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EXERCICE14 points
Commun à tous lescandidats
Aucune justification n"était demandée dans cet exercice.1.réponseb.
La fonction f est négative sur??-1;7??donc l"intégrale est négative.2.réponseb.
L"intervalle de confiance au niveau de confiance 95% est? f-1 ?n;f+1?n? ; son amplitude est 2 ?n. On résout l"inéquation2?n?0,04et on trouve n?2500.3.réponseb.
On calcule la dérivée de f : f
?(x)=2(x+1)-2xlnx x(x+1)2donc f?(1)=1. Le coefficient directeur de la tangente vaut1, ce qui élimine les réponsesc.etd.De plus f(1)=1donc la courbe etsatangente passentpar le point de coordonnées(1;1)ce quiélimine la réponsea.
4.réponsea.
Il faut d"abord quex>0 et que 3x-6>0 oux>2. On cherche donc des solutions dans ]2 ;+∞[. lnx+ln2?ln(3x-6)??ln(2x)?ln(3x-6)??2x?3x-6??6?x ; finalement21.La production diminue de 2% par an; or diminuer de 2% revient àmultiplier par 1-2
100=0,98.
Donc pour toutn,Un+1=Un×0,98.
De plusU0=120000.
La suite
(Un)est donc géométrique de premier termeU0=120000 et de raisonq=0,98. D"après le cours, on peut déduire que, pour tout entier natureln: U n=U0×qn=120000×0,98n.2. a.Comme 2005=2000+5, l"année 2005 correspond àn=5.
On cherche doncU5:U5=120000×0,985≈108470
Le nombre de jouets fabriqués en 2005 est 108470.b.Pour déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouetsfabriqués sera strictement in-
férieur à 100000, on résout l"inéquationUn<100000. U120000
??0,98n<56??ln(0,98n) ??nln(0,98)ln?5 6? ln(0,98)car ln(0,98)<0 Or ln?5 6? ln(0,98)≈9,02 doncn?10. C"est donc à partir de 2000+10=2010 que le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100000. À la calculatrice on trouveU
9≈100050etU10≈98049.
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
c.L"algorithme donné dans le texte affichera le plus petit entierntel queUn<90000 si on com- plète les lignes 8 et 9 ainsi : 8 nprend la valeurn+1 9Aprend la valeurA×0,98
Autre possibilité :
8 nprend la valeurn+1 9Aprend la valeur 120000×0,98n
3. a.1+0,98+0,982+···+0,98nest la somme desn+1 premiers termes d"une suite géométrique
de premier terme 1 et de raison 0,98; donc : 1-0,98=10,02×?1-0,98n+1?
=50?1-0,98n+1? =6000000?1-0,98n+1? c.Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premièresannées est égal àU0+U1+···+
U 14=S14=6000000?1-0,9815?=1568585
Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premièresannées de production est égal
à 1568585.
EXERCICE25 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité 1.Le graphe probabiliste traduisant les données de l"exercice est :
C T 0,03 0,02 0,970,98
2.P1=?c1t1?
Orlepremierjour, 70%desemployésontchoisiuncafédoncc1=0,7 etdonct1=1-c1=1-0,7= 0,3. DoncP1=?0,7 0,3?
3.La matrice de transitionMde ce graphe, estM=?0,97 0,030,02 0,98?
La probabilité qu"un employé choisisse du thé le quatrième jour estt4; on va donc chercher
P 4=?c4t4?.
On sait queP4=P3×Met queP3=P2×MdoncP4=P2×M2; de mêmeP2=P1×Mdonc P 4=P1×M3.
En effectuant les calculs à la calculatrice, on trouveP4≈?0,66 0,34?, donc la probabilité qu"un
employé choisisse un thé le quatrième jour est 0,34. 4. a.L"état stable?c t?est l"unique état tel que?c+t=1?c t?×M=?c t?
On calcule :
0,4 0,6?×M=?0,4 0,6?×?0,97 0,030,02 0,98?
?0,4×0,97+0,6×0,02 0,4×0,03+0,6×0,98? ?0,4 0,6? De plus 0,4+0,6=1
Donc?0,4 0,6?est l"état stable du système.
