[PDF] Cours DIVISIONS QUOTIENTS et Fractions

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Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 1 sur 20

NOM et Prénom 6ème

DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS.

" 2 catégories de personnes sur Terre : Ceux qui aiment les Maths et Ceux qui vont aimer les Maths. » I. Division entière ou division euclidienne. ________________________________________________2 II. Division décimale. __________________________________________________________________4 III. Ecritures fractionnaires. ___________________________________________________________5 IV. Les fractions. ____________________________________________________________________7 V. Quotients égaux ; Simplification des fractions. ___________________________________________8 VI. ___________________________________________13 VII. Exercices récapitulatifs et Situations. ________________________________________________15 VIII. Pour préparer le Test et le Contrôle. _______________________________________________20

Pré-requis pour prendre un bon départ :

Tables de multiplication parfaitement sues dans les 2 sens !

Produit de 2 nombres.

Technique de la division.

Divisions par 10 ou 100 ou 1 000 etc.

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 2 sur 20

I. DIVISION ENTIERE OU DIVISION EUCLIDIENNE.

étudier des nombres et

enfin ........... ..

Commençons par le cas le plus simple

A. Définition de la division euclidienne (ou division entière) : Effectuer la division euclidienne (ou division entière) nombre entier (appelé dividende) par un nombre entier différent de 0 (appelé diviseur2 nombres entiers appelés le quotient et le reste suivante et la condition suivante :

Dividende Diviseur

Reste Quotient

Egalité : Dividende = Diviseur Quotient + Reste et Condition : Reste < Diviseur

Remarques :

En fait, la division euclidienne est une division entière la virgule.

Eh ! Ne vous enfuyez pas ! Restez 3

Exemple : Effectuons la division eucli 45 R 7).

et la condition :

45 = 7 6 + 3 et reste 3 < diviseur 7

Exemple : Effectuer la division euclidienne de 35 par 8 35 8). et la condition :

35 = 8 et reste <

Exemple : Effectuer

et la condition : = et . <

Définition : Dans cet exemple , le reste est nul. On dit alors que " 6 est un diviseur de 18 ».

Dit autrement, " 18 est un multiple de 6 ». Dit autrement, 18 est dans la table de multiplication de 6.

Attention !

La condition " reste < diviseur » est essentielle ! Ex 3 + 12 euclidienne car le reste 12 > diviseur 7 (en fait, la division a été mal faite !).

33 = 7 4 + 5 est bien le résultat reste 5 < diviseur 7.

5 4 7 6 2 4 3 8 1 6 5 3 8 Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 3 sur 20 B. 4 exercices sur la technique de la division euclidienne :

1) Poser les 2 divisions suivantes puis écrire et la condition :

La division euclidienne de 13 par 5. 47 R 11

2) 26 = 25 1 + 1 peut-elle résulter .

4 + 6 provient-elle ..

3) Calculer mentalement 5 11 + 7 =

Dans la division euclidienne de 62 par 11, quel est le quotient reste Attention : Dans la division euclidienne de 62 par 5, quel est le quotient reste

4) Grâce à la calculatrice (touche R ou touche ), écrire et la condition pour

chacune des 2 divisions entières suivantes :

38 975 R 89 554 782 R 457

C. et de vocabulaire :

1. division euclidienne » ?

Ce terme a été introduit par les mathématiciens du groupe Bourbaki au milieu du XXème grand mathématicien grec qui enseigna à Alexandrie au IIIème siècle av. J.C, et qui ne connaissait pas encore les nombres décimaux. Chercher sur Internet quelques informations sur Euclide et coller son portrait.

2. Le sens des mots :

o Dividende vient du latin dividendus, qui signifie : qui doit être divisé. o Quotient vient du latin quoties, qui signifie : combien de fois. Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 4 sur 20

II. DIVISION DECIMALE.

A. (Re)définition du quotient ; Lien avec la multiplication :

Deux exemples :

Exemple : On veut trouver le salaire mensuel de Philémon Banilon, sacha Ce salaire mensuel est donc le nombre inconnu qui, quand on le multiplie par 12, re

12 = 18 000

. 12. c-à-d = 18 000 12

Exemple : 2 kg de tripes coûtent 24

donc le nombre inconnu qui, q...

2 = 24

prix c-à-d Définition du Quotient ; Lien entre le quotient, la multiplication et la division : Le facteur manquant dans la multiplication d = n avec d quotient de n par d. (d . Ce quotient se calcule en effectuant la division : = n d

Le quotient est donc le .

