[PDF] Concours du second degré – Rapport de jury Session 2021

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Conseil aux futurs candidats

Des concours externes et internes de recrutement avec affectation locale à Mayotte ont été institués, pour

les sessions 2021, 2022 et 2023, par le décret MENH2031189D en date du 3 février 2021.

Les professeurs certifiés stagiaires nommés à la suite de leur réussite au concours accomplissent un stage

d'une durée de deux ans dans l'académie de Mayotte, qui ne peut être prolongé que d'une année par

décision du recteur d'académie. À l'issue du stage, les professeurs certifiés stagiaires qui sont titularisés

sont affectés dans l'académie de Mayotte. La titularisation entraîne la délivrance du certificat d'aptitude au

professorat de l'enseignement du second degré.

A. Épreuves d'admissibilité

1° Première composition (cinq heures).

Coefficient 1.

2° Seconde composition (cinq heures).

Coefficient 1.

B. Épreuves d'admission

1° Exposé sur un thème donné suivi d'un entretien portant notamment sur les questions soulevées par

l'exposé du candidat.

Durée de préparation : deux heures ; durée de l'épreuve : quarante-cinq minutes (exposé : trente

minutes ; entretien : quinze minutes).

Coefficient 2.

2° Entretien avec le jury.

L'épreuve porte sur la motivation du candidat et son aptitude à se projeter dans le métier de professeur

au sein du service public de l'éducation, en particulier à Mayotte.

L'entretien comporte une première partie d'une durée de quinze minutes débutant par une présentation,

d'une durée de cinq minutes maximum, par le candidat des éléments de son parcours et des

expériences qui l'ont conduit à se présenter au concours en valorisant notamment les enseignements

suivis, les stages, l'engagement associatif ou les périodes de formation à l'étranger et, le cas échéant,

ses travaux de recherche. Cette présentation donne lieu à un échange avec le jury.

La deuxième partie de l'épreuve, d'une durée de quinze minutes, doit permettre au jury, au travers de

deux mises en situation professionnelle, l'une d'enseignement, la seconde en lien avec la vie scolaire,

d'apprécier l'aptitude du candidat à :

- s'approprier les valeurs de la République, dont la laïcité, et les exigences du service public (droits

et obligations du fonctionnaire dont la neutralité, lutte contre les discriminations et stéréotypes,

promotion de l'égalité, notamment entre les filles et les garçons, etc.) ; - faire connaître et faire partager ces valeurs et exigences.

Le candidat admissible transmet préalablement une fiche individuelle de renseignement établie sur le

modèle figurant à l'annexe IV du présent arrêté, selon les modalités définies dans l'arrêté d'ouverture.

Durée de l'épreuve : trente minutes. Coefficient 1.

Le programme des épreuves des épreuves d'admissibilité et de la première épreuve d'admission est celui

des classes des collèges et des lycées d'enseignement général et technologique.

Le jury du CAPES externe avec affectation locale à Mayotte, section Mathématiques, a été constitué pour

la session 2021 de 27 personnes, qui ont été nommées de la jeunesse et des sports en date du 21 mai 2021.

Problème1: Vr ai-F aux

Précisersich acun edespropositionssuiv antes estvraieoufausse,pui sjustifierlaréponse.Une réponse non

justifiéen erappor teaucunpoint.

1 -O nconsidère unentiern aturel n.

Proposition: sin2est pair,alorsnest pair.

2 -Proposition: toutesui testrictemen tcroissantetendv ersÅ1.

3 -S oitlasuite

(un)n2Ndéfiniepar :8 :u

0AE¡1

u 1AE1 u nÅ2AE4unÅ1¡3un, pourtoutentier nat urel n>0 Proposition: pourt outentiern atureln, ona :unAE3n¡2.

4 -Proposition: pourt outentiern atureln,nP

kAE0k3AEµ nP 2

5 -S oientaetbdeux réelsetfunefonct iondérivabledeRdansR.

Proposition: sia6bet sif(a)6f(b), alorsfest croissantesurl"int er valle[a,b].

