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CCP - 2014 - Physique 1 - corrigé O.Ansor

Mécanique

Exercice 1 : Satellites

I.1. le TMC appliqué à P s"écrit : ()( ) ( )30O .()OP t est constamment normal au vecteur constant

OL. P(t) évolue donc dans le plan normal à

OL, passant par O.

I.2. 2 2 O r r zL re m re r e mr e cst C r csteqq q q= ´ + = =⇒= = ɺ ɺ ɺɺ.

I.3. d"après le PFD :

[]2 2 2""P rma e mC u u u mMGu= - + = - i . d"où l"équation différentielle du mouvement :

2""MGu uC+ =, de solution : ( )( )002 2cos 1 cosMG MGu A eC Cq q e q q= + - = + -  . Ou encore :

( )01 cospree q q=+ - , avec:

2CpMG=.

I.4. ( ) ( )0 02 222

1 1 1 1

p p p pr r a ae e e eq q p+ + = + = =⇒=+ - - -. I.5.

. f est conservative et dérive de l"énergie potentielle ( )PmMG mMGE r cstr r= - + = - ( ()0PE cst¥ = =).

I.6.

2 2 2 21 1"

2 2C PE mv mC u u = = + .fest conservative, donc m C PE E E cst= + =.Or :

2

PmC uE mMGup= - = -

22 22 2 2222

22211 12 2 1 2 2 12 2 2 2m

mC emC e mC e mC mCEe e e ep p p p p p-

Soit :

2

2 2mmC mMGEpa a= - = -.

I.7. la surface balayée par

OPpendant dtest : 1

2 2 2

C dS C abdS r rd dt cstdt T

pq= ´ =⇒= = = (loi des aires) .

D"où :

22abTC

p=. Or :

22 2 2

2 2 2 2 2

2a paTpMG

p=. Soit : 32

24 T aMG

p=. I.8. 22 4
ST T

T TM Grv

T r p p= = . 2 4ST M T M M M Grv vr rp= =. AN : 1#29,8Tv kms- . 1#24,2Mv kms-. I.9.

1,25 2

T Mr ra UA+= =.

)( )2 0m P

PE Evm-=.

I.10. 32

2 T aMG

pD =. AN : #258 16 9minT jours hD. M

MrTvbD =⇒M

Mv T rbD=.AN : #0,377 21,6radb°≃.

I.11. d"après le TMCM : 2

0 2 0 0 M Mmm mmr G Gr rw w=⇒=. AN : 1#1,87 .rad sw-.

I.12. d"après le PFD appliqué à P

1, on a :

( )( )2 0 2 0 22

Mmmmr h Gr hw- = --R( )

22
0 01 1

2MmmGrr h ⇒= - -  

R.

Au 1ier ordre :

2 2 2 0 0 ≃R . soit : 2 4 0

MGmm h

r-≃R. AN : 8#3.10N-R, trop faible. Exercice II : système articulé de quatre solides II.1. 3 3 1 3 2 3 4 3 4Tm C C mC C mC C MC C MC C= + + =⇒ 3 3 4 T

MC C C Cm=

. 3 3 4 T

Md C C C Cm= =.AN : 1d m=.

II.2. la CRSG des roues

Sk s"écrit : ()0k k kI S C k k x z y xv v C I ve e re v r ew w wÎ= + ´ = - ´ = + = . D"où : v

rw= -.

II.3. le TMC appliqué à S

1en Ck s"écrit : ()( )0k

kC k C k dL SM dt= + R . Or : ( )kC k zvL S j j erw= = - et

()()kC k k k y k x k y k zkM C I re T e N e rT e= ´ = - ´ + = R R. D"où : 2kvT jr= -ɺ .

II.4.

v cste=⇒ 0kT= et d"après le TRC appliqué au système 1 2 3 4S S S SÈ È È, on a:

()0T

T k kd m vF m g

dt= + + + =⇒ R RsinTF m ga= et 1 2cosTN N m ga+ =.

II.5. le TMC appliqué au système

1 2 3S S SÈ È s"écrit : ()( ) ( )( )

3 3 3 3 1 2

1,2,30C

C C CdLM M M Fdt= + + +

R R. Or :

()()()()3 3 3 31,2,3 1 2 3C C C CL L L L= + + ; ()3311Cx xL j C C mv j le ve jw w w= + ´ = + ´ = ; ()32CL jw= ;

()33 0CL=(mouvement de translation pure) ; ()31 3 1 11CzM C C lN e= ´ = - R R ; ()32 3 1 21CzM C C lN e= ´ = R Ret ()33CzM F C H F hFe= ´ = - . D"où :

2 10 ( )z zl N N e hFe= - - . soit : ()2 1sinTl N N hF hm ga- = =.

II.6.

2cos sin2

Tm g hNla a = +   . 1cos1 tan2 Tm g hNlaa = -  . II.7. pour que le contact entre les roues et le câble persiste, il faut avoir :

10N>et 20N>. Soit : tanl

ha<. AN : tan 1,67a< ou 59a< °.

II.8. le TMC appliqué au système

1 2 3 4S S S SÈ È È s"écrit :

3

3 3 3 3 3

1 2

1,2,3,40C

C T C C C C CdLv m v M M M F M Mgdt+ ´ = + + + + R R .

