La mole Ce quil faut retenir La mole : Exercices dapplication niveau
En déduire sa masse volumique. 3. Combien d'atomes d'or contient-t-il ? Masses molaires (en g.mol-1) :
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Le nombre d'or. 1/5. LENOMBRED'OR. Présentation et calcul du nombre d'or. Euclide avait trouvé un moyen de partager en deux un segment selon en « extrême et.
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Exercice 1 : Montrer que le nombre d'or est solution de l'équation : x2 - x - 1 = 0. Exercice 2 : Montrer que le nombre phi est une solution de cette.
Le nombre dor : La proportion divine
Cela demeure un réel mystère. Page 6. III- Nombre d'or : Cathédrales et architecture. La pyramide de
Le nombre dor (partie algébrique) EXERCICE 2 : Le rectangle dor
3) Calcule la valeur exacte de + . 4) Que peux-tu en déduire ? EXERCICE 2 : Le rectangle d'or (partie géométrique).
EXERCICES
Liste des exercices Si on a la neutralité électrique combien ... Comparer la masse d'un atome d'or à celui de son noyau. Le cortège électronique de.
LE NOMBRE DOR EN MATHÉMATIQUE Pierre de la Harpe 1er
Nov 1 2008 formule qui sugg`ere encore une autre définition possible des nombres de Fibonacci. [Pour une solution de cet exercice
Seconde : Exercice du chapitre 4 le noyau de latome
Nov 9 2019 2- Ecrire le nombre de neutrons présents dans son noyau. 3- Ecrire la représentation symbolique du noyau de cet atome d'or. Exercice 4.
Le nombre dor
Dans l'expression “proportion divine” pourquoi parle-t-on de proportion? Page 5. 2nde-AP-Le nombre d'or. E. Rueda. Page
Suite de Fibonacci nombre dor
nombres de Fibonacci consécutifs tendent vers le nombre d'or ? (en anglais Exercice 4 : Calculer les déterminants tridiagonaux d'ordre n suivants :.
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Exercice 1 : Montrer que le nombre d'or est solution de l'équation : x2 - x - 1 = 0 Exercice 2 : Montrer que le nombre phi est une solution de cette
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Si on ajoute 1 au nombre d'or on obtient son carré Les autres puissances de ? s'écrivent : ? 2 ? 3 ? 4 ? 5
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30 jui 2017 · Cet ouvrage apporta une nouvelle vision du nombre d'or mettant en évidence certaines de ses propriétés arithmétiques En 1498 Fra Luca Pacioli
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De ses voyages il ramène les chiffres arabes et la notation algébrique Prenez deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci et divisez-les: Page 2 2nde-AP
[PDF] Le nombre dor (partie algébrique) EXERCICE 2 : Le rectangle dor
On va montrer que ABEF est un rectangle d'or 1) Calcule OD 2) Montre que la valeur exacte de OC est OC = ?45 cm 3) Ecris
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1 nov 2008 · Texte de vulgarisation mathématique `a propos du nombre d'or ? Voici une autre mani`ere de démontrer la relation de l'exercice précédent
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encore un autre lapin alors que le deuxième faisait sa crise d'adolescence Ainsi tous les Exercice 1 (Nombre d'or et Reproduction de lapins)
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Histoire des arts 2015 : Portrait et Autoportrait Le Nombre d'Or et la Joconde "Les choses qui sont dotées de proportions correctes réjouissent les sens"
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I- Définition mathématique du nombre d'or a) Introduction : Cette organisation est renforcée par la présence au second plan du tableau d'une structure
Comment résoudre l'équation du nombre d'or ?
"Le nombre d'or est le nombre réel positif, noté ?, égal à la fraction a/b si a et b sont deux nombres en proportion d'extrême et de moyenne raison." Voici la formule correspondante : ? = (1 + ?5) / 2.Comment calculer le nombre d'or 1618 ?
L'utilisation du ratio d'or peut vous aider à déterminer la taille et la police la plus équilibrée tout en étant lisible. Au lieu d'utiliser un calculateur de nombre d'or, multipliez ou divisez une taille de police spécifique par 1,618 pour obtenir la taille correspondante du texte ou du titre.Comment utiliser le nombre d'or dans la musique ?
On dit “nombre d'or” mais il s'agit en réalité d'une proportion : vous trouvez cette proportion en divisant une ligne en deux, de façon à ce que la partie la plus longue divisée par la partie la plus courte donne le même résultat que si on divisait toute la ligne par la partie la plus longue.- Ainsi, pour construire un segment de longueur le nombre d'or, on commence par tracer un triangle ABC rectangle en A dont les côtés de l'angle droit mesurent 1 et 1/2. Puis on reporte la longueur de l'hypoténuse sur la demi droite [AC) (voir figure ci-dessous).
