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TSChapitre 17

EXERCICES DE BAC: LOIS UNIFORME ET EXPONENTIELLE

NOUVELLECALÉDONIE NOVEMBRE20174 points

Sofia souhaite se rendre au cinéma. Elle peut y aller à vélo ou en bus.

PartieA : Enutilisant le bus

OnsupposedanscettepartiequeSofiautiliselebuspourserendreaucinéma. Laduréedutrajetentresondomicile

et le cinéma (exprimée en minutes) est modélisée par la variable aléatoireTBqui suit la loi uniforme sur [12 ; 15].

1.Démontrer que la probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes est de2

3.

2.Donner la durée moyenne du trajet.

PartieB : Enutilisant sonvélo

On suppose à présent que Sofia choisit d"utiliser son vélo.

La durée du parcours (exprimée en minutes) est modélisée parla variable aléatoireTvqui suit la loi normale d"es-

péranceμ=14 et d"écart-typeσ=1,5.

1.Quelle est la probabilité que Sofia mette moins de 14 minutes pour se rendre au cinéma?

2.Quelle est la probabilité que Sofia mette entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma? On arrondira le

résultat à 10 -3.

PartieC : En jouantaux dés

Sofia hésite entre le bus et le vélo. Elle décide de lancer un dééquilibré à 6 faces.

Si elle obtient 1 ou 2, elle prend le bus, sinon elle prend son vélo. On note :

—Bl"évènement "Sofia prend le bus»;

—Vl"évènement "Sofia prend son vélo»; —Cl"évènement "Sofia met entre 12 et 14 minutes pour se rendre aucinéma».

1.Démontrer que la probabilité, arrondie à 10-2, que Sofia mette entre 12 et 14 minutes est de 0,49.

2.Sachant que Sofia a mis entre 12 et 14 minutes pour se rendre au cinéma, quelle est la probabilité, arrondie

à 10

-2, qu"elle ait emprunté le bus?

AMÉRIQUE DU SUD NOVEMBRE20196 points

Les partiesA, BetCpeuvent être traitées de façon indépendante. Dans tout l"exercice, les résultats seront arrondis à10-3.

Leroller devitesse estunsportquiconsiste àparcourirunecertainedistanceleplusrapidement possible enrollers.

Dans le but de faire des économies, un club de roller de vitesse s"intéresse à la gestion de ses chronomètres et des

roulements de ses rollers.

PartieA :

On noteTla variable aléatoire égale à la durée de vie, en mois, d"un chronomètre et on admet qu"elle suit une loi

exponentielle de paramètreλ=0,055 5.

1.Calculer la durée de vie moyenne d"un chronomètre (arrondieà l"unité).

2.Calculer la probabilité qu"un chronomètre ait une durée de vie comprise entre un et deux ans.

3.Un entraîneur n"a pas changé son chronomètre depuis deux ans. Quelle est la probabilité qu"il soit encore

en état de fonctionner au moins un an de plus?

PartieB :

Ce club fait des commandes groupées de roulements pour ses adhérents auprès de deux fournisseurs A et B.

1

— Le fournisseur A propose des tarifs plus élevés mais les roulements qu"il vend sont sans défaut avec une

probabilité de 0,97.

— Le fournisseur B propose des tarifs plus avantageux mais ses roulements sont défectueux avec une probabi-

lité de 0,05. On choisit au hasard un roulement dans le stock du club et on considère les évènements :

A: "le roulement provient du fournisseur A»,

B: "le roulement provient du fournisseur B»,

D: "le roulement est défectueux».

1.Le club achète 40% de ses roulements chez le fournisseur A et le reste chez le fournisseur B.

a.Calculer la probabilité que le roulement provienne du fournisseur A et soit défectueux. b.Le roulement est défectueux. Calculer la probabilité qu"ilprovienne du fournisseur B.

2.Si le club souhaite que moins de 3,5% des roulements soient défectueux, quelle proportion minimale de

roulements doit-il commander au fournisseur A?

PartieC :

Le diamètre intérieur standard d"un roulement sur une roue de roller est de 8 mm.

OnnoteXla variablealéatoiredonnant en mm lediamètre d"un roulement et onadmet queXsuit une loi normale

d"espérance 8 et d"écart type 0,1. Un roulement est dit conforme si son diamètre est compris entre 7,8 mm et 8,2 mm.

1.Calculer la probabilité qu"un roulement soit conforme.

2.Le fournisseur B vend ses roulements par lots de 16 et affirme que seulement 5% de ses roulements sont

non conformes.

Le président du club, qui lui a acheté 30 lots, constate que 38roulements sont non conformes. Ce contrôle

remet-il en cause l"affirmation du fournisseur B? On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.

3.Lefabricantderoulements decefournisseur décided"améliorer laproductiondeses roulements. Le réglage

de la machine qui les fabrique est modifié de sorte que 96% des roulements soient conformes. On suppose

qu"après réglage la variable aléatoireXsuit une loi normale d"espérance 8 et d"écart-typeσ.

a.Quelle est la loi suivie parX-8

b.Déterminerσpour que le roulement fabriqué soit conforme avec une probabilité égale à 0,96.