Métropole221 juin 2013
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
b.Puisque l"état stable est?0,4 0,6?, la probabilité qu"a un employé de prendre du café tend
vers 0,4 donc la société CAFTHÉ qui pensait que la machine à café serait toujours la plus
utilisée avait tort. 5. a.Par définitionPn+1=Pn×Mdonc?cn+1tn+1?=?cntn?×?0,97 0,030,02 0,98?
ce qui équivaut à ?cn+1=0,97cn+0,02tn t n+1=0,03cn+0,98tn On en déduit quecn+1=0,97cn+0,02tn; ortn=1-cndonc c ??cn+1=0,95cn+0,02 b.En faisant tourner l"algorithme proposé, voici l"état des variables à chaque étape : VariablesniAJour
Saisie den3
Initialisation deA30,701
1ertour de boucle310,6852
2etour de boucle320,670753
3etour de boucle330,65721254
La valeur affichée par l"algorithme quand la valeur denest égale à 3 est 0,6572125. pourn=3, donc le quatrième jour, il y a à peu près 66% des employés quiprennent un café.
EXERCICE35 points
Commun à tous lescandidats
PartieA : Étude du processusde mise en bouteille 1.Voici l"arbre pondéré traduisant l"énoncé :
R 1-0,05=0,95
B1-0,04=0,96
B0,04 R0,05B
0,08 B1-0,08=0,92
2.L"évènement "labouteille est correctement remplie et elleaun bouchon» est l"évènementR∩B.
P La probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu"elle ait un bouchon est égale à
0,912.
3.D"après la formule des probabilités totales :P(B)=P(R∩B)+P?
R∩B?
=0,912+0,05×0,08=0,912+0,04=0,916 La probabilité que la bouteille ait un bouchon est donc égaleà 0,916. 4.On cherche la probabilité de l"évènementRsachantB:
P B(R)=P(B∩R)
P(B)=0,9120,916≈0,996
Sachant que la bouteille a un bouchon, la probabilité qu"elle soit correctement remplie est égale
à 0,996.
PartieB : Productionjournalière
Métropole321 juin 2013
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
1.La variable aléatoireXsuit la loi normale de paramètresμ=2000 etσ=200 et on cherche
P (X???1800;2200??). Or 1800=μ-σet 2200=μ+σet on sait queP?X???μ-σ;μ+σ???≈0,683 donc la probabilité
quelaproductionjournalièresoit compriseentre1800 et2200 bouteilles estapproximativement de 0,683. 2.On demandeP(X<1600); à la calculatrice, on trouveP(X<1600)≈0,023.
Donc la probabilité que le service de maintenance intervienne sur les machines est approxima- tivement de 0,023. On peut aussi utiliser ce que l"on sait sur la courbe en clocheassociée à une loi normale. On remarque d"abord que 1600=2000-2×200=μ-2σ. D"après le rappel de cours, on sait queP?X???μ-2σ;μ+2σ???≈0,954, ce qui correspond à l"aire
de 0,046 soit 0,023. =2000μ-2σ =1600μ+2σ =2400 0,9541-0,954
2=0,023
1-0,954
2=0,023
EXERCICE46 points
Commun à tous lescandidats
PartieA :
1.Le nombre de milliers d"insectes est donné parf(t)=25e-0,5toùtest exprimé en années; donc
le nombre d"insectes au départ estf(0)×1000=25000, et le nombre d"insectes au bout d"un an estf(1)×1000≈15163. Le pourcentage d"évolution est
15163-25000
25000×100≈-39,35.
Le pourcentage de diminution du nombre d"insectes la première année est approximativement de 39%. 2. a.La fonctionFdéfinie sur??0 ; 4??parF(t)= -50e-0,5test une primitive defsi, pour touttde
??0 ; 4??,F?(t)=f(t). F ?(t)=-50×(-0,5)e-0,5t=25e-0,5t=f(t) DoncFest une primitive defsur??0 ; 4??.
b.? 4 2 e2 c.On calcule la valeur moyenne de la fonctionfentre 2 et 4 : 1 4-2? 4 2 La population moyenne d"insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième
année est de 5814. PartieB :
1.Sig(t)=20e-0,1t2+t-4,65, alors :
g 2.On admet que la fonctiong?est continue et strictement croissante sur l"intervalle??4 ; 10??.
g ?(4)=1-16e-1,6≈-2,23<0 etg?(10)=1-40e-10≈0,998>0 On établit le tableau de variation de la fonctiong?sur l"intervalle??4;10??: Métropole421 juin 2013
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
t4 10 0,998 g?(t) -2,23 0 D"aprèsle tableau devariation deg?on peut déduireque l"équationg?(t)=0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle??4;10??. g ?(5)≈ -0,64<0 g ?(6)≈0,34>0? =?α???5;6??;g?(5,5)≈ -0,07<0 g ?(5,6)≈0,03>0? =?α???5,5;5,6?? g ?(5,57)≈ -0,001<0 g ?(5,58)≈0,008>0? =?α???5,57;5,58?? Donc la valeur arrondie au dixième deαest 5,6. Onpeut aussi faire référenceau tableaude valeurstrouvé à la calculatrice pour donner ce résultat.