LE NOMBRE D"OR EN MATH
´EMATIQUE
Pierre de la Harpe
1er novembre 2008
ABSTRACT. This is a popularization essay of mathematics, in French, about the numberknown as the golden ratio:?≈1.61803···. Several definitions of this number are shown to
be equivalent. The golden ratio is then shown to be relevant to some elementary geometric problems (proportions in a regular pentagon), and also to arithmetic considerations of both elementary and more advanced nature (diophantine approximation, Hilbert"s 10th problem). The mathematical background expected from the reader varies a lot from place to place. R´ESUM´E. Texte de vulgarisation math´ematique `a propos du nombre d"or?≈1.61803···.
On y montre d"abord l"´equivalence de plusieurs d´efinitions de ce nombre. Puis on d´ecrit le
rˆole du nombre d"or dans divers probl`emes g´eom´etriques (proportions dans un pentagoner´egulier), ainsi que dans diverses consid´erations arithm´etiques ´el´ementaires et plus avanc´ees
(approximation diophantienne, 10`eme probl`eme de Hilbert). Les pr´erequis math´ematiques sous-entendus varient consid´erablement de place en place. Chic J"aiCompris
L"essentiel
Et c"est pour demain
Si le diable est dans les d´etails
1Un choix de d´efinitions
En math´ematiques, le nombre d"or peut ˆetre d´efini de plusieurs mani`eres, diff´erentes,
mais toutes ´equivalentes au sens o`u elles d´efinissent le mˆeme nombre. Le choix des d´efinitions qui suivent, ainsi que leur ordre, rel`eve donc d"une bonne dose d"arbitraire.D´efinition 1.Le nombre d"or est le nombre
?=⎷5 + 1 2 La notation choisie, la lettre grecque?, prononcer "fi", est l"un des usages courants (un autre estτ, prononcer `a mi-chemin entre "tau" et "tao"). Certains auteurs affirment que le choix de?honore le sculpteur grec Phidias, du V`eme si`ecle avant J´esus-Christ.1 Un fib est un po`eme de 6 vers comptant 20 syllabes, les 6 vers ayant dans l"ordre 1,1,2,3,5 et 8syllabes. Wikip´edia mentionne l"existence de fibs en sanscrit remontant `a plus de 2000 ans. Pour un site
de fibs, dus `a Marc Lebel, voir http://mlebelm.ca/index.php?Fibs-a-la-fibonacci2 PIERRE DE LA HARPE
Approximations d´ecimales.Pour les flemmards : de 4<5<9, on d´eduit d"abord2<⎷5<3, et par suite 1,5< ? <2. En poussant les calculs un peu plus loin, d"abord
4,84<5<5,29 =?2,2<⎷5<2.3 =?1,6< ? <1,65,
puis4,9729<5<5,0176 =?2,23<⎷5<2.24 =?1,615< ? <1,62,
etc., par exemple jusqu"`a ce qu"on trouve (comme dans au moins une page de Wikipedia) ?≈1,6180339887···,ou encore un peu plus : Voir http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi10000dps.txt (par ex- emple) pour les 10000 premi`eres d´ecimales de?. C"est une cons´equence de la proposition 2 (voir plus bas) qu"il n"est pas possible d"´ecrire une valeur exacte en notation d´ecimale avec un nombre fini de chiffres. D´efinition 2.Le nombre d"or est la solution positive de l"´equationx2-x-1 = 0. Equivalence avec la d´efinition 1.L"´equationx2-x-1 = 0 a deux solutions qui sont1+⎷5 2 et1-⎷5
2 , comme on le v´erifie par exemple en ´ecrivant x-1 +⎷5 2 x-1-⎷5 2 x-12 2 ⎷5 2 2 x2-x+14
-54 =x2-x-1. Par ailleurs, il est (presqu") ´evident que le nombre1+⎷5
2 est positif et que le nombre1-⎷5 2 est n´egatif.? Remarques.Ainsi,?2-?-1 = 0 ; il est parfois avantageux d"´ecrire cela sous la forme 1? =?-1.Notons par ailleurs que
1? =-2⎷5 + 1 =-2(⎷5-1)( ⎷5 + 1)( ⎷5-1)=-2(⎷5-1)4 =1-⎷5 2 c"est-`a-dire que l"autre racine de l"´equation de la d´efinition 2 est pr´ecis´ement 1? =1-⎷5 2 ≈ -0.618···. D´efinition 3.Le nombre d"or est la proportion?telle que, ´etant donn´e deux nombres positifsLet?tels queL > ? >0, le rapport deL+?`aLest ´egal au rapport deL`a?.Equivalence avec la d´efinition 2.SiL+?L
=L? =?, alors??+??? =?, donc?+1? =?, ou encore ?+ 1 =?2, de sorte que?est bien le nombre de la d´efinition 2. R´eciproquement, soit?le nombre de la d´efinition 2. Choisissons arbitrairement un nombre? >0 et posonsL=??. On v´erifie facilement queL+?L =L? =?, de sorte que? est bien le nombre de la d´efinition 3.?LE NOMBRE D"OR EN MATH
´EMATIQUE 3
Faisons d"abord de la g´eom´etrie ...
