[PDF] Maths Concours Sciences Po Paris Corrigé 2018





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Maths Concours Sciences Po Paris Corrigé 2018

Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018. PROBLÈME ( 8 points ). Analyse I 2e édition - Alain Piller freemaths . fr: Fonctions



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freemaths . frCorrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

Analyse I, 2

e

édition - Alain Piller

Fonctions, Intégrales, T. S - freemaths.fr

Thème sur freemaths.fr ( )

Suites, T. S Fonctions, Intégrales, T. S

Probabilités Discrètes, T. S Probabilités Discrètes, T. ES Géométrie dans l'Espace, T. S - freemaths.fr 1 freemaths frCorrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

PROBLÈME

( 8 points )

Analyse I, 2

e

édition - Alain Piller

freemaths fr: Fonctions, Intégrales, T. S T. ES

Partie A:

1. Montrons que pour tout strictement positif, ' ( ) = 2 a - 2 b 3 - 2 ln ( ) Ici: f ( x ) = a x 2 b x 2 - ( ln ( x ) ) 2

Df = ] 0 ; + [ .

Posons:

f = f 1 + f 2 + f 3 , avec: f 1 x ) = a x 2 , f 2 x ) = b x 2 et f 3 x ) = - ( ln ( x ) ) 2 f 1 est dérivable sur ¨ comme fonction polynôme, donc dérivable sur ] 0 f 2 est dérivable sur ] 0 ; + [, avec pour tout x [: x 2 0 . f 3 est dérivable sur ] 0 ; + [ car la fonction " ln " est dérivable sur ] 0 ; + [ . Donc, f est dérivable sur ] 0 ; + [ comme somme ( 1 + 2 3 ) de 3 fonctions dérivables sur ] 0

Ainsi, nous pouvons calculer f ' pour tout x [ .

Pour tout x [: f '

1 x ) = 2 a x f ' 2 x ) = 2 b x 3 2 freemaths frCorrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018 f ' 3 x ) = - 2 x ( ln ( x ) ) x 1 x cad: f ' 3 x ) = 2 ln ( x ) x

D'où pour tout x [ : ' ( ) = 2 a -

2 b 3 2 ln ( ) 2.

Déterminons les réels a et b:

D'après l'énoncé:

Cf passe par le point A ( 1 ; 0, 5 ),

donc: ( 1 ) = 0, 5,

Cf admet une tangente horizontale au point A,

donc: ' ( 1 ) = 0 .

Nous avons donc le système suivant:

f ( 1 ) = 0, 5 f ' ( 1 ) = 0 a + b = 0, 5 2 a - 2 b = 0 a + b = 0, 5 a = b

D'où:

a = 0, 25 et b = 0, 25 .

Ainsi, les réels a et b ont pour valeurs:

a = 1 4 et b = 1 4

Nous pouvons alors écrire, pour tout x [ :

1 4 2 1 4 2 - ( ln ( 2 1 2 1 2 3 2 ln ( ) 3 freemaths frCorrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

Partie B:

1. a.

Factorisons l"expression 2

X 2 - 4

X + 2:

2 X 2 - 4 X + 2 = 2 ( X 2 - 2 X + 1 ) = 2 ( X - 1 ) 2

Ainsi:

2 X 2 - 4 X + 2 = 2 ( X - 1 ) 2 1. b. Déduisons-en une factorisation de l"expression 2 4 - 4 2 + 2:

Posons:

X = x 2

D'où:

2X 2 - 4

X + 2 = 2 x

4 - 4 x 2 + 2 .

Dans ces conditions, comme 2X

2 - 4

X + 2 = 2 ( X - 1 )

2 , une factorisation de l'expression 2 x 4 - 4 x 2 + 2 s'écrit: 2 4 - 4 2 + 2 = 2 ( 2 - 1 ) 2 , pour tout .

Notons qu'on aurait pu aussi écrire: 2

4 - 4 2 + 2 = 2 [ ( - 1 ) ( + 1 ) ] 2 = 2 ( - 1 ) 2 + 1 ) 2 2.

Déterminons le signe de l"expression 2

4 - 4 2 + 2 en fonction de :

Pour tout x x

4 - 4 x 2 + 2 = 2 ( x 2 - 1 ) 2

Ainsi le signe de l'expression 2 x

4 - 4 x 2 + 2 dépend du signe de ( x 2 - 1 ) 2

Distinguons 2 cas:

pour x = 1 et x = - 1, ( 2 - 1 ) 2 = 0, pour x -; - 1 [ ] - 1 ; 1 [ ] 1 ; + [, ( 2 - 1 ) 2 > 0

Donc, pour tout nombre réel x : 2

4 - 4 2 + 2 = 2 ( 2 - 1 ) 2 4 freemaths frCorrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

Partie C:

1. Déterminons le sens de variation de la fonction g sur ] 0; + [: Ici: g ( x ) = x 2 1 x 2 - 4 ln ( x )

Dg = ] 0 ; + [ .

Etape 1:

détermination de g' pour tout ] 0 ; + [

Posons:

g = g 1 + g 2 + g 3 , avec: g 1 x ) = x 2 , g 2 ( x ) = - 1 x 2 et g 3 x ) = - 4 ln ( x ) g 1 est dérivable sur ¨ comme fonction polynôme, donc dérivable sur ] 0 g 2 est dérivable sur ] 0 ; + [, avec pour tout x ] 0 ; + [: x 2 0 . g 3 est dérivable sur ] 0 ; + [ car la fonction " ln " est dérivable sur ] 0 ; + [ . Donc, g est dérivable sur ] 0 ; + [ comme somme ( g 1 + g 2 + g 3 ) de 3 fonctions dérivables sur ] 0

Ainsi, nous pouvons calculer g ' pour tout x [ .

Pour tout x [: g '

1 x ) = 2 x g ' 2 ( x ) = 2 x 3 g ' 3 x ) = - 4 x

D'où pour tout x [ : g' ( ) = 2 +

2 3 4

Etape 2:

détermination du signe de g' pour tout ] 0 ; + [ 5 freemaths frCorrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2018

Pour tout x [: g ' ( x ) = 2 x +

2 x 3 4 x En réduisant au même dénominateur, nous obtenons, pour tout x [ : g ' ( x ) = 2 x 4 + 2 - 4 x 2 x 3 cad: g ' ( ) = 2 4 - 4 2 + 2 3

Or, d'après Partie B: 2

4 - 4 2 + 2 = 2 ( 2 - 1 2 2 ( 2 - 1 2 Donc ici, pour tout x [ nous pouvons affirmer que: 3 > 0 g ' ( ) = 2 ( 2 - 1 2 3 Comme, pour tout x [, g ' ( xla fonction g est croissante sur l"intervalle ] 0 ; + [ . 2. a.

Calculons g (

1 ):quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
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