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Enseignement de mathématiques

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ANALYSE MATRICIELLE

ET ALGÈBRE LINÉAIREAPPLIQUÉE

- Notes de cours et de travaux dirigés -

PHILIPPEMALBOS

1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. La structure d"espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Bases et dimension d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Trace d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Noyau et image d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Opérations matricielles par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Définition récursive du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Premières propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Formulation explicite du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 1

2Table des matières

5. Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Calcul de l"inverse d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Annexe : rappels sur les groupes de symétries . . . . . . . . . . . . . .

9. Annexe : déterminants et formes multilinéaires alternées . . . . . . . .

1. Équations d"évolution linéaire couplées . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Le découplage de système d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . .

4. Marches sur un graphe et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Valeurs propres et espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Calcul des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Une obstruction au caractère diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . .

4. Caractérisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . .

5. Matrices diagonalisables : premières applications . . . . . . . . . . . .

6. Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Polynômes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le lemme de décomposition en noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Le polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Décomposition spectrale géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Table des matières1

5. Décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Calcul de la décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La suite de Fibonacci (1202) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Dynamique de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . .

2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14 Sommaire1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

2. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Ce chapitre contient peu de démonstrations, son rôle est de fixer les notations et de

rappeler les structures algébriques fondamentales, ainsi que les principaux résultats al- gébriques que nous utiliserons dans ce cours. Nous renvoyons le lecteur au cours de première année pour tout approfondissement.

§1 Ensembles et applications

0.1.1.Applications.-SoientAetBdeux ensembles. Uneapplication fdeAdansB

est un procédé qui à tout élementxdeAassocie un élément unique deB, notéf(x). On

notef:A!B, ouAf!B, ou encore f:A!B x!f(x):

On notef(A)l"image de l"ensembleA, définie par

f(A) =fyjy2B;9x2A;tel quey=f(x)g: 1

2CHAPITRE 0. PRÉLIMINAIRES ALGÉBRIQUES

L"image inverse d"un sous-ensembleYBest définie par f

1(Y) =fxjx2A;f(x)2Yg:

Une applicationf:A!Best diteinjectivesi,f(x) =f(y)impliquex=y. Elle est ditesurjectivesif(A) =B,i.e., pour touty2B, il existe unx2Atel quey=f(x). Une application est ditebijectivesi elle est à la fois injective et surjective. Sif:A!Betg:B!Csont deux applications, on notegf, ou encoregf, l"application, ditecomposée, définie par gf:A!C x!g(f(x)): La composée des applications est une opération associative, i.e., étant données trois applicationsAf!Bg!Ch!D, on a h(gf) = (hg)f:

0.1.2.Quelques ensembles fondamentaux de nombres.-Dans tout ce cours, nous

supposons connus les ensembles de nombres suivants et les opérations d"addition, de soustraction, de multiplication et de division sur ces ensembles : ?l"ensemble des entiers naturels, 0, 1, 2,:::, notéN, ?l"ensemble des entiers relatifs, notéZ, formé des entiers naturels et de leurs opposés, ?l"ensemble des rationnels, notéQ, formé des quotientspq , oùpetqsont des entiers relatifs, avecqnon nul, ?l"ensemble des réels, notéR, qui contient les nombres rationnels et les irrationnels, ?l"ensemble des complexes, notéC, formé des nombresa+ib, oùaetbsont des réels etiun complexe vérifianti2=1.

Sipetqsont deux entiers relatifs, on notera

Jp;qK=fa2Zjp6a6qg:

§2 Les corps

Uncorpsest un objet algébrique constitué d"un ensemble et de deux opérations sur cet ensemble, une addition et une multiplication, qui satisfont à certaines relations. Intu- itivement, cette structure est proche de notre intuition de nombres et des opérations que l"on peut leur appliquer. Avant d"énoncer les relations des deux opérations de la structure de corps, rappelons la structure de groupe. suivantes

CHAPITRE 0. PRÉLIMINAIRES ALGÉBRIQUES3

i)l"opération estassociative,i.e., pour tous élémentsa,betcdeG, a?(b?c) = (a?b)?c; ii)il existe un élémentedansG, appeléneutre, tel que, pour tout élémentadeG, a?e=e?a=a; iii)pour tout élémentadeG, il existe un élémentinverse, que nous noteronsa1, tel que a?a1=e=a1?a: Exercice 1.-On définit sur l"ensemble des nombres réels l"opération?en posant a?b=2a+2b:

1.Cette opération est-elle associative?

2.L"opération

a?b=2a+b est-elle associative?

Exercice 2.-

1.Montrer qu"un groupe possède un unique élément neutre.

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ET ALGÈBRE LINÉAIREAPPLIQUÉE

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1. Ensembles et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les polynômes à une indéterminée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Les fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. La structure d"espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Bases et dimension d"un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Matrice d"une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Trace d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Noyau et image d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le rang d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Opérations matricielles par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Définition récursive du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Premières propriétés du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les formules de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Formulation explicite du déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2Table des matières

5. Calcul des déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Calcul de l"inverse d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Déterminant d"un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Annexe : rappels sur les groupes de symétries . . . . . . . . . . . . . .

9. Annexe : déterminants et formes multilinéaires alternées . . . . . . . .

1. Équations d"évolution linéaire couplées . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Le découplage de système d"équations . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . .

4. Marches sur un graphe et diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Valeurs propres et espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Calcul des valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Une obstruction au caractère diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . .

4. Caractérisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . .

5. Matrices diagonalisables : premières applications . . . . . . . . . . . .

6. Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Polynômes de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Le lemme de décomposition en noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Le polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Le théorème de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Le cas des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Matrices nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les espaces spectraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Décomposition spectrale géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Table des matières1

5. Décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Calcul de la décomposition spectrale algébrique . . . . . . . . . . . . .

7. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Calcul des puissances d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Les suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. La suite de Fibonacci (1202) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Dynamique de populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants . . . . . . . . .

2. Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Les corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .