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Compléter la table de congruence suivante modulo 7. N. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3N – 5 Corrigé. Exercice 1. 1). 2). 3). Exercice 2. N. 0. 1. 2. 3. 4. 2N². 0. 2. 3.
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Arithmétique : Corrigé Feuille 4 (Congruences ). Exercice 1. Calculons le reste de 78 divisé par 6 i.e on cherche 0 ≤ x < 6 tel que. 78 ≡ x [6]. Modulo 6 on
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Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. Apprendre `a calculer Compléter la table des restes dans la congruence modulo 9 : x ≡. 0. 1. 2. 3. 4. 5.
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Congruences. Définition 1.1. Soit m a
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103. 5.3 Exercices de « Congruences » . La congruence modulo n n'est pas tr`es aisée `a manipuler c'est pourquoi on ...
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Enfin une congruence modulo un réel non nul a implique la même congruence modulo les réels Exercice 547 ( 4 Carrés modulo un nombre premier). Soit p un ...
RELATION BINAIRE
Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo. [ ]. Est une relation d'équivalence sur . 2. En vous servant
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Arithmétique : Corrigé Feuille 4 (Congruences ). Exercice 1. Calculons le reste de 78 divisé par 6 i.e on cherche 0 ? x < 6 tel que. 78 ? x [6]. Modulo 6
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Résoudre dans Z les congruences suivantes : 1) 3x ? 4 mod 7;. 2) 9x ? 12 mod 21;. 3) 103x ? 612 mod 676. Exercice 18. — Donner la congruence modulo 17 de
Sans titre
corrigés. 5. 1. Divisibilité nombres premiers
RELATION BINAIRE
Exercice 2 : 1. Montrer que la relation de congruence modulo. [ ]. Est une relation d'équivalence sur . 2. En vous servant de la division euclidienne
CONGRUENCES DANS Z – Exercices corrigés
Exercice 1 : Trouver le reste de la division euclidienne de 1952 par 7. Cela revient à chercher la classe de congruence de 1952 modulo 7.
Congruences - Arithmétique Spé Maths terminale S : Exercices
Spé Maths terminale S : Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com Compléter la table des restes dans la congruence modulo 9 :.
Corrigé terminale S
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Exercices corrigés arithmétique
Exercices corrigés d'arithmétique Exercice 1 : ... Remarquons que le principe même de la congruence modulo 7 fait que les.
Devoir n°2 - 2016 corrigé
Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas n désigne un entier naturel résoudre l'équation n2 - n ? 0 (modulo 6).
2x2 +y = 11
x = 112x2 +y = 1
x = -12x2 +y =-11
x = -112x2 + y = -1
Exercices corrigés d"arithmétique
Diviseurs -Division euclidienne :
Exercice 1 :
1) Démontrer que a | b si et seulement si pour tout k de ?, a | (b-ka).
2) Déterminer les entiers relatifs a, tels que (a-5) | (a + 7).
Une solution :
1) a | a. Si a | b alors a divise toute combinaison linéaire de a et b, donc pour tout kÎ ? , a | (b-ka).
Soit k Î ? si a | (b-ka) alors il existe q Î ? tel que b-ka = qa d"où b = (q +k) a, donc a | b.
Par conséquent, a | b si et seulement si pour tout k de ?, a | (b-ka).2) D"après la question 1) (a-5) | (a + 7) Û a-5 | (a + 7)- (a-5) ) Û a-5 |12 ;
d"où a-5 Î {1,2,3,4,6,12,-1,-2,-3,-4,-6,-12} donc aÎ {6,7,8,9,11,17,4,3,2,1,-1,-7}.Exercice 2 :
Déterminer les entiers naturels n tels que : n -1 divise n+3.Une solution :
Si n -1 divise n+3 alors n -1 divise -( n -1 ) + n+3 d"où n -1 divise 4, donc n-1 =1 ou n-1= 2 ou n-1 = 4 n =2 ou n = 3 ou n =5. Les entiers naturels n tels que : n -1 divise n+3 sont : 2, 3 et 5.Exercice 3 :
1) Résoudre dans IN
2 l"équation : x2 - y2 = 13.
2) Résoudre dans ?2 l"équation : 2x3 + xy -11 = 0
Une solution :
1) x2 - y2 = 13 Û (x-y)(x +y) = 13
Û ( (x-y)(x +y) = 13, x-y | 13 et x + y | 13 ) Les diviseurs de 13 sont 1, 13 et leurs opposés.Par conséquent :
x2 - y2 = 13 Û ou ou ou
Dans ?2, le premier et les deux derniers systèmes n"ont pas de solutions x2 - y2 = 13 Û S = {(7, 6)}
2) 2x3 + xy -11 = 0 Û x(2x2 +y) =11Û ( x(2x2 +y) =11, x |11 et 2x2 +y | 11 )
Les diviseurs de 11 sont 1, 11, et leurs opposés ;Par conséquent :
2x3 + xy -11 = 0 Û ou ou ou
S= { (1, 9), (11, -241), (-1, -13), (-11, -243) }
Exercice 4 :
Montrer que
? n Î ? 25n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29.Une solution :
20+ 1 + 30 + 3 = 29 est un multiple de 29 ;
Supposons que 2
5n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29 pour un entier naturel n ; c"est à dire que
25n+ 1 + 3n + 3 = 29k, kÎ ?.
Démontrons que 2
5(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 est un multiple de 29.
25(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 = 25n+ 1´25 + 3n + 3 ´3 = 25n+ 1´25 + 3´ (29k-25n+ 1)
= 25n+1( 32-3) + 3´ 29k = 29(25n+1 + 3k) ; d"où 25(n+ 1)+1 + 3(n +1)+ 3 est un multiple de 29.
Par conséquent : ? n Î ? 25n+ 1 + 3n + 3 est multiple de 29.Exercice 5 :
On considère la fraction q
n=7 -n19+n ; n étant un entier naturel strictement supérieur à 7.
1) Comment choisir n pour que q
n soit simplifiable ?2) Déterminer n pour que q
n soit égale à un entier naturel.Une solution :
1) q n= 1 + 7-n26, nÎ?, n >7
q n est simplifiable si 26 et n-7 ont des diviseurs en communs distincts de 1. Les diviseurs de 26 distincts de 1 sont : 2, 13 et 26.Par conséquent : q
n est simplifiable si et seulement si : 2 | n-7 ou 13| n-7 ou 26| n-7 ;Par suite q
n est simplifiable si et seulement si n = 2k +7 ou n = 13k +7 ou n= 26k + 7, k Î?*. 2) q n est un entier naturel si et seulement si n-7 divise 26 q n Î? Û ( n-7 = 1 ou n-7 = 2 ou n-7 = 13 ou n-7 =26 )Û n = 8 ou n = 9 ou n = 20 ou n = 33
Par conséquent : q
n Î? Û nÎ { 8, 9, 20, 33 }.Exercice 6 :
Soit n un entier naturel non nul. Déterminer le reste de la division euclidienne de : 1) n2 + 2n par n + 1.
2) 7n +15 par 3n+ 2.
Une solution :
1) n2 +2n = n(n+1) + n avec 0£ n < n+1. Quel que soit n Î?* , 0 £ n < n+1,
donc n est le reste de la division euclidienne de n2 + 2n par n + 1.
2) 7n + 15 = 2(3n +2) +n +11, avec 0£ n + 11 < 3n+2
n + 11 < 3n+2 Û n > 2 9 ; d"où si n ³ 5 alors le reste de la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2 est n +11. Si 0 < n £ 4 alors n + 11 ³ 3n+2 . On augmente le quotient d"une unité du diviseur : 7n + 15 = 3(3n +2) +n +11-3n-2 =3(3n +2)-2n + 9 avec 0£ -2n + 9 < 3n+20£ -2n + 9 < 3n+2 Û ( n £
29 et n >
57) Û nÎ {2, 3, 4}.
Par conséquent, si nÎ{2, 3, 4}alors le reste de la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2est -2n + 9.
Si n = 1 alors On augmente le quotient d"une unité du diviseur, dans la division euclidienne précédente.
