[PDF] Géométrie dans lespace Exercice : Montrer qu'une droite

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Terminale S

4 5

1.1. Plan de l'espace ...................................................................................................................................... 51.2. Position relative de deux droites ............................................................................................................... 6

1.3. Exercice ................................................................................................................................................. 61.4. Position relative de deux plans ................................................................................................................. 71.5. Exercice ................................................................................................................................................. 7

2.1. Droites parallèles à un plan ..................................................................................................................... 72.2. Exercice : Montrer qu'une droite est parallèle à un plan .............................................................................. 82.3. Exercice : Utiliser le théorème du toit dans un tétraèdre .............................................................................. 9

2.4. Plans parallèles ..................................................................................................................................... 102.5. Exercice : Demontrer que deux plans sont paralleles ............................................................................. 10

2.6. Exercice : Construire la section d'un solide par un plan ............................................................................. 10

3.1. Droites orthogonales .............................................................................................................................. 113.2. Orthogonalité Droite-Plan ...................................................................................................................... 11

3.3. Plan médiateur ..................................................................................................................................... 123.4. Exercice : Démontrer une orthogonalité .................................................................................................... 12

13 19 23
27
30

Rappel

Fondamental

Définition

coplanaires coplanaires On considère le parallélépipède suivant : Fondamental : Dans l'espace, deux plans peuvent être ... On considère le parallélépipède suivant :

Fondamental

Fondamental : Théorème du toit

Attention

d d' d//d' [Solution n°1 p 30] (IK)(ABC)

Indice :

On pourra montrer que est parallèle à une droite du plan (IK)(ABC) [Solution n°2 p 30] [Solution n°3 p 30]

Indice :

On pourra utiliser le théorème du toit

Fondamental : Premier théorème

Fondamental : Second théorème

[Solution n°4 p 30]

Indice :

Pour prouver que deux plans sont paralleles, il suffit de trouver deux droites secantes d'un plan qui

sont paralleles a l'autre plan. [Solution n°5 p 31]

Définition

orthogonales

Remarque

perpendiculaire

Exemple

ABCDEFGH(AE)(GH)

(AE)(GH)

Fondamental

Définition

orthogonale à un plan

Complément

Exemple

(d)BCGF(BM)(CM)

Fondamental : Propriétés

Définition

[AB]AB

Fondamental

[AB](AB) [AB] [Solution n°6 p 32] ABCD (CD)(AB)

Indices :

Dans un tétraèdre régulier, toutes les arrêtes sont de la même longueur.

On pourra construire le point milieu de I[CD]

Définition

colinéairest

Remarque

Complément

dépendants indépendantslibres [Solution n°7 p 32] [Solution n°8 p 33]

Indice :

On pourra remarquer que

[Solution n°9 p 33]

IJKL(AC)(IJKL)

Indice :

On pourra exprimer en fonction de

[Solution n°10 p 33] (BD)(IJKL)

Fondamental : Caractérisation d'une droite

M vecteur directeur

Fondamental : Caractérisation d'un plan

M xyA

Fondamental : Conséquences

[Solution n°11 p 34]

Indice :

On pourra utiliser de manière astucieuse la relation de Chalses [Solution n°12 p 34] [Solution n°13 p 34]

Indice :

Si une droite est incluse dans un plan , tout vecteur directeur de la droite est un vecteur du plan Cela est une conséquence directe de la . dernière propriété vue sur cette page* - p.27 [Solution n°14 p 34] [Solution n°15 p 35]

Indice :

On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.

Définition

coplanaires ABCD

Exemple

coplanaires

Fondamental

coplanaires

Complément : Démonstration

ABCD ABC ABCD D

Attention

Définition

indépendantslibres Dans le cube ci-contre, cochez les triplets de 3 vecteurs

Fondamental

coordonnéesMA

Complément : Démonstration

ABCDM ABC A M (ABC)H xyz AB

Fondamental : Coordonnées d'un vecteur

Fondamental : Coordonnées du milieu d'un segment [AB]

Fondamental : Norme d'un vecteur

Complément : Avec les coordonnées de vecteur [Solution n°16 p 35] [Solution n°17 p 35]

ABCDABCD

Fondamental

A A

Définition

représentation paramétrique

Exemple

t

Remarque

[Solution n°18 p 35] (AB)

Indice :

Un vecteur directeur de la droite est (AB)

[Solution n°19 p 35] [Solution n°20 p 36]

Indice :

Il faut déterminer s'il existe deux paramètres et permettant à un même triplet de coordonnées tt'

de vérifier les deux représentations paramétriques.(x ;y ;z) [Solution n°21 p 36] [Solution n°22 p 36] [Solution n°23 p 37]

Indice :

On pourra montrer qu'elles sont perpendiculaires

On pourra trouver deux points et respectivement sur et [Solution n°24 p 37]

Soit ABCD un tétraèdre.

I est le milieu du segment [BD] et J est le milieu du segment [BC]

L'intersection des plans (ACD) et (AIJ) est

ABCDEFGH

[EH][BF] (BIG) (AE)

Le point K

[AE] [AE] E est égal à

Les vecteurs , et sont

Le milieu du segment est :[KG]

[IB] [HJ] passe par le point de coordonnées a un vecteur directeur de coordonnées :

Les droites et sont

Le point est

Les vecteurs , et sont coplanaires

La droite est parallèle au plan (AB)(xOz)

La droite est parallèle à l'axe des ordonnées.(AB) La droite passant par le point et dirigée par et la droite (AB) sont coplanaires.

Fondamental : Caractérisation d'une droite

M vecteur directeur

Fondamental : Caractérisation d'un plan

M xyA

Fondamental : Conséquences

Fondamental

Fondamental : Théorème du toit

Attention

d d' d//d'

Exercice p. 10

Exercice p. 9

Exercice p. 9

Exercice p. 8

(SAC)

IK[SA][SC](IK)

(AC) (IK)(ABC)

Exercice p. 10

Pour la face AEFB

Pour la face EFGH

Pour la face CDHG

Pour la face ABCD

Pour finir

Exercice p. 14

Exercice p. 12

Méthode : 1ère méthode : A l'aide du plan médiateur ABI [CD] (CD)(AB) (AB)(CD) Méthode : 2ème méthode : Montrer que (CD) orthogonale à (ABI)

ADC(AI)A

BCD (AI)(BI)(ABI) (CD) (ABI)(CD) (AB)(CD)

Exercice p. 14

Exercice p. 14

Exercice p. 14

IJKL (AC)(IJKL)on peut affirmer - p.28 (AC)(IJKL)

Exercice p. 16

Exercice p. 16

Exercice p. 15

Exercice p. 15

(BD)(IJKL)

Utilisation de la relation de Chasles

propriétés vues précédemment - p.27

Exercice p. 21

Exercice p. 21

Exercice p. 20

Exercice p. 20

Exercice p. 16

les propriétés vues précédemment - p.27 B (AB)(CD)donc coplanaires - p.28 ABCD (AB)

Exercice p. 22

Exercice p. 22

Exercice p. 21

(x ;y ;z) (AB) t t t'

Exercice p. 22

Exercice p. 22

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