6 -Proposition: toutefonct iondéfinieetcontinuesur un inter valleI½Rest dérivablesur

l"intervalleI.

7 -S oitfune fonctiondérivablesu runinterva lle]a,b[et soitx02]a,b[telque f0(x0)AE0.

Proposition: lafonction fadmetun extremume nx0.

8 -S oitfune fonctiondérivablede RdansR.

Proposition: sifest impaire,alorsf0est paire.

9 -S oitlafonctionfdéfiniesurR\{2}parf(x)AExÅ2x¡2etCfsacourbereprésentativedansleplanmuni

d"unrep ère. Proposition:Cfest symétriqueparrapport au pointA(2;1).

10 -S oitlafonct ionfdéfinies ur[0,Å1[parf(x)AExlnµxÅ5x

pourxÈ0 etf(0)AE0.

Proposition: lafonction fest dérivableen0.

11 -S oitunefonc tionfdéfinieetcont inuesu rl"inter valle [¡2,5]telle quef(¡2)AE¡2 etf(5)AE3.

Proposition: l"équationf(x)AE0 admete xactementunesolutiondansl "interval le[¡2,5].

12 -S oitfune fonctioncontinuesur l"interv alle[1,2].

Proposition: siZ

2 1 f(t)dt>1, alorsf(x)>1 pourtou tnombreréelx2[1,2].

13 -D ansl"espacer apportéàun repèreorthonormé

O;¡!i,¡!j,¡!k´

, onn ote(

P) leplan d" équation

3xÅ2y¡z¡1AE0 et( D) ladr oitedevecteur direct eur¡!uAE¡!iÅ¡!j¡¡!kpassantpar lepoi ntA(2,1,7).

Proposition: lepl an(P) etla droi te(D) ontu nuniq uepointcommun.1

14 -D ansleplanmunid "un repèr eor thonormé

O;¡!i,¡!j´

, onc onsidèreladroite(

D) d"équation

xÅyÅ3AE0 etlec ercle (C) d"équationx2Åy2¡2y¡7AE0. Proposition: ladroite (D) esttan genteaucercl e( C).

15 -D anslepl ancomplexe ,onconsidère lespointsM,N,Pd"affixesresp ectives1Å3i, 5Å4i, 2¡i.

Proposition: letr iangleMNPest isocèlerectan gleenM.

16 -U neentrepr isefabriquedesboîtes enboisquinepeuvent pré senterque deux défauts :undéfau t

d"aspectetundéfaut de dime nsions . À lasui ted"uncont rôlequalitédela fabrication, onconstate que : - 91%des boîtesfabriq uéesn"ont pasdedéfautd"aspect; - parmilesboîtesn "aya ntpas dedéfautd"asp ect,96 %n"ontpas dedéfautdedimen sions; - 3%desboîtes fabr iquées présententlesdeuxdéfauts . pasde défautde dim en sions». Proposition: laproba bilitédel"événementAest égaleà0,97 .

17 -O nlance undécubiquedontl esf acess ontn um érotéesde 1à6. OnnoteXla variablealéatoire

donnantlenumér oinsc ritsurl afacesupé ri euredudé. Onsu pposequeledé esttruq uéd et elle sortequelapr obabilitéd "obtenirunefac eest proportionnelleaucarrédunuméroinsc rit surcett efac e. Proposition: l"espérancedelavar iablealéatoir eXest égaleà6313

18 -O nconsidèr el'algorithmeci-dessous. Proposition: cetal gorithmeretournelav aleur15.

Problème2: nombr esen tiers,décimau x,rationnels ,irrationnels Cepr oblèmeestconstitué de6 partiesindépendant es

I -N ombresdécimaux

Fractionsetnombr esdé cimauxaucycle3

RessourcesMEN/DGESCO-IGEN, Eduscol,novembr e2016

Lorsqu"oncoupeu ne unitéenunnom bre enti erde partségalesetqu"onpr endunnombre entier de ces parts,éven tuellementsupérieuraunombr edepartscontenuesdanscetteu ni té,onobtien tu ne fraction. Lorsquel epart agedel"unitésefaiten un nombrede parts égal àune puissance de10(comme1 0,

100,100 0,... ),lafractionobtenuee st appeléefractiondécima le:310

,547100 ,31000 , etc.

Unnombredéc imalest unnombre quipeu ts"écrir esouslaforme d"unefractiondéci mal e.Justier,enuti lisant lesdénitionsdudocumen tr essource,lesafrma tionssuiv antes:

1 - Lesnombresentierssontdesnombresdécimaux.2-1 65536
est unnombre décimal. 3 - 13 n'estp asunnomb redécimal.

II -D ivisioneuclidienne

Soit

1 -Démont rerqu"ilex isteu nentiernaturelntelque nbÈa.

2 -S oitSAE{s2N,bsÈa}. CommeSest nonvide ,onadmetqu "il po ssèdeunplus petitélémentt.

End éduirel"existenced "uncoupled"entiersnaturels(q,r) vérifiantbq·aÇb(qÅ1).

3 -Démont rerl"unicitéducou pled"en tiersnat urels(q,r) vérifiantaAEbqÅret 0·rÇb.

L"opérationquiass ocie aucouple(a,b) lecou ple(q,r) estl adivisi oneuclidiennedeaparb. aest appeléle dividende, ble diviseur,qle quotientetrle restedela division euclidie nne.

4 -O neffectu eunedivisioneuclidien neoù ledividende estégalà53etlerest eà 5.

Quelspeuv entêtrelediviseur etlequoti ent ?

5 -O nsupposeaÈbet ondiv iseaetbparleu rdiffére ncea¡b.

Comparerlesquotient set lesrestesobte nu s.

III- Di visioneuclidienneetnom bresdécima ux

Soit Pourtou tn2N,qnest lequot ientetrnle restedela division euclidie nnedea£10nparb.

1 -(a) Dét erminer(q0,r0), (q1,r1), (q2,r2) et( q3,r3) pouraAE22,bAE7.

(b) Repérerlesrest esr1etr2dansla division posée"enpote nce" de2 2par7pourétabl iru ne relationentre r1,r2,q1,q2etb. 2 27

¡2 13,142

1 0

¡73 0

¡2 82 0

¡1 46

2 -Démont rerque,p ourtoutn2N,q

n10 n6ab

ÇqnÅ110

n

4 -Démont rerqu"ilex isteu nentierktel querkAE0 siet seulement siab

est unnombre décimal. (a) Montrerque06Q(n)69. (b) Exprimerqnetrnen fonctiondeqn¡1,Q(n) etR(n). q n¡110 n¡16qn10 netqnÅ110 n6qn¡1Å110 n¡1 q

06q110

6...6qn¡110

n¡16qn10 n6ab

ÇqnÅ110

n6qn¡1Å110 n¡16...6q1Å110

6q0Å1

r

0,r1,r2... sontlesres tespa rtielsdeladivisionposée "enpotence".

7 -Lo rsquel"on poursuitlad ivision"enpo tence"de 22par7,onobtient r6AE1. Onaa lors r6AEr0.

Est-ce quel "existenced"unreste partielnon nulrépétépermet deconclureàl apér iodicitédes

décimales?

IV -A pproximationde

p2

Soitla suite(an)n2Ndéfiniepar :

8>< :a 0AE32 a nÅ1AE12 a nÅ2a pour toutn2N

1 -É tudierlesvar iationsdela fonctionfdéfiniesurl "inter valle[1,2]parf(x)AE12

(xÅ2x

2 -Démont rer,parrécurrence ,quepou rtoutentiern2N,p26anÅ1Çan632

3 -Démont rerque,p ourtoutentiern2N,anÅ1¡p2612

(an¡p2).

4 -E ndéd uireque,pourtouten tiern2N, 0Çan¡p26µ12

nÅ1

5 -E ndéd uirelalimitedela su ite(an)n2N.

6 -É crireunprogrammeen Pyt honpermettantde donner,à partirdel"encadr ementduIV -4,une

valeurappr ochéeà10

10près dep2 àl "aidedelasu ite (an)n2N.

V -I rrationalitéde

p2

1 -S oitn2N,déterminerleschiffresdesunitéspossiblespourn2,puisleschiffresdesunitéspossibles

pour 2n2? Pourdémont rerparl"absurde l"irr ationalitéde p2, onsu pposeque p2AEpq , avecpq fractionirréductible .

2 -E nraisonnantsurlechiffredesunitésdepetdeq,montrerquelaseulepossibilitéestquelechiffre

des unitésd epsoit 0et que celuide qsoit 0ou 5.

3 -E ndéd uirequep2 estunno mbr eirrationnel.

VI -A pproximationdeln2

Soitfla fonctiondéfiniesur[1,2]parf(x)AE1x

etCsa courberepr ésentativedansunrepèredonné. 1n etfµ

1Åkn

pourkentiern aturelcomprisentre1 etn.

Onn oteSnla sommedes aires decesr ectangles.

1 -Démont rerquepourt outenti ern>1,

S nAE1nÅ1Å1nÅ2Å...Å12n

2 -Démont rerquelasu iteSnest convergente.

3 -Démont rerquepourt outenti ern>1,

S n6Z 2 11x dx6SnÅ12n

4 -E ndéd uireunencadrementdeSnet déterminersalimite.

Problème3: angles ,r elationsmétriqu esetvar iationsdel"aired"untr ia ngle

I -F ormulesd"addition

Oncon sidèrelaconfigurat ion duplancorrespondantàlafig ur ec i-dessous.1 -J ustierquelesa ngles

2 -E nremarquant quesin(aÅb)AEEFÅDF, établirlar elationsin(aÅb)AEsinacosbÅcosasinb.

3 -O nadmet traquecos(aÅb)AEcosacosb¡sinasinb. Endéduire larelation :

tan(aÅb)AEtanaÅtanb1¡tanatanb

4 -E xprimertan(2a) enf onctiondetana, puiscalcu lerlavaleurexact ede tan¼8

II -R elationsmétriques

Soitun triangleABC, depér imètre2p, oùpest unnombre réelstri ctementp ositifdonné. Iest lecen treetrle rayonducercle in scritdansce triangle.P,QetRsontle sprojetésor thogonaux deI respectivementsurlesdroites (

1 -Démont rerquel"air edutri angleABCest égalep£r.

3 -O nsupposeletr ia ngleABCrectangleenA.

(a) Exprimertancen fonctiondetan b. (b) Endéduir equerAEptanb(1¡tanb)1Åtanb. III- Var iationsdurayonetdel "aire dutr ia ngle rectangle

1 -S oitfla fonctionde lavar ia bleréellexdéfiniesur ]0,1[parf(x)AEpx(1¡x)1Åx, oùpest unn ombre

réel strictementpositif.Dresserletableaudevariationdef.2 -S oitgla fonctiondelav ariable réellebdéfiniesurl "inter vallei0¼

4 h parg(b)AEf(tanb).

Étudierl esensde variatio nde lafonctiong.

3 -P ourquellemesure bde l"angle,lerayondu cerc leinscri td ansletriangle rectangleABC, de

périmètre2pdonné,est-il maxi mal?

4 -E xprimer,enfonctiondeb, l"aireS(b)du triangleABC.

5 -P ourquellemesu rebde l"angle,l"aire dutriangler ectangle ABC, depér imètre2pdonné,est-el le

maximale?

1.Exemples de dénombrements dans différentes situations.

2.Expérience aléatoire, probabilité, probabilité conditionnelle.

3.Variables aléatoires discrètes.

4.Variables aléatoires réelles à densité.

5.Statistique à une ou deux variables, représentation et analyse de données.

6.Multiples et diviseurs dans N, nombres premiers.

7.PGCD et PPCM dans Z. Applications.

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