Correction du devoir `a la maison
Montrer que p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0. (Dans ce qui suit p2 désigne p ◦ p
Projecteurs et symétries
On dit que p est un projecteur s'il existe E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E tels que p est la projection sur E1 parallèlement à E2.
Soit E un − Kespace vectoriel et p un projecteur de E. Montrer que
est un projecteur de E. 2. Comparer les noyaux et les images de p et. E. Id p. − . Analyse. Un (très) grand classique (une question de cours diraient
Projecteurs
a) Démontrer : Im(p) ∩ Ker(p) = {0E}. b) Démontrer Détaillons cette méthode. • On commence par montrer : p est un projecteur ⇒ idE − p est un projecteur.
Exercice Éléments de solution
Montrer que u et p commutent si et seulement si Ker p et Im p sont stables Comme p est un projecteur on a E = Ker p ⊕ Im p. Soit x ∈ Ker p
9782340-023444_001_432.indd
Soit p et q deux projecteurs d'un K-espace vectoriel E. 1. Montrer que : p + q est un projecteur si et seulement si
Projections orthogonales
p). En déduire que 2idE +p est un isomorphisme. 2. Considérons deux projecteurs p et q qui commutent. Montrer que p ◦q est un projecteur et justifier que ...
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Démontrer que p est un projecteur si et seulement si e - p en est un. 2. a) Quel est le seul projecteur inversible de E? b) Déterminer le projecteur p pour
Dans tout ce qui suit on désigne par k un corps commutatif de
Montrer que 2p − IdE est une symétrie si et seulement si p est un projecteur. 3. Conjugaison commutation. Soit p = pF
Algèbre linéaire I
Soit E un espace de dimension finie. Montrer que la trace d'un projecteur est son rang. Correction ▽. [005590]. Exercice
Applications linéaires
Montrer qu'une application linéaire p est un projecteur et savoir l'identifier en calculant Ker(p)
Correction du devoir `a la maison
Soit E un espace vectoriel sur R. On appelle projecteur une application linéaire p : E ? E qui vérifie p ? p = p. (1) Si p est un projecteur montrer que
Projecteurs
Une application p est appelé un projecteur de E si elle vérifie : 1. a) Démontrer que les seules valeurs propres possibles de p sont 0 et 1.
Projecteurs et symétries
Définition (Projecteur). • Le projecteur p (ou la projection) sur E1 parallèlement à E2 est défini par: p : E = E1 ? E2. ? E x = x1 + x2. ?? x1 .
Dans tout ce qui suit on désigne par k un corps commutatif de
Montrer que p est un projecteur. b) Reformuler le résultat de a) en termes des valeurs propres de p et des sous-espaces propres correspondants. L'endomorphisme
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que la famille de fonctions (cos(px))p?N ?(sin(qx))q?N? est libre. Dans le cas où p+q est un projecteur déterminer Ker(p+q) et Im(p+q).
Soit E un ? Kespace vectoriel et p un projecteur de E. Montrer que
est un projecteur de E. 2. Comparer les noyaux et les images de p et. E. Id p. ? . Analyse. Un (très) grand classique (une question de cours diraient
MPSI 2 : DL 4
F = (F ? ker p)+(F ? Im p). ) (ii). 2 Deuxi`eme partie. Q 5 Soit p un endomorphisme de E. Montrer que p est un projecteur de E si et seulement si il
Exercice Éléments de solution
Soit E un espace vectoriel de dimension finie u ? ? (E) et p un projecteur de E. Montrer que u et p commutent si et seulement si Ker p et Im p sont
Exercices de mathématiques - Exo7
Par définition un endomorphisme p de E est un projecteur si et seulement si Soient p et q deux projecteurs
Projecteurs et symétries - Free
Projecteur Dé?nition (Projecteur) Le projecteur p (ou la projection) sur E1 parallèlement à E2 est dé?ni par: p: E = E1 E2! E x = x1 +x2 7! x1: E1 est appelé base de la projection et E2 direction de la projection On dit que p est un projecteur s’il existe E1 et E2 deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E tels que p est
Feuille d'exercices n o 19 : Applications linéaires