Proposition 1.Dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur1, les diagonales ont longueur?.D´emonstration.Consid´erons un pentagone r´egulier de sommetsP,Q,R,S,T, dont les cˆot´es
ont longueur long(PQ) = long(QR) = long(RS) = long(ST) = long(TP) = 1. Les cinq diagonales ont aussi mˆeme longueur, que nous notonsτ: long(PR) = long(QS) = long(RT) = long(SP) = long(TQ) =τ.Il s"agit de montrer queτ=?.
INDISPENSABLE : dessiner une figure en lisant la suite ! Premi`erement, notonsUl"intersection des diagonalesQSetRT. Les trianglesUTQet URSont leurs cˆot´es parall`eles deux `a deux ; ils sont donc semblables, et on a long(QU)long(US)=long(QT)long(RS)=τ.Deuxi`emement, le quadrilat`erePQUTest un losange (cˆot´es oppos´es parall`eles et de mˆeme
longueur) ; par suite : long(QU) = long(PT) = 1.Il en r´esulte que
Vu la d´efinition 3, on a bienτ=?.?
Cette proposition montre donc l"´equivalence des d´efinitions pr´ec´edentes avec la d´efinition
suivante. D´efinition 4.Le nombre d"or est le rapport entre la longueur des diagonales et la longueur des cˆot´es dans un pentagone r´egulier. Remarque.Le nombre d"or apparaˆıt ainsi de mani`ere tr`es simple dans une figure, le pentagone r´egulier, qui a exerc´e depuis la nuit des temps une tr`es grande fascination. La d´ecouverte du fait que ce nombre soit irrationnel (voir plus bas) fut un choc consid´erable pour les g´eom`etres de la Gr`ece ancienne ; voir [OsWa]. Exercice.Si vous savez ce qu"est un cosinus, montrez que 2cos π5[Indication : dans un pentagone r´egulier dont les cˆot´es ont longueur 1, on trouve un triangle
rectangle dont l"hypoth´enuse est de longueur 1 et un cˆot´e de l"angle droit de longueur?/2.]
Remarque,pour les lecteurs qui savent manipuler l"exponentielle d"un nombre complexe.Voici une autre mani`ere de d´emontrer la relation de l"exercice pr´ec´edent : siz=e2iπ/5
4 PIERRE DE LA HARPE
etγ=?z+1z ?= 2cos(2π/5), alorsz4+z3+z2+z+ 1 = 0 etγ2+γ-1 = 0, et par suite cos(2π/5) =⎷5-14 . On en d´eduit d"abord que 2cos2(π/5) = 1 + cos(2π/5) =3+⎷5 4 et finalement que 2cos(π/5) =?3+ ⎷5 2 =1+⎷5 2 Voici une traduction trigonom´etrique des quatre lignes qui pr´ec`edent, sans nombre com- plexe. Choisissons l"origine du plan au centre du pentagone, et notons ses sommets dans l"ordre cyclique :z0,z1,z2,z3,z4. Montrons d"abord que la sommeS=z0+z1+z2+z3+z4de ces quatre vecteurs est nulle.En effet, la moiti´e de la somme de deux sommets cons´ecutifs est le milieu du cˆot´e qui les
joint, par exemple 12 (z0+z1) =-ρz3, o`uρd´esigne la distance entre l"origine et le milieu d"un cˆot´e. Par suite S=12 (z0+z1) +12 (z1+z2) +12 (z2+z3) +12 (z3+z4) +12 (z4+z0) ce qui impliqueS= 0.Les coordonn´ees des sommets s"´ecrivent
z0= (1,0)
z1= (cos2π5
,sin2π5 )z4= (cos2π5 ,-sin2π5 z2= (cos4π5
,sin4π5 )z3= (cos4π5 ,-sin4π5 etS= 0 implique (†) 1 + 2cos2π5 + 2cos4π5 = 0.Posons provioisrementx= 2cosπ5
. Alors 2cos2π5 =x2-2 et 2cos4π5 = (x2-2)2-2 = x4-4x2+ 2, de sorte que la relation (†) s"´ecrit
1 +x2-2 +x4-4x2+ 2 =x4-3x2+ 1 = 0.
