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Chapitre 9Intervalles de fluctuation et de confianceSommaire

9.1 Intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.1.1 Quelques rappels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.1.2 Intervalle de fluctuation et loi normale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

9.1.3 Utilisation de l"intervalle de fluctuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2 Intervalle de confiance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.1 Intervallede fluctuation

9.1.1 Quelques rappels

Seconde

L"intervalle de fluctuation d"une fréquence au seuil de 95% aété défini en Seconde de la façon

suivante :

Définition.L"intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taillen, est

l"intervalle centré autour dep, proportion du caractère dans la population, où se situe, avec une

probabilitéégale à 0,95, la fréquence observée dans un échantillonde taillen. Et la propriétésuivante a alors été énoncée :

Propriété.Dans le cas où n est assez grand et où la probabilité p n"est ni trop petite, ni trop

grande,l"intervalle I suivant contient l"intervallede fluctuation, c"est-à-dire que la probabilité qu"il

contienne la fréquence observée estau moinségale à 95% : I=? p-1 ?n;p+1?n?

Remarque.Les notions de " petit» ou " grand» sont très arbitraires et dépendant du contexte. On

trouve parfois comme conditions d"application de cette propriétéles deux variantes suivantes : •n?25 et 0,2?p?0,8; •n?30,n×p?5 etn×(1-p)?5. 131

9.1 Intervalle de fluctuationTerminale ES

Première

En Première, nous avons vu que la loi binomiale nous permettait de calculer très exactement les

probabilités des différentes fréquences observables dansun échantillon de taillen, à savoir les va-

leurs k n, avec 0?k?n, même pourn<25 etp?]0,2; 0,8[. La règle énoncée alors est la suivante :

Propriété9.1.L"intervalledefluctuation auseuilde95%associéàunevariablealéatoire X suivant

la loi binomialeB(n;p), est l"intervalle?a n;bn? , où a et b sont les deux entiers naturels définis par : • a est le plus petit des entiers k vérifiant p(X?k)>0,025; • b est le plus petit des entiers k vérifiant p(X?k)?0,975.

Remarques.

• Lorsquenest assez grand et la probabilitépn"est ni trop petite, ni trop grande, il est proche

de l"intervalle vu en Seconde. • Lorsquenest assez grand, il est quasiment centré surp.

• Cet intervalle s"obtient grâce aux possibilités des calculatrices (ou des logiciels) par la lecture

des probabilitéscumulées croissantes.

9.1.2 Intervalle de fluctuation et loi normale

La détermination de l"intervalle de fluctuation associé à laloi binomiale est souvent fastidieuse,

malgré l"apport des calculatrices ou des logiciels. On a vu dans le chapitre précédent que lorsquen

est assez grand, la loi binomialeB(n,p) et la loi normaleN(μ;σ2), oùμ=npetσ=? np(1-p)2,

X?μ+σ)≈0,95.

La calculatricepeut nous apporter encore plus de précision:p(μ-1,96σ?X?μ+1,96σ)≈0,95?

p?μ-1,96σ n?Xn?μ+1,96σn? ≈0,95 ce qui signifie que la probabilité que la fréquenceXnsoit comprise dans l"intervalle?μ-1,96σ n;μ+1,96σn? est proche de 0,95, ce qui correspond à un intervalle de fluctua- tion. Mais

μ-1,96σ

n=np-1,96? np(1-p) n=npn-1,96? np(1-p) n=p-1,96? p(1-p)?netμ+1,96σn=p+1,96? p(1-p)?n.

D"où la propriété suivante :

Propriété9.2.L"intervallesuivant,appeléintervalledefluctuationasymptotiqueau seuilde 95%, tend vers l"intervalle de fluctuation quand n devient grand : p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n? c"est-à-direquelavariable aléatoireF nqui,àtoutéchantillondetaillen associelafréquence,prend

ses valeurs dans cet intervalle de fluctuation avec une probabilité qui s"approche de 0,95 quand n

devient grand.

On convient que cet intervalle peut être considéré comme unebonne approximation de l"intervalle

de fluctuation dès lors que n?30, np?5et n(1-p)?5. 132
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Terminale ES9.2 Intervalle de confiance

9.1.3 Utilisationde l"intervalle de fluctuation

On utilise l"intervalle de fluctuation, comme en Seconde ou en Première, lorsque la proportionp dans la populationest connue ou bien si on fait une hypothèsesur sa valeur :

Représentativité :si la proportionpd"un caractère dans une population est connue, il permet de

si la fréquencefdu caractère dans l"échantillon appartient à cet intervalle, on considère, au

seuil de 95%, que l"échantillonest représentatif.