3. a.D"après le tableau de variation de la fonctiong?sur??4;10??, on peut dire que :
•g?(t)<0 sur??4;α??; •g?(t)=0 sit=α; •g?(t)>0 sur??α;10??. b.On en déduit que : • la fonctiongest strictement décroissante sur??4;α??; • la fonctiongest strictement croissante sur??α;10??.quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31
À la calculatrice on trouveU
9≈100050etU10≈98049.
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
c.L"algorithme donné dans le texte affichera le plus petit entierntel queUn<90000 si on com- plète les lignes 8 et 9 ainsi : 8 nprend la valeurn+19Aprend la valeurA×0,98
Autre possibilité :
8 nprend la valeurn+19Aprend la valeur 120000×0,98n
3. a.1+0,98+0,982+···+0,98nest la somme desn+1 premiers termes d"une suite géométrique
de premier terme 1 et de raison 0,98; donc :1-0,98=10,02×?1-0,98n+1?
=50?1-0,98n+1? =6000000?1-0,98n+1?c.Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premièresannées est égal àU0+U1+···+
U14=S14=6000000?1-0,9815?=1568585
Le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premièresannées de production est égal
à 1568585.
EXERCICE25 points
Candidatsayantsuivi l"enseignementde spécialité1.Le graphe probabiliste traduisant les données de l"exercice est :
C T 0,03 0,020,970,98
2.P1=?c1t1?
Orlepremierjour, 70%desemployésontchoisiuncafédoncc1=0,7 etdonct1=1-c1=1-0,7= 0,3.DoncP1=?0,7 0,3?
3.La matrice de transitionMde ce graphe, estM=?0,97 0,030,02 0,98?
La probabilité qu"un employé choisisse du thé le quatrième jour estt4; on va donc chercher
P4=?c4t4?.
On sait queP4=P3×Met queP3=P2×MdoncP4=P2×M2; de mêmeP2=P1×Mdonc P4=P1×M3.
En effectuant les calculs à la calculatrice, on trouveP4≈?0,66 0,34?, donc la probabilité qu"un
employé choisisse un thé le quatrième jour est 0,34.4. a.L"état stable?c t?est l"unique état tel que?c+t=1?c t?×M=?c t?
On calcule :
0,4 0,6?×M=?0,4 0,6?×?0,97 0,030,02 0,98?
?0,4×0,97+0,6×0,02 0,4×0,03+0,6×0,98? ?0,4 0,6?De plus 0,4+0,6=1
Donc?0,4 0,6?est l"état stable du système.
Métropole221 juin 2013
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
b.Puisque l"état stable est?0,4 0,6?, la probabilité qu"a un employé de prendre du café tend
vers 0,4 donc la société CAFTHÉ qui pensait que la machine à café serait toujours la plus
utilisée avait tort.5. a.Par définitionPn+1=Pn×Mdonc?cn+1tn+1?=?cntn?×?0,97 0,030,02 0,98?
ce qui équivaut à ?cn+1=0,97cn+0,02tn t n+1=0,03cn+0,98tn On en déduit quecn+1=0,97cn+0,02tn; ortn=1-cndonc c ??cn+1=0,95cn+0,02 b.En faisant tourner l"algorithme proposé, voici l"état des variables à chaque étape :VariablesniAJour
Saisie den3
Initialisation deA30,701
1ertour de boucle310,6852
2etour de boucle320,670753
3etour de boucle330,65721254
La valeur affichée par l"algorithme quand la valeur denest égale à 3 est 0,6572125.pourn=3, donc le quatrième jour, il y a à peu près 66% des employés quiprennent un café.
EXERCICE35 points
Commun à tous lescandidats
PartieA : Étude du processusde mise en bouteille1.Voici l"arbre pondéré traduisant l"énoncé :
R1-0,05=0,95
B1-0,04=0,96
B0,04R0,05B
0,08B1-0,08=0,92
2.L"évènement "labouteille est correctement remplie et elleaun bouchon» est l"évènementR∩B.