POLYNÉSIE JUIN20195 points

Les probabilités demandées seront arrondies à 0,01. Un commerçant vient de s"équiper d"un distributeur de glaces à l"italienne.

1.La durée, en mois, de fonctionnement sans panne de son distributeur de glaces à l"italienne est modélisée

par une variablealéatoireXquisuit une loi exponentielle deparamètreλoùλestun réelstrictement positif

(on rappelle que la fonctionfde densité de la loi exponentielle est donnée sur [0 ;+∞[ parf(x)=λe-λx.

Le vendeur de l"appareil assure que la durée moyenne de fonctionnement sans panne de ce type de distri-

buteur, c"est-à-dire l"espérance mathématique deX, est de 10 mois. a.Justifier queλ=0,1.

b.Calculer la probabilité que le distributeur de glaces à l"italienne n"ait connu aucune panne pendant les

six premiers mois.

c.Sachant que le distributeur n"a connu aucune panne pendant les six premiers mois, quelle est la proba-

bilité qu"il n"en connaisse aucune jusqu"à la fin de la première année? Justifier.

d.Le commerçant remplacera son distributeur de glaces à l"italienne au bout d"un tempst, exprimé en

mois, qui vérifie que la probabilité de l"évènement (X>t) est égale à 0,05. Déterminer la valeur detarrondie à l"entier. 2

2.La notice du distributeur de glaces précise que le distributeur fournit des glaces à l"italienne dont la masse

est comprise entre 55 g et 65 g.

On considère la variable aléatoireMreprésentant la masse, en grammes, d"une glace distribuée.On admet

queMsuit la loi normale d"espérance 60 et d"écart-type 2,5.

a.Calculer la probabilité que la masse d"une glace à l"italienne choisie au hasard parmi celles distribuées

soit comprise entre 55 g et 65 g.

b.Déterminer la plus grande valeur dem, arrondie au gramme près, telle que la probabilitéP(M?m) soit

supérieure ou égale à 0,99.

3.Le distributeur de glaces à l"italienne permet de choisir unseul des deux parfums : vanille ou fraise. Pour

mieux gérer ses achats de matières premières, le commerçantfait l"hypothèse qu"il y aura en proportion

deux acheteurs de glaceà la vanille pour un acheteur de glaceàla fraise. Le premier jour d"utilisation de son

distributeur, il constate que sur 120 consommateurs, 65 ontchoisi de la glace à la vanille. Pour quelle raison mathématique pourrait-il mettre en doute son hypothèse? Justifier.

ANTILLESGUYANE JUIN20155 points

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A etB

PartieA

On considère une variable aléatoireXqui suit la loi exponentielle de paramètreλavecλ>0.

On rappelle que, pour tout réelastrictement positif,

P(X?a)=?

a 0

λe-λtdt.

On se propose de calculer l"espérance mathématique deX, notéeE(X), et définie par

E(X)=limx→+∞?

x 0

λte-λtdt.

On noteRl"ensemble des nombres réels.

On admet que la fonctionFdéfinie surRparF(t)= -? t+1 e -λtest une primitive surRde la fonctionfdéfinie surRparf(t)=λte-λt.

1.Soitxun nombre réel strictement positif. Vérifier que

x 0

λte-λtdt=1

-λxe-λx-e-λx+1?

2.En déduire queE(X)=1

PartieB

La durée de vie, exprimée en années, d"un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire

notéeXsuivant la loi exponentielle de paramètreλavecλ>0. La courbe de la fonction densité associée est représentée enannexe 2.

1.Sur le graphique de l"annexe 2 (à rendre avec la copie) :

a.Représenter la probabilitéP(X?1). b.Indiquer où se lit directement la valeur deλ.

2.On suppose queE(X)=2.

a.Que représente dans le cadrede l"exercice la valeur del"espérance mathématique dela variablealéatoire

X? b.Calculer la valeur deλ. c.CalculerP(X?2). On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à 0,01près.

Interpréter ce résultat.

3

d.Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelleest la probabilité que sa durée de vie

totale soit d"au moins trois années? On donnera la valeur exacte.

PartieC

Uncircuit électronique est composé dedeux composants identiques numérotés 1 et 2. OnnoteD1l"évènement "le

composant 1 est défaillant avant un an» et on noteD2l"évènement "le composant 2 est défaillant avant un an».

On suppose que les deux évènementsD1etD2sont indépendants et que P (D1)=P(D2)=0,39. Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : 1 2

Circuit en parallèle A

Circuit en série B

1 2

1.Lorsque les deux composants sont montés "en parallèle », le circuit A est défaillant uniquement si les deux

composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un

an.

2.Lorsque les deux composants sont montés "en série», le circuit B est défaillant dès que l"un au moins des

deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.

ANNEXE 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000,10,20,30,40,50,60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000,10,20,30,40,50,6

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