3 Soient p et q deux projecteurs montrer que : [Kerp=Kerqp= p qet q=q p] 4 p et q étant deux projecteurs véri?ant p q+q p = 0 montrer que p q = q p = 0 Donner une condition nécessaire et suf?sante pour que p+q soit un projecteur lorsque p et q le sont Dans ce cas déterminer Im(p+q) et Ker(p+q) en fonction de Kerp Kerq Imp et
Feuille d'exercices n o 19 : Applications linéaires
1 Montrer que p q est aussi un projecteur 2 Montrer que Im(p q) = Im(p) Im(q) 3 Montrer que ker(p q) = ker(p) + ker(q) 4 On suppose de plus que p q = 0 (et donc q p = 0 également) Montrer alors que p + q est aussi un projecteur de mêmes noyau et image que p q Exercice 9 (**) Soit f 2L(E) où E est un espace vectoriel de dimension
Projecteurs symétries endomorphismes nilpotents - unicefr
Exercice 1 Montrer que p 2L(E) est un projecteur ssi p2 = p Si car k 6= 2 montrer que s est une symétrie ssi s2 = id Exercice 2 Soient k un corps de caractéristique nulle et p 1;:::;p n 2L(E) des projecteurs a) Si p 1 + +p n = 0 montrer que p 1 = = p n = 0 b) Montrer que p 1 + + p n est un projecteur ssi 8i 6= j p i p j = 0 et qu
Feuille d'exercices n 17 : Applications linéaires
1 Montrer que p est un projecteur 2 Véri er que Im(p) = fx 2E jf(x) = xg 3 On note q le projecteur sur ker(p) parallèlement à Im(p) exprimer q comme combinaison linéaire de f et de p 4 En déduire que E = ker(f id E) ker f + 1 2 id E II Expression des puissances de f 1 Montrer en utilisant les résultats de la première partie
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p(y) = p2(a) = p(a) = y puisque p est un projecteur Il s’ensuit donc que y = p(x) et donc z = x p(x): cela constitue donc une condition n ecessaire a l’existence de la d ecomposition de x 2E comme somme d’un el ement de Im(p) et d’un el ement de Ker(p) Synth ese: Soit x 2E et posons x = p(x) + (x p(x)) Nous avons evidemment p(x) 2
Comment montrer que pq est un projecteur ?
1. Montrer que pq est aussi un projecteur. 2. Montrer que Im(pq) = Im(p) Im(q). 3. Montrer que ker(pq) = ker(p) + ker(q). 4. On suppose de plus que p q = 0 (et donc q p = 0 également). Montrer alors que p + q est aussi un projecteur, de mêmes noyau et image que pq.
Pourquoi est-il important de te montrer en tant que projecteur ?
Si tu es projecteur, c’est la même chose : la personne en face de toi a besoin de te connaître, de savoir qui tu es, de voir tes qualités, pour avoir envie de faire ensuite appel à ces qualités. Il est donc très important pour toi en tant que projecteur de te montrer. Evidemment, cela ne veut pas dire montrer tout de toi à tout le monde !
Comment fonctionne un projecteur de poursuite?
Le projecteur de poursuite est utilisé pour isoler un personnage (plus sur un plateau de télévision), ou simplement faire ressortir un personnage sur scène .Il est généralement équipé d’une lampe HMI. Le projecteur de poursuite est monté sur pied avec un mécanisme permettant de le diriger pour suivre les mouvements de l’acteur sur la scène.
Quelle est l’époque des projecteurs ?
Je vous le disais plus haut, selon le Design humain, notre époque est celle de l’avènement des projecteurs. Après avoir été beaucoup dirigé par les manifesteurs, notre monde change et de plus en plus de projecteurs arrivent au pouvoir.
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M1. MathsJf. CulusSolution: Projecteurs
1.Etude d'un projecteur
(a) Procedons par analyse-synthese. Analyse:Supposons que pour tout elementx2E, il existe (y;z)2Im(p)Ker(p) tels quex=y+z. Alors, en composant parp, nous obtenonsp(x) =p(y+z) =p(y) +p(z). Or,z2Ker(p) doncp(z) = 0 ety2Im(p) donc il existea2Etel quey=p(a) d'ou p(y) =p2(a) =p(a) =ypuisquepest un projecteur. Il s'ensuit donc quey=p(x), et donc z=xp(x): cela constitue donc une condition necessaire a l'existence de la decomposition dex2Ecomme somme d'un element deIm(p) et d'un element deKer(p). Synthese:Soitx2Eet posonsx=p(x) + (xp(x)). Nous avons evidemmentp(x)2 Im(p): verions alors quexp(x)2Ker(p). Nous avonsp(xp(x)) =p(x)p2(x) = p(x)p(x) = 0 carpest un projecteur doncp2=p. Il s'ensuit donc quexp(x)2Ker(p) d'ouE=Im(p) +Ker(p).Pour montrer que la somme est directe, on peut