7n + 15 = 4(3n +2)-2n + 9-3n-2 = 4(3n +2) -5n+7 avec 0£ -5n+7 < 3n+2
0£ -5n+7 < 3n+2 Û ( n £
57 et n >
85) Û n = 1
Si n=1 alors le reste est -5n+7 =2
Remarque : On pourrait pour 0< n £ 4 faire la division euclidienne de 7n +15 par 3n+ 2 en remplaçant n
respectivement par 1 ; 2 ; 3 et 4.PGCD - PPCM
Exercice 1:
Calculer pour tout entier naturel n non nul :
1) PGCD (n, 2n+1) et PPCM (n, 2n+1) 2) PGCD (2n+2,4n+2) et ¨PPCM (2n+2,4n+2).
Une solution :
1)-2´n +1´(n +1) =1. D"où n et 2n + 1 sont premiers entre eux d"après le théorème de Bézout.
Par suite PGCD (n, 2n+1) =1 et PPCM (n, 2n+1) = n(2n+1).2) PGCD (2n+2,4n+2) = PGCD (2(n+1),2(2n+1)) = 2 PGCD (n+1,2n+1)
On a : 2´(n +1) -1´(2n +1) = 1. On en déduit d"après le théorème de Bézout que n+1 et 2n+1 sont
premiers entre eux. Par suite PGCD (2n+2,4n+2) = 2´1 = 2 et PPCM (2n+2,4n+2) = 2(n +1)(2n +1).Exercice 2 :
Déterminer le plus petit entier naturel dont les restes sont 5 ; 13 ; 17 lorsqu"on le divise respectivement
par 15 ; 23 ; 27.Une solution :
Soit N cet entier naturel. Il existe des entiers relatifs q1, q2 et q3 tels que :N = 15q1 + 5, N = 23 q2 + 13 et N = 27q3 + 17 ;
d"où N + 10 = 15(q1 + 1), N + 10 = 23(q2 + 1) et N + 10 = 27(q3 + 1).Il en résulte que N + 10 est multiple commun de 15, 23 et 27. N étant le plus petit de ces multiples alors
N + 10 = PPCM (15, 23, 27) = 27´23´5 = 3105 ; d"où N = 3105 -10 = 3095.Exercice 3:
Le nombre d"élèves d"une classe est inférieur à 40. Si on les regroupe par 9 ou par 12, il en reste 1 chaque
fois. Quel est ce nombre ?Une solution :
Soit n ce nombre.
n = 9 q1 +1 et n = 12 q2 +1 ; d"où n-1 est un multiple commun à 9 et 12, inférieur à 40.Par conséquent : n-1 = 36, d"où n = 37.
Exercice 4 :
Deux entiers a et b ont pour PGCD, d.Quel est le PGCD des entiers x = 13a+ 5b et y = 5a + 2b.11x = - 16y (1)
16 | 11x (2)
Une solution :
PGCD ( a, b) = d. Posons PGCD(x,y) = D.
Tout diviseur commun à a et b divise x et y qui sont des combinaisons linéaires de a et b. Par conséquent, d est diviseurs commun de x et y, d"où d £ D. On déduit de x et y que a= 2x -5y et b = -5x+13y.Tout diviseur commun à x et y divise a et b qui sont des combinaisons linéaires de x et y ; d"où D £ d.
Par conséquent d = D. Donc PGCD(x, y) =d.
Equations diophantiennes du type : ax ++++by ==== c Exercice 1 : Résoudre dans ?2 l"équation : 11x + 16y = 0Une solution :
11x + 16y = 0 Û 11x= - 16y Û
16 | 11x et PGCD(11, 16) = 1, d"après le théorème de Gauss 16 divise x ; donc x = 16k , kÎ ?.
On déduit de (1) que y = -11k. S= {(16k, -11k), kÎ ? }Exercice 2 :
1) a) Montrer que l"équation 59x + 68y = 1 admet une solution dans ?2.
b) Résoudre dans ?2 l"équation 59x + 68y = 1.2) Résoudre dans ?2 l"équation 59x + 68y = 2.
Une solution :
1)a) PGCD(59, 68) = 1, d"après le théorème de Bézout il existe deux entiers relatifs u et v tels que
59u + 68v =1. D"où (u, v) est une solution de l"équation ; donc l"équation admet une solution.
b) Recherche d"une solution particulière par l"algorithme d"Euclide : a b q r Formons r = a - bq68 59 1 9 a = b +9, 9= a-b
59 9 6 5 b = 6(a-b) +5 ; 5 = 7b -6a
9 5 1 4 a-b =-6a + 7b +4 ; 4 = 7a -8b
5 4 1 1 7b -6a =7a -8b + 1
On en déduit que -13a + 15b =1 et que le couple (15,-13) est solution de l"équation.59x +68y =1.