Trouver un facteur inconnu (terme manquant) dans une multiplication revient à calculer un quotient

Exemples : Un quotient peut être un nombre entier :

33 36 9 = 11 2,5

4 = 8 64

Un quotient peut être un nombre décimal :

10 2,7 25,8

4 = 2,5 100

Quotient de n par d

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 5 sur 20

B. Technique de la division décimale :

Poser la division de n par d (avec d 0) permet de trouver : o soit la valeur exacte du quotient quand la division se termine et tombe juste. Application : Calculer en posant la division le quotient de 169 par 13 puis le quotient de 63 par 5. on a.

o soit des valeurs approchées du quotient [troncature, arrondi, valeur approchée par défaut

(inférieure) ou par excès (supérieure)] quand la division ne se termine pas et ne tombe pas juste :

Application : remplir le tableau ci-contre.

Arrondi : Si chiffre suivant entre 0 et 4, arrondi arrondi au supérieur.

Troncature : Couper le nombre au chiffre

demandé, garder les chiffres à gauche de la coupure.

III. ECRITURES FRACTIONNAIRES.

Hélas, certains quotients ne sont ni des nombres entiers ni même des nombres décimaux !

Je pense par exemple à 2 7 ou à 1,1 : quand on pose ces divisions, elles ne se " terminent » jamais.

Autre " problème » : ces écritures en ligne sont de la part des élèves !

Par exemple 5 5 5 5 est souvent faite !

5 5

5 , impossible de faire cette erreur de priorité !

5,56228 21,650 123,573

Arrondi à la dizaine 10

6 5

Arrondi au dixième 5,6

Troncature au dixième 5,5

Arrondi au centième 5,56

Troncature au centième 5,56

9 6 1 3 1 0 3, 6 5 Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 6 sur 20

A. Vocabulaire des écritures fractionnaires :

du quotient n d est de la forme n d et se lit " n sur d ». Le nombre " d » sous la barre de fraction, (d Unité. Donc ce nombre d " dénomine », donne le nom de la famille de partage

Ce nombre " d

Le nombre " n » au dessus de la barre de fraction indique combien de fois on prend ces morceaux.

Ce nombre " n

Ex : Dans 2

5 , Unité a été partagée en 5 morceaux (en " cinquièmes »).

Le numé2 morceaux. On obtient bien au final " 2 cinquièmes ».

Dans 7

3 , le dénominateur 3 indique quUnité a été partagée " ...................... »).

Application : Ecrire sous forme fractionnaire sans rien calculer :

Ex : 2 3 = 2

3 On met BARRE DE FRACTION EN PREMIER !

Cette barre de fraction doit être mise à hauteur du milieu du signe = . deux demis = un tiers = neuf quarts = la moitié de k = une demi-pomme =

2,3 = d t =

vitesse moyenne = distance durée = B. :

4 cas particuliers importants à retenir : Quelles que soient les valeurs de n et de d (d 0), on a :

0 d ex : 0 2,257 n

1 ex : 8,8

1 d d ex : Un pourcentage est une écriture c-à-d k % = k 100 .
7 % = 0,10

100 100 % =

100 0,05

100 2 500 % =

100

Maintenant, nous allons voir un cas particulier très très très important des écritures fractionnaires.

n ÷ d = n d

Dividende

Diviseur

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 7 sur 20

IV. LES FRACTIONS.

Les fractions sont un cas particulier très important des écritures fractionnaires.

A. Définition des fractions :

Définition : Lorsque le numérateur n et le dénominateur d (d ) sont des NOMBRES ENTIERS, alors n d . Ex : 2

7 est une fraction mais pas

, ou Contre-exemples : Donner 2 écritures fractionnaires qui ne sont pas des fractions

A retenir : Tous les nombres entiers peuvent :

3 = 3 5 = 11 =

9 4 =

5 = 40

Tous les nombres décimaux peuvent :

1,5 = 15

0,7 =

10 5,78 =

100 000

B. Illustration graphique des fractions :

Quelle proportion (quelle fraction) de la surface totale de chaque figure, représente la surface coloriée ?

Compléter la formule : Proportion coloriée = Surface

Surface

Hachurer un tiers du triangle équilatéral trois quarts du losange Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 8 sur 20 V. QUOTIENTS EGAUX ; SIMPLIFICATION DES FRACTIONS.

On a vu p.7 A] que 20

5 et 40

10 donnent le même quotient onc on peut écrire 20

5 = 40

10 = 20 2

5 2 . Généralisons :

A. Formule très importante des quotients égaux :

Soient k 0 et d 0, alors n

d et n k d k sont 2 écritures fractionnaires du même quotient c-à-d :

Quelques soient les valeurs des 3 quantités n, d et k (avec d 0 et k 0), on a très importante :

Transformation

n d = n k d k

Simplification

Le sens de cette égalité sert donc à la fractions. Le sens de cette égalité sert donc à la des fractions.

