[PDF] Démonstrations exigibles au bac

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Démonstrations exigibles au bac

On donne ici les11démonstrations de cours répertoriées comme exigibles dansle programme officiel. Toutes ces

démonstrations peuvent donner lieu à une " restitution organisée de connaissances ».

I - Suites

Enoncé I-1.

Soient(un)n?Net(vn)n?Ndeux suites telles que pour tout entier naturelnà partir d"un certain rang,un?vnet

d"autre part limn→+∞un= +∞.

Montrer que : lim

n→+∞vn= +∞.

Démonstration.

Il s"agit de montrer que tout intervalle de la forme]A,+∞[, avecAréel, contient tous les termes de la suite(vn)n?Nà partir d"un certain rang.SoientAun réel puisI=]A,+∞[.

Il existe un rangn0tel que pour toutn?n0,un?vn.

D"autre part, limn→+∞un= +∞. Donc il existe un rangn1tel que pour toutn?n1,unappartient à l"intervalleI.

SoitNle plus grand des deux entiersn0etn1.

Soitn?N. Puisquen?N, on an?n0et doncvn?un. Puisquen?N, on an?n1et doncunappartient àI ou encoreun> A.

Mais alors, pour tout entier natureln?N, on avn?un> Aet doncvnappartient à l"intervalleI. Ainsi, tous les

termes de la suite(vn)n?Nsont dansIà partir du rangN.

On a montré que tout intervalle de la forme]A,+∞[contient tous les termes de la suite(vn)n?Nà partir d"un certain

rang et donc limn→+∞vn= +∞.

Enoncé I-2.(inégalité deBernoulli)

Soitaun réel positif.

Montrer que : pour tout entier natureln,(1+a)n?1+na.

Démonstration.

Soitaun réel positif. Montrons par récurrence que pour tout entier natureln,(1+a)n?1+na. •(1+a)0=1et1+0×a=1. Comme1?1, l"inégalité est vraie quandn=0. •Soitn?0. Supposons que(1+a)n?1+naet montrons que(1+a)n+1?1+ (n+1)a. (1+a)n+1= (1+a)n×(1+a) ?(1+na)(1+a) (par hypothèse de récurrence et car1+a?0) =1+na+a+na2=1+ (n+1)a+na2 ?1+ (n+1)a(carna2?0). On a montré par récurrence que pour tout entier natureln,(1+a)n?1+na. http ://www.maths-france.fr 1c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Enoncé I-3.

Soitqun réel strictement plus grand que1.

Montrer que : lim

n→+∞qn= +∞. Pré-requis.0n suppose connu les résultats suivants •(l"inégalité deBernoulli:) pour tout réel positifaet tout entier natureln,(1+a)n?1+na.

•si(un)et(vn)sont deux suites telles que, à partir d"un certain rang, on aun?vnet d"autre part,

limn→+∞un= +∞, alors on a limn→+∞vn= +∞.

Démonstration.

Soitqun réel strictement plus grand que1. Posonsa=q-1de sorte queaest un réel strictement positif et que

q=1+a.

Montrons alors que lim

n→+∞qn= +∞.

D"après le premier prérequis, pour tout entier natureln,(1+a)n?1+naou encoreqn?1+na. Puisquea > 0,

limn→+∞(1+an) = +∞.

Ainsi, pour tout entier natureln,qn?1+naet limn→+∞(1+na) = +∞. D"après le deuxième pré-requis, on en déduit

que lim n→+∞qn= +∞.

II - Fonction exponentielle

Enoncé II-1.

Pré-requis.On suppose connu le fait qu"il existe une fonctionfdérivable surRtelle quef?=fetf(0) =1.

Soitgune fonction dérivable surRtelle queg?=getg(0) =1. On veut montrer queg=f(et donc la fonctionfest

unique).

1)Pour tout réelx, on poseh(x) =f(x)f(-x). Montrer quehest constante surR. En déduire que la fonctionfne

s"annule pas surR.

2)Pour tout réelx, on posek(x) =g(x)

f(x). Montrer que la fonctionkest constante surR. En déduire queg=f.

