Le produit scalaire PDF Le vecteur nul est donc

Le produit scalaire

Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur. Application. Dire que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires équivaut à dire que AB? . CD=

1 Produit scalaire et orthogonalité

Définition 1.2. Deux vecteurs sont dits orthogonaux s'ils sont conjugués : X.Y = 0. Page 2. 2. Théor`eme 1.2. Le vecteur nul est le seul vecteur qui

Calcul vectoriel – Produit scalaire

Soit u et v deux vecteurs du plan. u et v sont orthogonaux si et seulement si : ?. u v = 0. Le vecteur nul 0 est orthogonal à tous les vecteurs

PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE

Donc est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABG) il est donc normal à (ABG). Méthode : Déterminer un vecteur normal à un plan. Vidéo https://youtu.

Chapitre 9 : - PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ

(ii) Tous les vecteurs de E sont orthogonaux au vecteur nul : {0}? = E. (iii) Seul le vecteur nul est orthogonal à tous les vecteurs de E : E? = {0}. P 3.14

Produit scalaire espaces euclidiens

E est un R-espace vectoriel muni d'un produit scalaire (·

Produit scalaire dans le plan Fiche

Il faut connaître trois produits scalaires particuliers : – si l'un des deux vecteurs est nul leur produit scalaire est nul ;. – deux vecteurs sont orthogonaux

PRODUIT SCALAIRE

Définition : Soit <? et ? deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de II. Produit scalaire et orthogonalité. 1) Vecteurs orthogonaux.

PRODUIT SCALAIRE

Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de ...

PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques

1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs !"? et (? sont orthogonaux si et seulement si !"? (?=0 Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul la démonstration est évidente Supposons le contraire !"? (?=0 ?!"??×?(??×- (!"? ; (?)=0 - (!"? ; (?)=0 Les vecteurs !"? et (? sont orthogonaux

Chapitre 5 : Produit scalaire et norme

On appelle produit scalaire une forme bilinéaire symétrique définie et positive Notations du produit scalaire : ?()uv()u v uv uv GGGGGGGG • Dans toute la suite du cours nous adopterons la notation u•v GG Chapitre 5 : Produit scalaire et Orthogonalité - page 2/14 -

Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes - F2School

le produit scalaire de deux vecteurs !u et !v est le réel noté !u !v dé?ni par :!u !v = 1 2 k!u +!v k2 k !u k2 k !v k2 1-1 Produit scalaire et orthogonalité PROPRIÉTÉ Dire que deux vecteurs !u et !v sont orthogonaux équivaut à dire que !u !v =0 1-2 Règles de calcul PROPRIÉTÉS Pour tous vecteurs !u !v et !w : !u !v =!v !u ! 0 !u

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES - Meabilis

Exprimer en fonction de a les produits scalaires suivants : AB AC?; AC CB? AB AH? AH BC? et OA OB? Exercice n° 4 u et v sont deux vecteurs de même norme Démontrer que les vecteurs u v+ et u v? sont deux vecteurs orthogonaux Exercice n° 5 AB et C sont trois points du plan tels que AB=3 AC=2 et BAC = 3 ? radians

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D´e?nition 4 6 1 On dit que deux vecteurs de Rn sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul Exemple 4 6 1 a) (1?1)(11) sont orthogonaux b) (?101)(010)(101) sont mutuellement orthogonaux Proposition 4 6 1 Un ensemble de vecteurs non nuls et mutuellement orthogonaux est toujours lin´eairement ind´ependant

Comment savoir si un vecteur est orthogonal ?

Deux vecteurs vec {u} u et vec {v} v sont orthogonaux si et seulement si : vec {u}.vec {v}=0 u.v = 0 Si l'un des vecteurs est nul le produit scalaire est nul et la propriété est vraie puisque, par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Si les deux vecteurs sont non nuls, leurs normes sont non nulles donc :

Comment appelle-t-on un produit scalaire?