B. Sens : Transformation d plus grande ».

égalité des quotients égaux vue dans le sens " n d = n k d k » sde la façon suivante : " ême temps le numérateur n et le dénominateur d par un même nombre non nul k. »

Vue dans ce sens lité des quotients égaux sert donc en général à transformer une fraction de

départ en une fraction égale " plus grande ».

Méthode sur un exemple :

Soit la fraction 3/2. On veut transformer cette fraction en une fraction égale " plus grande » sur 14.

Autrement dit, on veut trouver une fraction égale à 3/2 mais avec 14 au dénominateur au lieu de 2.

Méthode : Transformer une fraction en une fraction " plus grande ». 3

2 = 3 7

2 7 = 21

14 On veut passer de 2 à 14 au dénominateur donc on multiplie " en bas » par 7 (car 2 7 = 14). Comme on a multiplié par 7 " en bas » (au dénominateur), on doit forcément multiplié par le même nombre 7 " en haut » (au numérateur), à cause de la règle des quotients égaux vue dans le sens A].

Puis on calcule les produits 2 7 et 3 7.

Application : Compléter les transformations en fractions égales " plus grandes » suivantes. 1 4 = 1 4 =

20 3

5 = 3 5 =

15 6

7 =

7 =

28
= 4 45
56
= 18 6

11 = 36

Mettre 5

6 sur 30 : .

30 Mettre

sur 36 : ... ... Mettre sur 100 : . Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 9 sur 20

C. Sens : Simplification plus petite ».

Ldes quotients égaux vue dans le sens " n k

d k = n d » se comprend de la façon suivante : " même facteur commun k " en haut et en bas » (au numérateur et au dénominateur), on peut tout simplement le supprimer ! »

Vue dans ce sens , égalité des quotients égaux servira à simplifier une fraction de départ en une

fraction égale " plus petite ».

1. Fractions irréductibles : définition.

au maximum », on obtient une fraction ................................................... Définition de la Fraction Irréductible (F.I.) : écriture fractionnaire la plus simple Fraction Irréductible1.

Cette écriture vérifie les 2 conditions suivantes : le numérateur et le dénominateur sont :

entiers et sans facteurs communs entre eux2 (autre que 1).

2. Simplification en fraction irréductible : méthode.

On veut par exemple simplifier au maximum la fraction 35/40 sous forme de fraction irréductible.

Cela revient à " réduire » le numérateur et le dénominateur de départ en faisant disparaître les paires de

facteurs communsen ait plus (autres que 1). Voyons cela en détails : Méthode : Simplifier une écriture fractionnaire sous forme irréductible. 35

40 = 7 5

8 5 = 7

8 F.I.

On décompose en produits (en multiplications) le numérateur 35 et le dénominateur 40 afin de faire apparaître le facteur commun 5. Comme on avait " en haut et en bas » (au numérateur et au dénominateur) le même facteur 5, on peut le faire " disparaître » grâce à la règle des quotients égaux vue dans le sens A] p.8. On obtient donc 7/8. mis à part 1) entre le numérateur 7 et le dénominateur 8. La fraction 7/8 est donc bien une fraction irréductible (F.I.).

Application : Simplifier au maximum (sous forme irréductible) en complétant les égalités suivantes :

6 8 = 3 4 = .... 24

16 = 8

8 = .... 21

18 = 3

6 = = 4 16 =

1Irréductible »

2 Le numérateur et le dénominateur ne sont pas dans une même table de multiplication commune. Ex : 6 et 7 ou bien 26 et 19.

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 10 sur 20 D. Exercices sur la simplification des fractions :

Simplification : 4 conseils.

Connaître parfaitement ses tables de décomposition. Simplifier toujours par paire(s) de facteurs identiques au numérateur et au dénominateur.

Simplifier par 1 ne sert strictement à rien.

SIMPLIFIER TOUJOURS AU MAXIMUM !

Simplifier au maximum. Résultat sous forme de Fraction Irréductible (F.I.) nombre entier :

Ex : 45

27 = 9 5

9 3 = 5 3 F.I 42
48 =
21
49 =
56

16 = 64

8 = 26

39 =
Comment faire disparaître des nombres décimaux dans des écritures fractionnaires ?

Ex : 0,24

0,8 = 0,24 100

0,8 100

Maximum 2 chiffres après la

virgule dans la fraction de départ numérateur et dénominateur multipliés par 100 !
= 24 80
= 3 8 10 8 = 3

10 F.I.

1,5

4,5 =

0,8

2 = 9

0,01 =

A quels Fractions Irréductibles (F.I.) ou entiers sont égaux les pourcentages suivants ?