bien s^ur montrer queKer(p)\Im(p) = f0g, mais l'argument de la condition necessaire a l'issue de la phase d'analyse est par- fois plus pratique a mettre en oeuvreLa somme est directe d'apres la phase d'analyse: en eet, nous avons obtenue une condition necessaire suryetz, d'ou l'unicite de la decomposition, et donc le fait que la somme soit directe. (b) Considerons (e1;;ek) une base deKer(p) et (ek+1;;en) une base deIm(p). DeUn endomorphisme deE est parfaitement deni par ses restrictions a des s.e.v. supplementaires.la somme directeE=Ker(p)Im(p), nous deduisons que la concatenation (e1;;en) de ces deux bases forme une base deE. Or,plaisse invariant tout element deIm(p) (puisquep2=p) et est nul surKer(p), d'ou dans cette base, la matrice depest diagonaleD=diag(0;0;0;;0|{z}
k fois;1;1;;1|{z} nk fois).Le rang de l'endomorphismep, deni parrg(p) =dimIm(p) est egal a la trace de cet endo- morphisme2.Projection (a) Soitx2E. CommeE=FG, il existe un unique couple (xF;xG)2FGtel que x=xF+xG. Aussi,p(x) =xFet commexF2Fon en deduit quep(xF) =xFd'ou pp=p. (b) Nous avons alorsIm(p) =FetKer(p) =G.On a donc bienE=Im(p)Ker(p)
3.Avec deux projecteurs
(a) Soientpetqdeux projecteurs et supposons qu'ils ont m^eme noyau:Ker(p) =Ker(q). Montrons alors quepq=petqp=q. Commepetqsont des projecteurs, nous avons doncE=Ker(p)Im(p) =Ker(q)Im(q) etKer(p) =Ker(q). Soit doncx2E.Attention, le fait queKer(p) =Ker(q)n'implique pas que
Im(p) =Im(q)car il n'y a pas
unicite du supplementaire.xs'ecrit doncx=x1+x2avecx12Ker(q) etx22Im(q) (soitq(x2) =x2). Aussi, p(x) =p(x1) +p(x2) =p(x2) carKer(q) =Ker(p). De m^eme,pq(x) =p(q(x1+x2)) = p(q(x1)|{z} =0E) +p(q(x2)|{z}
=x2) =p(x2). On en deduit alors quep=pq.Pour montrer l'egalite de deux applications, on montre qu'elle sont egales sur tout element x2EOn procede de m^eme pour montrer queqp=q. Reciproquement, supposons que les projecteurspetqverientpq=petqp=qet montrons qu'ils ont m^eme noyau. Soitx2Ker(p). Alorsq(x) =qp(x) =q(p(x)|{z} =0 E= 0EPour montrer l'egalite de deux
ensembles, on procede par double inclusion d'ouKer(p)Ker(q). On montre de m^eme l'inclusion reciproque d'ouKer(p) =Ker(q).4.Somme de deux projecteurs
(a) L'endomorphismep+qest un projecteur si et seulement si (p+q)2=p+q, soitp2+q2+ pq+qp=p+q. Or,p2=petq2=qd'ou il s'ensuit quepq+qp= 0.La composition des endomor- phismes n'est pas commuta- tive, donc ne par utiliser les formules d'identites remar- quables ou le bin^ome de New- ton...Reciproquement, si cela est vrai, nous obtenons bien que (p+q)2=p+qd'oup+qest un projecteur. 1 M1. MathsJf. Culus(b) Supposons a present quep+qsoit un projecteur. Montrons quepq=qp= 0. D'apres la question precedente, nous savons quepq=qp. Aussi, par associa- tivite de la composition, nous avonspqp= (pq)p= (qp)p=qpet pqp=p(qp) =p(pq) =pq. Nous en deduisons alors quepq=qpet comme, par la question precedente,pq=qpil s'ensuit quepq=qp= 0.Montrons alors l'egaliteIm(p+q) =Im(p)Im(q).
L'inclusionIm(p+q)Im(p) +Im(q) est evidente.
Montrons l'inclusion recipoque: soitp(x1)+q(x2)2Im(p)+Im(q). Remarquons alors que (p+q)(p(x1)+q(x2)) =p(p(x1)+q(x2))+q(p(x1)+q(x2)) =pp(x1)|{z} =p(x1)+pq(x2)|{z} =0E+qp(x1)|{z}
=0E+qq(x2)|{z}
=q(x2)= p(x1) +q(x2) d'oup(x1) +q(x2)2Im(p+q). On montre ainsi l'egaliteIm(p+q) = Im(p) +Im(q). Reste alors a montrer que la somme est directe: soitz2Im(p)\Im(q) ie.z=p(x) =q(y). En appliquantpa cette egalite, nous avons alorspp(x) =pq(y) d'oup(x) = 0Edoncz= 0Eet la somme est bien directe. (c) L'inclusionKer(p)\Ker(q)Ker(p+q) est evidente. Montrons l'inclusion reciproque: soitx2Ker(p+q). Alorsp(x) +q(x) = 0. Or, 0 s'ecrit de maniere unique comme somme d'un element deIm(p) et d'un element deIm(q) (car Im(p+q) =Im(p)Im(q)). Il s'ensuit donc quep(x) =q(x) = 0 et doncKer(p+q)Ker(p)\Ker(q).
On a donc bien l'egalite souhaitee.
5.Projecteurs qui commutentOn utilise ici le fait que
(L(E);+;;)est uneR-quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2[PDF] rapport jury capes allemand 2014
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