PLa probabilité que la bouteille soit correctement remplie et qu"elle ait un bouchon est égale à
0,912.
3.D"après la formule des probabilités totales :P(B)=P(R∩B)+P?
R∩B?
=0,912+0,05×0,08=0,912+0,04=0,916 La probabilité que la bouteille ait un bouchon est donc égaleà 0,916.4.On cherche la probabilité de l"évènementRsachantB:
PB(R)=P(B∩R)
P(B)=0,9120,916≈0,996
Sachant que la bouteille a un bouchon, la probabilité qu"elle soit correctement remplie est égale
à 0,996.
PartieB : Productionjournalière
Métropole321 juin 2013
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
1.La variable aléatoireXsuit la loi normale de paramètresμ=2000 etσ=200 et on cherche
P (X???1800;2200??).Or 1800=μ-σet 2200=μ+σet on sait queP?X???μ-σ;μ+σ???≈0,683 donc la probabilité
quelaproductionjournalièresoit compriseentre1800 et2200 bouteilles estapproximativement de 0,683.2.On demandeP(X<1600); à la calculatrice, on trouveP(X<1600)≈0,023.
Donc la probabilité que le service de maintenance intervienne sur les machines est approxima- tivement de 0,023. On peut aussi utiliser ce que l"on sait sur la courbe en clocheassociée à une loi normale. On remarque d"abord que 1600=2000-2×200=μ-2σ.D"après le rappel de cours, on sait queP?X???μ-2σ;μ+2σ???≈0,954, ce qui correspond à l"aire
de 0,046 soit 0,023. =2000μ-2σ =1600μ+2σ =24000,9541-0,954
2=0,023
1-0,954
2=0,023
EXERCICE46 points
Commun à tous lescandidats
PartieA :
1.Le nombre de milliers d"insectes est donné parf(t)=25e-0,5toùtest exprimé en années; donc
le nombre d"insectes au départ estf(0)×1000=25000, et le nombre d"insectes au bout d"un an estf(1)×1000≈15163.Le pourcentage d"évolution est
15163-25000
25000×100≈-39,35.
Le pourcentage de diminution du nombre d"insectes la première année est approximativement de 39%.2. a.La fonctionFdéfinie sur??0 ; 4??parF(t)= -50e-0,5test une primitive defsi, pour touttde
??0 ; 4??,F?(t)=f(t). F ?(t)=-50×(-0,5)e-0,5t=25e-0,5t=f(t)DoncFest une primitive defsur??0 ; 4??.
b.? 4 2 e2 c.On calcule la valeur moyenne de la fonctionfentre 2 et 4 : 1 4-2? 4 2La population moyenne d"insectes entre le début de la deuxième et le début de la quatrième
année est de 5814.PartieB :
1.Sig(t)=20e-0,1t2+t-4,65, alors :
g2.On admet que la fonctiong?est continue et strictement croissante sur l"intervalle??4 ; 10??.
g ?(4)=1-16e-1,6≈-2,23<0 etg?(10)=1-40e-10≈0,998>0 On établit le tableau de variation de la fonctiong?sur l"intervalle??4;10??:Métropole421 juin 2013
Baccalauréat ES/LA. P. M. E. P.
t4 10 0,998 g?(t) -2,23 0 D"aprèsle tableau devariation deg?on peut déduireque l"équationg?(t)=0 admet une solution uniqueαdans l"intervalle??4;10??. g ?(5)≈ -0,64<0 g ?(6)≈0,34>0? =?α???5;6??;g?(5,5)≈ -0,07<0 g ?(5,6)≈0,03>0? =?α???5,5;5,6?? g ?(5,57)≈ -0,001<0 g ?(5,58)≈0,008>0? =?α???5,57;5,58?? Donc la valeur arrondie au dixième deαest 5,6.Onpeut aussi faire référenceau tableaude valeurstrouvé à la calculatrice pour donner ce résultat.
3. a.D"après le tableau de variation de la fonctiong?sur??4;10??, on peut dire que :
•g?(t)<0 sur??4;α??; •g?(t)=0 sit=α; •g?(t)>0 sur??α;10??. b.On en déduit que : • la fonctiongest strictement décroissante sur??4;α??; • la fonctiongest strictement croissante sur??α;10??.quotesdbs_dbs25.pdfusesText_31[PDF] baccalauréat général - Aix
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