Hypothèse surp:si on émet une hypothèse sur la proportionpd"un caractère dans une popula-

échantillondetaillenappartientcet intervalle,onconsidèrequel"hypothèseselonlaquellela selon laquelle cette proportionvautp.

9.2 Intervallede confiance

On cherche à déterminer la proportionpd"un caractère dans une population, par exemple la pro-

portion d"individus atteints d"une maladie bénigne. Il estsouvent difficile pour des raisons à la fois

financières et logistiques de pouvoir recueillir des données sur la population toute entière. Le plus

souvent on se contente de travailler sur un échantillon de lapopulation, dont on peut parfois véri-

fier au préalable s"il est représentatif de la population entière (sur d"autres critères, comme la fré-

quence d"hommes et de femmes par exemple). On sait que d"un échantillon à l"autre la fréquence

d"apparitiondu caractèrefluctueautourdelaproportionpdu caractèredanslapopulationentière. Des simulations permettent d"obtenir qu"environ 95% des intervalles de la forme? f-1 ?n;f+1?n?

contiennent la proportionp. Aussi à partir de la fréquencefd"apparition du caractère dans notre

échantillon défini-t-on l"intervalle suivant :

Définition9.1.L"intervalle?

f-1?n;f+1?n? nuepau niveau de confiance 0,95. Exemple.On souhaiteestimer la proportionde personnesen surpoids,selon les critères de l"OMS,

enquêteur est allé recueillir des informationsauprès de ces personnes. La proportionde personnes

en surpoids dans cet échantillon étudié est de 29,5%.

L"intervalle?

f-1 ?n;f+1?n?

0,295-1?460; 0,295+1?460?

≈[0,25; 0,34]estl"intervalledeconfiance de la proportionde personnes en surpoids dans cette ville auniveau de confiance 0,95.

David ROBERT133

9.3 ExercicesTerminale ES

9.3 Exercices

EXERCICE9.1.

Cet exercice nécessite de disposer d"une calculatrice TI oud"une calculatrice CASIO récente.

On dispose d"une partie de programme :

TI Casio : PROMPT N“N"?→N←? : PROMPT P

“P"?→P←?

: 0→I

0→I←?

: While binomFRép(N,P,I)?0,025

While BinomCD(I,N,P)?0,025←?

: I+1→I

I+1→I←?

: End

WhileEnd←?

: I→A

I→A←?

Remarque.binomFRép(n,p,k) ou BinomCD(I,N,P) calculentp(X?k), oùXest une variable aléa- toire suivant la loiB(n;p).

1. (a) À quoi correspondent N et P demandés en début de programme?

(b) À quoi correspond A à la fin du programme?

2. Commentmodifierceprogrammepourqu"il obtienneaetbtelsquedéfinisdanslapropriété

9.1à la fin du programme?

3. Comment modifier ce programme pour qu"il calcule les deux bornes de l"intervalle de fluc-

tuation au seuil de 95% de la loi binomialede paramètresnetp?

4. On a exécuté ce programme avecp=0,4 et on a obtenu les résultats suivants pour la borne

inférieure : n

205020010005000

Borne0,20,260,3350,370,3864

Comparer ce résultat avec la borne inférieure de l"intervalle de fluctuation introduit en Se- conde. Qu"observe-t-on?

EXERCICE9.2.

Le responsable de la maintenance des machines à sous d"un casino doit vérifier qu"un certain type

de machine est bien réglé sur une fréquence de succès de 0,06.Il dispose du programme élaboré

dans l"exercice 9.1.

1. Lors du contrôle d"une machine, le technicien constate qu"elle a fourni 8 succès sur 65 jeux.

Doit-il remettre en question le réglage de la machine?

2. Lorsdu contrôled"uneautremachine,il constatequ"elleafourni12 succèssur 100jeux.Doit-

il remettre en question le réglage de la machine?

EXERCICE9.3.

et 32365 milliersde femmes. Cette même année en Premières générales à Dupuy de Lôme il y avait

350 élèves dont 218 femmes et 132 hommes. L"échantillon étant très petit par rapport à la popu-

lation générale, on peut considérer qu"il s"agit d"un tirage aléatoire avec remise et que la variable

aléatoire qui à chaque échantillon de taille 350 associe le nombre de femmes dans cet échantillon

suit une loi binomialede paramètresn=350 etp=32365

62731≈0,52.