On appelle produit scalairede !"? par (?, noté !"?.(?, le nombre réel défini par : - !"?.(?=0, si l'un des deux vecteurs !"? et (? est nul - !"?.(?=?!"??×?(??×,-.(!"? ; (?), dans le cas contraire. !"?.(? se lit "!"? scalaire (?".

Quel est le chapitre de produits scalaires et orthogonalité ?

Chapitre 5 : Produit scalaire et Orthogonalité - page 6/14 - Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV2 – UCBL S. Charles (17/02/03) ......................................................................................................................................................................................................

Quelle est la norme d'un vecteur?

1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur !"? et deux points A et B tels que !"?=%&"""""?. La norme du vecteur !"?, notée ?!"??, est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit !"? et (? deux vecteurs du plan. On appelle produit scalairede !"? par (?, noté !"?.(?, le nombre réel défini par :

Le produit scalaireLe produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel que l'on peut calculer de diverses façons.

C'est cette diversité qui en fait un outil puissant.A Expressions du produit scalaire1. DéfinitionSoient u et v deux vecteurs.Le produit scalaire des vecteurs

u et v est le nombre réel u⋅v=1

2 ∥u∥2 ∥v∥2 -∥v-u∥2 Conséquences•Si A, B et C sont trois points tels que

AB=u et AC=v, on a BC=BAAC=v-u, d'où l'égalité AB⋅AC=1

2AB2 AC2 -BC2.

u⋅u=u2 =∥u∥2; u2 est appelé carré scalaire de u.

0 ⋅u=02. Avec des coordonnéesDans le plan muni d'un repère orthonormal O,i,j, on considère les vecteurs ux,y et vx',y'. On a alors u⋅v=xx'yy'.

DémonstrationIl suffit d'appliquer la formule

∥u∥=x2 y2 pour un vecteur ux,y.

3. Formule du cosinusSoient

u et v deux vecteurs non nuls.On a DémonstrationOn considère un repère orthonormal direct

O,i,j et les points A et B tels que OA=u=∥u∥i

OB=v. Les coordonnées polaires de B sont ∥v∥,u,v. On a donc :

xu=∥u∥, yu=0, xv=∥v∥cosu,v et yv=∥v∥sinu,v et on en déduit que

ConséquenceSi A, B et C sont trois points distincts,

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B Propriétés du produit scalaire1. Règles de calculQuels que soient les vecteurs u, v, w et les réels a et b :

au⋅bv=abu⋅vDémonstrationUtiliser la formule du produit scalaire utilisant des coordonnées.2. Vecteurs colinéairesSi

u et v sont colinéaires de même sens, alors u⋅v=∥u∥⋅∥v∥Si

u et v sont colinéaires de sens opposés, alors u⋅v=-∥u∥⋅∥v∥DémonstrationSi

u et v sont colinéaires de même sens, u,v=0, donc cosu,v=1 et u⋅v=∥u∥⋅∥v∥Si

u et v sont colinéaires de sens opposés, u,v=, donc cosu,v=-1 et u⋅v=-∥u∥⋅∥v∥3. Vecteurs orthogonauxConsidérons deux vecteurs

u et v tels que u⋅v=0.

On a alors

∥u∥⋅∥v∥⋅cosu,v=0 et donc 3 possibilités : 1.

∥u∥=0 , c'est à dire u=02. ∥v∥=0 , c'est à dire v=03. cosu,v=0, c'est à dire que u,v=

2 ou u,v=-

On dit que deux vecteurs

u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire

u⋅v est nul.Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur. Application Dire que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires équivaut à dire que

AB⋅CD=0.

4. Utiliser une projection orthogonaleOn considère trois points A, B et C. On appelle H la projection orthogonale de C sur la

droite (AB). On a alors :

DémonstrationOn a :

AB⋅AC=AB⋅AHHC=AB⋅AHAB⋅HC. Or les vecteurs AB et HC sont

orthogonaux, donc AB⋅HC=0, ce qui donne AB⋅AC=AB⋅AH.

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