Démonstration.

1)Pour tout réelx, posonsh(x) =f(x)f(-x). La fonctionhest dérivable surRen tant que produit de fonctions

dérivables surRet pour tout réelx, h

?(x) =f?(x)×f(-x) +f(x)×(f(-x))?=f?(x)×f(-x) +f(x)×(-x)?×f?(-x) =f?(x)f(-x) -f(x)f?(-x)

=f(x)f(-x) -f(x)f(-x) (carf?=f) =0.

Ainsi, la dérivée de la fonctionhest nulle surRet donchest constante surR. On en déduit que pour tout réelx,

h(x) =h(0) = (f(0))2=1. On a montré que pour tout réelx, on af(x)×f(-x) =1.

En particulier, la fonctionfne peut s"annuler surRcar s"il existe un réelx0tel quef(x0) =0, alorsf(x0)×f(-x0) =

0?=1.

2)Pour tout réelx, posonsk(x) =g(x)

f(x). La fonctionkest dérivable surRen tant que quotient de fonctions dérivables surRdont le dénominateur ne s"annule pas surR. De plus, pour tout réelx, k ?(x) =g?(x)f(x) -g(x)f?(x) (f(x))2=g(x)f(x) -g(x)f(x)(f(x))2=0. La dérivée dekest nulle et donckest constante surR. On en déduit que pour tout réelx, http ://www.maths-france.fr 2 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés. k(x) =k(0) =g(0)f(0)=11=1.

Ainsi, pour tout réelx,g(x)

f(x)=1ou encore, pour tout réelx,f(x) =g(x). On a montré queg=f.

Enoncé II-2.

Montrer que :

1)limx→+∞ex= +∞(Indication. En étudiant la fonctionf:x?→ex-xsur[0,+∞[, montrer que pour tout réel positif

x, on aex?x).

2)limx→-∞ex=0.

Démonstration.

1)Pour tout réelxpositif, posonsf(x) =ex-x. La fonctionfest dérivable sur[0,+∞[en tant que différence de deux

fonctions dérivables sur[0,+∞[et pour tout réel positifx, on a f ?(x) =ex-1.

On sait que pour tout réel positifx,ex?1et donc la fonctionf?est positive sur[0,+∞[. On en déduit que la fonction

fest croissante sur[0,+∞[.

Puisque la fonctionfest croissante sur[0,+∞[, pour tout réel positifx, on af(x)?f(0)ou encoref(x)?1.

En particulier, pour tout réel positifx,f(x)?0ou encoreex-x?0ou enfinex?x.

Ainsi, pour tout réel positifx,ex?x. D"autre part, limx→+∞x= +∞. On en déduit que limx→+∞ex= +∞.

2)Puisque limX→+∞eX= +∞, on a encore limX→+∞1

eX=0. En posantX= -x, on obtient alors lim eX=0. http ://www.maths-france.fr 3c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

III - Géométrie dans l"espace

Enoncé III-1.

Montrer qu"une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce

plan.

Pré-requis.On suppose connu la définition de l"othogonalité d"une droite et d"un plan : une droite est orthogonale à

un plan si et seulement si elle est orthogonale à toute droitede ce plan.

Démonstration.

SoitPun plan de l"espace. SoientDetD?deux droites sécantes du planPde vecteurs directeurs respectifs-→uet-→u?. PuisqueDetD?sont sécantes, les vecteurs-→uet-→u?ne sont pas colinéaires.

SoitΔune droite de l"espace. Soit-→vun vecteur directeur de la droiteΔ.

•Si la droiteΔest orthogonale au planP,Δest orthogonale à toute droite du planPet en particulierΔest

orthogonale aux droitesDetD?.

•Réciproquement, supposons que la droiteΔsoit orthogonale aux droitesDetD?. SoitD??une droite du planPde

vecteur directeur directeur-→u??.

Puisque-→uet-→u?sont deux vecteurs non colinéaires du planPet que-→u??est un vecteur du planP, on sait qu"il

existe deux réelsλetμtels que-→u??=λ-→u+μ-→u?.