A priori, on trouve les deux solutionsx2=12
(3±⎷5). Or le signe-ne convient pas, car π5 <π3 ?cosπ5 >cosπ3 = 1?2cosπ5 >1?x2>1. On trouve donc bienx2=12 (3+⎷5), et donc aussix=12 (1 +⎷5) =?, comme promis. Exercice.On consid`ere dans le plan un cercle centr´e en un pointO, deux rayonsOPet OBperpendiculaires de ce cercle, le milieuDdu rayonOB, la bissectrice de l"angleODP qui coupe le rayonOPen un pointN, la perpendiculaire `aOPenNqui coupe le cercle en un pointQ, et le point sym´etriqueTdeQpar rapport `a la droite portant le rayonOP.Montrer que
long(QT)long(PQ)=?, c"est-`a-dire queP,QetTsont trois des cinq sommets d"un pentagone r´egulier inscrit dans le cercle de d´epart. (La construction est celle donn´ee `a la page 27 de [Cox-69] ; c"est une variante de la construction d"Euclide. Pour trouver la solution de l"exercice, il faut bien sˆur commencer par faire un dessin !) Remarque.Le nombre d"or se retrouve naturellement dans plusieurs rapports de lon- gueurs qui apparaissent dans undod´eca`edre r´egulier, ce poly`edre de l"espace qui poss`edeLE NOMBRE D"OR EN MATH
´EMATIQUE 5
douze faces dont chacune est un pentagone r´egulier, et vingt sommets en chacun desquels se rejoignent trois faces. On retrouve ces mˆemes rapports dans le poly`edre cousin qui est l"icosa`edre r´egulier ; il a20 faces qui sont des triangles ´equilat´eraux et 12 sommets en chacun desquels se rejoignent
5 faces. Par exemple, les douze points de l"espace de coordonn´ees cart´esiennes
sont les sommets d"un icosa`edre r´egulier. Ces deux poly`edres, et les trois autres poly`edres r´eguliers (t´etra`edre, cube, octa`edre) fournissent la mati`ere du livre XIII (le dernier) des´El´ementsd"Euclide.
Le nombre d"or entre ´egalement dans la description despavages de Penrose,ces fasci- nants recouvrements du plan par des pav´es d´ecouverts vers 1970. Dans l"une des vari- antes de ces pavages, chaque pav´e est un triangle isoc`ele dont les angles sont ou bien π/5,π/5,3π/5, ou bienπ/5,2π/5,2π/5 (rappel : pour un angle,π/5 = 36o). L"un desint´erˆets de ces pavages, il en existe d"innombrables, est de ne poss´eder aucune sym´etrie de
translation. Mais ceci est toute une histoire, autre et superbe, qui n´ecessiterait `a elle seule tout une note, et nous nous bornerons ici `a signaler un article de Martin Gardner [Gar-77] ainsi que quelques sites ou`ebes o`u en trouver davantage [Pen1, Pen2, Pen3]. ... et ensuite de l"arithm´etique Rappelons qu"un nombre (ou "nombre r´eel")xest ditrationnels"il existe deux entiers a,b, avecb >0, tels quex=ab . Une telle ´ecriture est diter´eduitesi les entiersaetbsont premiers entre eux,c"est-`a-dire s"ils n"ont pas d"autre diviseur commun que 1. Ainsi, si x= 1,75, alorsx=74 est une ´ecriture r´eduite et les entiers 7,4 sont premiers entre eux, alors quex=148 n"est pas une ´ecriture r´eduite puisque 14 et 8 sont 2 comme diviseur commun. Il est facile de v´erifier que, pour un nombre rationnelxdonn´e, il existeexactement une paire r´eduitea,btelle quex=ab Un nombre r´eel estirrationnels"il n"est pas rationnel. Par exemple, siπest d´efini2 comme le rapport entre le p´erim`etre et le diam`etre d"un cercle, on sait queπest un nombre irrationnel ; la premi`ere d´emonstration de ce fait, due `a Lambert, date de 1761. (On sait mˆeme queπest un nombre transcendant, ce qui fut d´emontr´e par Lindemann en 1882, et ce qui apporte la "r´eponse moderne" `a une questionc´el`ebre qui se posait depuis l"antiquit´e grecque, `a savoir laquadrature du cercle,mais ceci
aussi est une autre histoire.) De mˆeme on sait que le nombre e= 1 +12! +13! +14! +14! +15! +17! +18! +··· ≈2,71828182845904523536···2Il y a bien sˆur d"autres d´efinitions possibles, par exempleπest le rapport entre l"aire d"un disque et
le carr´e de son rayon.6 PIERRE DE LA HARPE
est irrationnel (Euler, 1737 [Eul-37]), et mˆeme transcendant (Hermite, 1873). Autant que je sache, personne ne sait3montrer queπ+eest irrationnel (a fortioritranscendant). A
titre de curiosit´e, voisi n´eanmoins un r´esultat r´ecent qui impressionne les sp´ecialistes : les
quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] exercice seconde nombres rationnels
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