59x +68y =1Û 59(x-15) + 68(y +13) = 0
Û 59(x-15) = - 68(y +13) Û
68| 59(x-15) et PGCD(68, 59) = 1, d"après le théorème de Gauss 68 | x-15
68 | x-15 donc x = 68k + 15 , kÎ
En remplaçant x dans (*) on obtient : y = -59k - 13.S = {(68k+15, -59k - 13), kÎ}
2) Le couple (15,-13) est solution de l"équation 59x +68y =1. On en déduit que le couple (30, -26) est
solution de l"équation 59x +68y =2 (E). (E) Û59(x-30) =-68(y+26) Û59(x-15) = - 68(y +13) (*)
68| 59(x-15)
59(x-30) =-68(y+26) (**)
68| 59(x-30)
68| 59(x-30) et PGCD(68, 59) = 1, d"après le théorème de Gauss 68 | x-30
68 | x-30 donc x = 68k + 30 , kÎ
En remplaçant x dans (**) on obtient : y = -59k - 26.S = {(68k+30, -59k - 26), kÎ}.
Congruence
Exercice 1 :
1) Vérifier que 1000 º1 [37] et en déduire que pour tout entier naturel n, on a 103n º 1 [37].
2) En déduire le reste de la division euclidienne de 1 001 037 par 37.
Une solution :
1) 1000 = 27´37 + 1 d"où 1000 º1 [37].
1000= 103 , 103 d"où pour tout entier naturel n (103)n º1n [37] donc 103n º 1 [37].
2) 1001037 = 106 + 103 + 37
D"après 1) 10
6 º 1 [37] , 103º 1 [37] et 37 º 0 [37].
Par addition 10
6 + 103 + 37 º 2 [37] ; donc 1001037º 2 [37]. Par conséquent 2 est le reste de la division
de 1001037 par 37.Exercice 2 :
1) Montrer que 67
89-1 est un multiple de 11.
2) Pour quelles valeurs de n entier naturel, 5
2n + 5n + 1 est un multiple de 3 ?
Solution
1) 67 = 6´11 + 1 d"où 67 º1 [11] , 6789 º189 [11] et 6789 º1 [11] ; donc 6789 -1 est un multiple de 11.
2) 5 º -1 [3] d"où 52 º1 [3].
On en déduit que pour tout entier naturel n : 5 n º (-1)n [3] et 52n º1 [3]. et 1 º1 [3] ; d"où par addition 52n + 5n +1 º 2+ (-1)nSi n est pair alors 2+ (-1)n = 3 º0 [3].
Si n est impair alors 2+ (-1)n = 2 º2 [3].
Par conséquent 5
2n + 5n +1 est un multiple de 3 si n est pair.
Exercice 3 :
Démontrer que le carré de tout entier naturel est de la forme 5n-1 ou 5n ou 5n + 1, n entier naturel.
Une solution :
Soit NÎՐ. N º 0 [5] ou N º 1 ou N º 2 [5] ou N º 3 [5] ou N º4 [5].Si N º 0 [5] alors N2 º 0 [5]
Si N º 1 [5] alors N2 º 1 [5]
Si N º 2 [5] alors N2 º 4 [5] et 4 º -1 [5] d" où N2 º -1 [5] Si N º 3 [5] alors N2 º 9 [5] et 9 º -1 [5] d"où N2 º -1 [5] Si N º 4 [5] alors N2 º 16 [5] et 16 º 1 [5] d"où N2 º 1 [5] ; donc N2 º 0 [5] ou N2 º 1 [5] ou N2 º -1 [5]
Par conséquent il existe n entier naturel tel que N = 5n ou N = 5n +1 ou N = 5n-1, donc le carré de tout
entier naturel est de la forme 5n-1 ou 5n ou 5n + 1.Exercice 4 :
Résoudre dans : 1) 14x º 3 [4] ; 2) 3x º 1 [5]5x º 2 [7]
Une solution :
1) 14x º 3 [4] Û 14x + 4k =3, kÎ .
Û2(7x +2k) = 3
?2 divise 3, ce qui est faux.S = AE ;
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