Les élèves de Dupuy étaient-ils représentatifsde la populationfrançaise? 134
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Terminale ES9.3 Exercices

EXERCICE9.4.

On fait l"hypothèse que tous les ans à Dupuy de Lôme il y a, en Seconde, deux élèves sur trois qui

sont des femmes soit une proportionp=2

3. En Seconde 13, sur 36 élèves il y a 16 femmes. On

remise et que la variable aléatoire qui à chaque classe de 36 élèves associe le nombre de femmes

dans cette classe suit une loi binomiale de paramètresn=36 etp=2 3.

1. Déterminer si on doit rejetter l"hypothèse de départ, au seuil de 95%.

2. Après vérification auprès de l"administration, il s"avère que cette hypothèse est juste. Que

peut-on dire alors de la Seconde 13?

EXERCICE9.5.

Les enfants sont dits prématurés lorsque la durée gestationnelle est inférieure ou égale à 259 jours.

La proportion de ces naissances est de 6%. Des chercheurs suggèrent que les femmes ayant eu un

travail pénible pendant leur grossesse sont plus susceptibles d"avoir un enfant prématuré que les

autres. Il est décidé de réaliser une enquête auprès d"un échantillon aléatoire de 400 naissances

correspondant à des femmes ayant eu pendant leur grossesse un travail pénible. Les chercheurs labornesupérieuredel"intervalledefluctuationasymptotiqueau seuilde0,95alorsleurhypothèse

EXERCICE9.6.

On admet que dans la population d"enfants de 11 à 14 ans d"un département français le pourcen-

tage d"enfants ayant déjà eu une crise d"asthme dans leur vieest de 13%. Unmédecin d"unevillede ce départementest surprisdu nombreimportantd"enfantsleconsultant ayant descrisesd"asthmeet eninformelesservicessanitaires.Ceux-cidécidentd"entreprendreune

étude et d"évaluer la proportiond"enfants de 11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d"asthme.

Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.

La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la borne su-

périeure de l"intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher les facteurs derisque pouvant expliquer cette pro- portion élevée.

1. Déterminerl"intervalledefluctuationasymptotiqueauseuilde95%delaproportiondejeunes

de 11 à 14 ans ayant eu une crise d"asthme dans un échantillonde taille 100.

2. L"étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjà eu des crises

d"asthme. Que pouvez-vousconclure?

3. Le médecin n"est pas convaincu par cette conclusion et déclare que le nombre de personnes

interrogées était insuffisant pour mettre en évidence qu"ily avait plus de jeunes ayant eu des

crises d"asthme que dans le reste du dépertement. Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu"une proportion observée de 19% soit en de- hors de l"intervalle de fluctuationasymptotique?

David ROBERT135

9.3 ExercicesTerminale ES

EXERCICE9.7.

Le 18 avril 2002, l"institut IPSOS effectue un sondage dans la populationen âge de voter. On consti-

tue un échantillon de 1000 personnes (inscrites sur les listes électorales) que l"on suppose choisies

ici de manière aléatoire. Les résultatspartielsen sont lessuivants : sur les 1000 personnes • 135 ont déclaré vouloir voter pour Jean-Marie Le Pen • 195 ont déclaré vouloir voter pour Jacques Chirac • 170 ont déclaré vouloir voter pour Lionel Jospin

1. Déterminer les trois intervalles de confiance au niveau deconfiance de 95% correspondant

aux proportionsd"intentionde votes pour chacun des trois candidats.

2. Si on ne donne que le résultat brut du sondage et non l"intervalle de confiance, quel est le

degré d"imprécision du résultat?

3. À l"issue du premier tour Jean-Marie Le Pen, Jacques Chirac et Lionel Jospin ont obtenu, res-

pectivement, 16,9%, 19,9% et 16,2% des suffrages exprimés.Commenter.

4. L"institut CSA donnait en avril 14% d"intention de votes pour Jean-Marie Le Pen pour un

échantillon de taille identique. Déterminer l"intervallede confiance à 95% associé à ce nou-

veau sondage. Commenter.

EXERCICE9.8.

Les sondages d"intentionde vote s"effectuent en général sur des échantillons de taillen=1000.

1. Déterminer l"amplitudede l"intervallede confiance au seuil de 95%des votantspour l"undes

candidats quand le sondage indique des intentions de votes proches de 50% (cas du second tour de l"élection présidentielle).