Ex : 50 % = 50

100
= 5 1 5 2 = 1

2 F.I.

25 % =

20 % = 900 % =

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 11 sur 20 E. Critères de divisibilité ; Application à la simplification :

Est-il facile de simplifier 126

342

Effectivement non ! Toute la difficulté est de décomposer 126 et 342 en faisant apparaître des facteurs

communs. Comment trouver ces facteurs communs ? En utilisant les critères de divisibilité : Un entier est divisible par 2 (c-à-d dans la table de 2) lorsque mine par ........ Ecrire un entier à 3 chiffres, qui est pair et dont la somme des chiffres est 5

Un entier est dans la table de 3 (c-à-d div. par 3) quand la somme de ses chiffres est divisible par 3.

Exemples : 234 est bien dans la table de 3 car la somme de ses chiffres 2 + 3 + 4 = 9 est bien dans la table de 3.

156 est-il divisible par 3 ?

1 234 est-il divisible par 3

Ecrire un entier à 3 chiffres, divisible par 3

Ecrire un entier divisible par 2 et par 3 . Est-il divisible par 6 Un entier est divisible par 5 (c-à-d dans la table de 5) Ecrire un entier à 2 chiffres divisible par 5 et dont la somme des chiffres est 13 Ecrire un entier divisible par 2 et par 5 -il divisible par 10 Ecrire un entier divisible par 3 et par 5 -il divisible par 15 Un entier est divisible par 10 ou 100 ou 1 . .... etc.

En effet, on sait que . Donc un nombre est divisible par 10 quand il est dans la table de 2 et la table de 5.

Donc son dernier chiffre doit être ou 0 ou 5, et pair en même temps. Ce dernier chiffre ne peut donc être que

Application : Cocher les cases du tableau qui sont vraies : Nombres div. par 2 div. par 3 div. par 5 div. par 6 div. par 10 div. par 15 div. par 30 75
120
132

Ces 4 critères de divisibilité seront amplement suffisants pour trouver des facteurs communs quand on

voudra simplifier des " grandes » fractions du style 126/342.

Méthode : 126

342 = 2 63

2 171 = 63

171 = 3 21

3 57 = 21

57 = 3 7

3 19 = 7

19 F.I. Fraction Irréductible.

Remarque :

divisibles par 6 (= 2 3) ou par 9 (= 3 3). Au moins, la façon de faire était systématique !

Réflexe : Fractions Simplification !

126 et 342 sont

pairs donc divisibles par 2.

La somme des

chiffres de 63 et celle de 171 sont divisibles par 3.

La somme des

chiffres de 21 et celle de 57 sont divisibles par 3. de facteurs communs autres que 1. Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 12 sur 20 Application : Simplifieraction Irréductible (F.I.) 55
30 =
78
54 =
39
36 =
96
48 =
24

120 =

56
62 =
480

660 =

125
75 =

Vérifier les calculs à la calculette. Touches " / » ou pour simplifier automatiquement les fractions.

Situation : A la loterie " Entub » vous avez 48 chances sur 180 de gagner. A la loterie " Arnaq », vous

avez 35 chances de gagner sur 75. A quelle loterie jouer ? Justifier évidemment ! Analyse-Synthèse !

Cours de Mr JULES v4.4 Classe de Sixième Contrat 3 Page 13 sur 20 Tous les segments principaux (segments unité de longueur 1) sont partagés en 3 morceaux. Puis on compte en fractions sur 3 à partir du point origine O ( VI. On a parfois besoin de repérer sur une droite (un axe) la un point fixe de cette droite. A. 2 définitions : Axe repéré ; Abscisse.

1. orientée par une flèche (en général de gauche à

2. sur laquelle on a placé un point fixe appelé " point Origine » (lettre O généralement mais pas toujours !).

3. graduée régulièrement à partir de ce point origine longueur unité (1 cm ou 1 carreau en général).

4. à chaque graduation unité est associé un nombre entier. Au point origine correspond toujours le nombre 0.

Les nombres positifs sont ici à droite de 0. Plus on va vers la droite et plus les nombres augmentent.

Définition : Le nombre qui donne abscisse.

Notation : xM (on lit " x indice M en dessous du x).

Exemple vaut 3 ce qui se note : xS = 3.

Exemples : En reprenant la droite ci-dessus :

est le nombre 0 (car le point O est le point Origine) c-à-d xO ici la longueur unité) c-à-d xI -à-d xE xA = -à- ; xU = ..-à-. .

B. Abscisses fractionnaires :

Sur la figure ci-dessous, le point R est situé entre 2 graduations principales (entre 1 et 2).

Comment trouver son abscisse ?

Abscisse fractionnaire (origine visible) : méthode .

Marquer les graduations principales (entières) afin de délimiter les segments principaux (de longueur 1).

Compter en combien de morceaux sont partagés chacun des segments principaux (chaque segment unité).

Ici, les segments unité fraction sur 3.

Compter " en fractions » (ici en fraction sur 3) à partir du u point R. A U S O E 3 1 0 I 1 0 3 2 R Oquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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