Puisque la droiteΔest orthogonale aux droitesDetD?, on a-→u.-→v=0et-→u?.-→v=0. Mais alors

-→u??.-→v=?

λ-→u+μ-→u??

Ainsi, un vecteur directeur de la droiteΔest orthogonal à un vecteur directeur de la droiteD??et donc la droiteΔ

est orthogonale à la droiteD??.

On a montré que la droiteΔest orthogonale à toute droite du planPet donc que la droiteΔest orthogonale au plan

P.

Enoncé III-2.

Caractériser les points d"un plan de l"espace par une relationax+by+cz+d=0aveca,b,ctrois nombres réels non

tous nuls.

Démonstration.

L"espace est rapporté à un repère orthonormé?

O,-→i ,-→j ,-→k?

•SoitPun plan. Montrons quePadmet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d=0oùa,b,csont

trois nombres réels non tous nuls.

SoientA(xA,yA,zA)un point dePet-→n(a,b,c)un vecteur normal au planP. Par définition, le vecteur-→nn"est

pas nul et donc l"un au moins des trois réelsaouboucn"est pas nul.

SoitM(x,y,z)un point de l"espace.

M?P?--→AM.-→n=0

?a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) =0 ?ax+by+cz-axA-byA-czA=0.

En posantd= -axA-byA-czA, on obtient une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d=0oùa,betc

sont trois réels non tous nuls.

•Réciproquement, soitPl"ensemble d"équationax+by+cz+d=0aveca,b,ctrois nombres réels non tous nuls.

Montrons quePest un plan.

Sia?=0, le point de coordonnées?

-d a,0,0? appartient àP, sib?=0, le point de coordonnées?

0,-db,0?

appartient

àPet sic?=0, le point de coordonnées?

0,0,-d

c? appartient àP. http ://www.maths-france.fr 4 c?Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits réservés.

Dans tous les cas, l"ensemblePn"est pas vide. SoitA(xA,yA,zA)un point dePet soit-→nle vecteur(a,b,c). Puisque

l"un au moins des trois réelsaouboucn"est pas nul, le vecteur-→nn"est pas nul. D"autre part,axA+byA+czA+d=0et doncd= -axA-byA-czA.

SoitM(x,y,z)un point de l"espace.

M?P?ax+by+cz+d=0?ax+by+cz-axA-byA-czA=0

?a(x-xA) +b(y-yA) +c(z-zA) =0 --→AM.-→n=0.

Ceci montre quePest la plan passant parAet de vecteur normal-→net en particulier quePest un plan.

IV - Probabilités

Enoncé IV-1.

SoientAetBdeux événements indépendants.

Montrer que les événementsAet

Bsont indépendants.

Démonstration.

Puisque les événementsAetBsont indépendants, on ap(A∩B) =p(A)×p(B). D"après la formule des probabilités totales,p(A) =p(A∩B) +p?A∩

B?et donc

p ?A∩ B?=p(A) -p(A∩B) =p(A) -p(A)×p(B) =p(A)×(1-p(B)) =p(A)×p?B?.

On a montré quep?A∩

B?=p(A)×p?B?et donc les événementsAetBsont indépendants.

Enoncé IV-2.

1)Calculer la dérivée de la fonctiong:x?→?

-x-1λ? e -λx.

2)Montrer que l"espérance de la loi exponentielle de paramètreλ > 0est1

Pré-requis.L"espérance d"une variable aléatoireXsuivant une loi exponentielle de paramètreλ > 0est

E(X) =?

0 x×λe-λxdx=limt→+∞? t 0 x×λe-λxdx.

Démonstration.

1)Pour tout réel positifx,

g ?(x) = -e-λx+? -x-1 ×?-λe-λx?= -e-λx+λxe-λx+e-λx=λxe-λx. Donc, une primitive sur[0,+∞[de la fonctionx?→λxe-λxest la fonctionx?→? -x-1 e -λx.

2)Soittun réel positif.

t 0 x×λe-λxdx=?? -x-1quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

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