2. Déterminer l"amplitudede l"intervallede confiance au seuil de 95%des votantspour l"undes

candidats du premier tour de l"élection présidentielle). 136
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Terminale ES9.3 Exercices

EXERCICE9.9.

Un test de diagnosticrapide effectué sur des sujets ictériques(coloration jaune de la peau, des mu-

queuses et du blanc de l"oeil) doit permettre d"estimer si l"ictère est d"origine virale ou non, sans

avoir besoin de faire des analyses longues et compliquées. Cependant il est important de pouvoir

s"assurer que ce test est de bonne qualité, c"est-à-dire qu"il doit pouvoir indiquer correctement si

l"ictère est viral ou non. Il doit être capable d"identifier correctement le type d"ictère : il est positif

chez les sujets dont l"ictère est viral et négatif sinon.

Une étude est effectuée sur 100 personnes ayant un ictère viral et 100 personnes ayant un ictère

d"origine non virale. Les résultats obtenus sont présentés dans le tableau ci-dessous :

Hépatite viraleIctère d"origine non

virale

Test positif85 20

Test négatif15 80

1. Déterminer la proportionde sujets ayant un test positif parmi ceux ayant un ictère viral.

2. Déterminer unintervallede confiance à 95%de la proportionde testspositifslorsquel"ictère

est viral.

Cette proportion estappelée sensibilitédu testdiagnostic, c"est-à-dire la probabilité qu"uneper-

sonne ayant un ictère viral réagisse au test. Un test diagnostic sera d"autant meilleur que la sensibilité est importante.

3. Déterminerlaproportiondesujetsayantuntestnégatifparmicellesayantunictèrenonviral.

4. Déterminerunintervalledeconfianceà95%delaproportiondetestsnégatifslorsquel"ictère

est non viral.

Cette proportion est appelée spécificité du test diagnostic, c"est-à-dire la probabilité qu"une per-

sonneayant unictère nonviral neréagissepas au test.Untestdiagnostic serad"autant meilleur que la spécificté est importante.

David ROBERT137

9.3 ExercicesTerminale ES

EXERCICE9.10.

Dans le but d"évaluer la prise en charge de la bronchiolite dans un hôpital de la région Aquitaine,

une étude rétrospective a été mise en place.

1. Il est recommandé de coucher l"enfant de manière très inclinée (couchage en proclive) dans

le cadre de la prise en charge de la bronchiolite.On évalue cette pratiqueà partird"un échan-

tillon de 134 dossiers. 106 enfants ont été couchés en proclive. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% de la proportiond"en- fants dont le couchage respecte la recommandation.

2. Uneétudeplusfinepermetdecomparerlespratiquesentrelesdifférentsservicesayantadmis

des enfants dont les résultats sont dans le tableau

9.1de la présente page.

TABLE9.1: Tableau de l"exercice

9.10

Couchage procliveEn service des

urgencesEn service hospitalierTotal

Oui 45 52 97

Non 29 8 37

Total 74 60 134

(a) Déterminer un intervallede confiance au seuil de 95% de laproportionde couchage en proclive pour chaque type de service. (b) Peut-onconclureselonvousau seuilde95%quelapratiquedecouchagen"est pasiden- tique selon le service?

EXERCICE9.11.

Un maraîcher achète un lot de semances de tomatespour produire ses plants de tomate. Il lui reste

des semences de l"année passée, dont il doit contrôler le taux de germination pour pouvoir les uti-

liser avec les autres. En effet, des taux de germination tropdifférents provoquent des trous dans

les plates bandes de production, ce qui génère un coût de manutention plus élevé (il faut enlever

les pots non germés avant de les conditionner). Il faut donc comparer les taux de germination des semences des deux années.

Une stratégie consiste à calculer et à comparer les intervallesde confiance des taux de germination

des plants de l"année et de l"année précédente. Si les deux intervalles ne se recoupent pas, on peut

conclure àunedifférence detaux degerminationentreles deuxsemances d"origines.Il faudraalors les semer séparément.

Pour fairecette comparaison,lemaraîcher prélève, aléatoirementdansles semences de l"année, un

échantillon de 200 graines qu"il met à germer. Il constate que 185 graines germent.

Il prélève ensuite, aléatoirement dans les semences de l"année précédente, un échantillon de 200

graines qu"il met à germer. Il constate que 150 graines germent.

1. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, du taux de germina-

tionpadu lot de semences de l"année.

2. Déterminer un intervalle de confiance au niveau 95% du tauxde germinationpbdu lot de

semences de l"année précédente.

3. Conclure.

138
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