'f'f.

Montrerquefestinjecti vesietseulementsielleestsurjecti ve.

3.Soitf:I!Iuneapplication,a vec Iuninterv alledeRtellequef=f'f.

Montrerquesi festinjectiv eousurjectivealorsf=Id

4.SoientIetJdeuxintervalles deR.Onconsidère f:I!Jetg:J!Ideuxapplications

tellesqueg'f'g'festsurjectiv eetf'g'f'gestinjectiv e.

Montreralors quefetgsontbijectiv es.

5.(a)Montrerquepour tousaetb%R,4ab&(a+b)

2 (b)Déterminerlesdomainesde définitiondesfonctions f(x)= x(x#1)+1 etg(x)=2 (x#1)(x#2)+3 , quel'onnote D f etD g (c)Enutilisantlaquestion(a),donnerunencadrementdesélémentsdef(D f )etdefg(D g (d)Montrerqueg'festbiendéfinie surD f .Qu'enest-il pourf'g?

6.Onconsidèredeux fonctionfetgdéfiniesurIàvaleurs dansJoùIetJsontdeux

intervallesdeR.Onsuppose quefetgsontbornées.On définitlesparties positiv eset négativesd'unefonctiondéfiniesurInotéesf etf ,lesfonctions positiv esdéfiniesde lafaçon suivante: f =sup x"I (f,0)etf =sup x"I (#f,0).

Montrerlesrésultats suivants :

(a)sup x"I (f,g)=f+(g#f) (b)inf x"I (f,g)=g#(g#f) (c)f=f #f (d)|f|=f +f 4quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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