()()3 31,2,3,4 1,2,3C C zL L J eq= + ɺ.()3C T C x T xv m v ve m ve d eqq´ = ´ + ɺ. on suppose que

pour de faibles amplitudes, maxd vqɺ≪ . Ainsi : 30C T Cv m v´ » .

3 4 3 4sinT TJ m C C g m C C gq q q= - -ɺɺ≃. De la forme : 20q q+W =ɺɺ : oscillations sinusoïdales de pulsation :

3 4Tm C C g

JW =. AN : 1#4,42 .rad s-W.

Remarque :

( )3C T C x T x T zv m v ve m ve d e m vd eqq q q a´ = ´ + = - ɺ ɺ ordre en q et ses dérivées, on obtient

II.9. S4 est en équilibre dans (3"C xyzR

Soit :sinT Mv Mga= +ɺ et N Mg=

II.10. le TMC appliqué à S4 en C3 dans le référentiel [ ] [340 sin cos 0x r xzC C Mg Mve e gu ve g v e´ - =⇒´ - = - + - = ɺ ɺ ɺ ( )sinsintan cos sincos cosv g b a ab b a b a- +- = = = - +- -ɺ

AN : ( )tan # 0,46b a- - .

II.11. le TRC appliqué au système

1 2 3 4S S S S

1 2Tm v F T T= + +ɺ et d"après II.3 kT j= -

II.12. (1) 1 2cosTN N m ga⇒+ =.

le TMC appliqué au système

1 2 3S S SÈ È

( )3

21,2,3

C zjvL er= -

. D"où :

2 ( )vj l N N hFr- = - -ɺ

On en déduit :

2cos sin

2 2 2 T T

Tm g hm gh j hN m vl l lr r

a a = + + + -  

Thermodynamique

Exercice III : Ondes thermique

III.1. le problème est invariant par translation suivant O

T(z,t) .

III.2.

( ) ( ), ,th Mj M t T M tl= - Ñ   . j en M à t. l : conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d"Ohm locale

III.3. ( )( ),i tM t f z ewq= .

2

D f zt t dz D

III.4. la solution générale de (1) est f z A i z B i z

Physiquement, ( ),T z t®¥est finie, d"où

( )sinC T C x T x T zv m v ve m ve d e m vd eq q q a´ = ´ + = -⇒ ɺ ɺ ()sin sinT TJ m vd m C C gq q q a q+ - = -ɺɺ ɺ

3 4sin 0T TJ m vd m C C gq q a q- + =ɺɺ ɺ: équation de solution diverg

)C xyz.Donc :(sin cos 0xx yMg Mve Mg T Mv e Mg N ea a+ - = - + - + - + = ɺ ɺR cosN Mga. dans le référentiel s"écrit :

]( )0 sin cos 0x r xzC C Mg Mve e gu ve g v eb b a´ - = - + - =   ɺ ɺ ɺ . on en déduit

( )tan cos sinb a a a- = = = - +⇒( )tan tancos v gb a a- = - -ɺ

1 2 3 4S S S SÈ È È,(cf II.4) s"écrit: ( )Td m vF m gdt= + + + =

2vT jr= -ɺ. D"où : 22sin

1 2 3S S SÈ È (Cf II.5. ) s"écrit : ( )3

1 2

1,2,3C

z z z dLlN e lN e hFedt= - + +-

2 12 ( )vj l N N hFr- = - -ɺ . soit : ( )2 1T Tl N N hm g hm v- = + + -

12 2 2

h j hN m vl l lr r

ɺ et 1cos sin

2 2 2

T Tm g hm gN m vl l lr r

a a= - - + -

Thermodynamique - Géothermie

: Ondes thermique

le problème est invariant par translation suivant Ox et invariant par translation suivant Oy, donc

  thj : vecteur densité de courant thermique. (T M t : conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d"Ohm locale 22

2 20d f ziD f zt t dz D

( ) exp (1 ) exp (1 )f z A i z B i zD D est finie, d"où : B=0. )3 4sin sinT TJ m vd m C C gq q q a q+ - = - . Au 1ier de solution divergente. ) ( )sin cos 0xx yMg Mve Mg T Mv e Mg N ea a+ - = - + - + - + = ɺ ɺ. on en déduit : tan tancos vb a aa- = - -ɺ.

0 (1)T k kF m g= + + + =⇒ R R

1 2z z zlN e lN e hFe= - + +- .

2sin 1

cos sin12 2 2Tm g hm gh j hN m vl l lr r

Géothermie

et invariant par translation suivant Oy, donc : T(M,t) (),T M t :température absolue

: conductivité thermique du milieux. Loi analogue à la loi d"Ohm locale :( ) ( )[ ], ,Mj M t V M tg= - Ñ.

21" 0if z f zD

w+- = (1). .A et B constantes.

III.5. ( ), ( ) exp exp

z i tzz t f z e A z i t z Ae i tD Dwdw wq w w d , avec : 2Ddw= . ()0,0A aq= =.

III.6.

( )0, cos zzT z t T ae tdwd profondeur en s"atténuant.

2pd est la pseudo-période des variations spatiales de l"onde thermique.dreprésente

aussi une distance caractéristique sur la quelle l"amplitude des fluctuations s"annule. Après une profondeur de

quelques d , les variations occasionnelles de température à la surface ne sont plus ressenties.

III.7.

( ), cos zzz t ae tdq wd 10 10

Laaed-=⇒10ln10Ld=.

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