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M Al-Houjairi Tripoli –Liban 02/11/2017 Page 68 11 Lobatchevsky N recherches géométriques en théorie des lignes parallèles Oeuvres complètes T 1 Moscou-Leningrad 1946 (en russe) 12 Riemann B Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie(1854) Oeuvres complètes 13 Weinberg Steven Gravitation and Cosmology
Exercice 4
Corrigé
17MAELLI1
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
Session 2017
MATHÉMATIQUES
- Série ES -ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient : 5MATHÉMATIQUES
- Série L -ENSEIGNEMENT DE SPECIALITE
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient : 4Les calcula
trices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée.Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.Sujets Mathématiques Bac 2017
freemaths.fr freemaths.frfreemaths.fr5 17MAELLI1
EXERCICE 4 (6 points)
Commun à tous les candidats
Les deux parties sont liées.
Partie A
On note ݂Ԣ la fonction dérivée de ݂ sur l'intervalle [0 ; 10] .1) Montrer que, pour tout réel x dans l'intervalle [0 ; 10], on a ݂
On note ݂ԢԢ la fonction dérivée seconde de ݂ sur l'intervalle [0 ; 10] .2) a) Montrer que, dans l'intervalle [0 ; 10], l'inéquationͳͲͲ
െͲǡͷ 0 est équivalente à b) En déduire le tableau de signes de la fonction ݂ԢԢsur l'intervalle [0 ; 10] .3) On appelle ܥ
la courbe représentative de ݂ tracée dans un repère. Montrer, à l'aide de la question 2, que la courbe ܥ admet un point d'inflexion noté I, dont on précisera la valeur exacte de l'abscisse.4) En utilisant les résultats de la question 2, déterminer l'intervalle sur lequel la fonction ݂ est
concave.Partie B
Dans toute cette partie les températures seront exprimées en degrés Celsius, notés °C.
La COP21, conférence sur les changements climatiques des Nations Unies, a adopté le 12 décembre
2015 le premier accord universel sur le climat, appelé accord de Paris, signé par 195 pays.
Cet accord confirme l'objectif, d'ici l'année 2100, que la température terrestre ne dépasse pas de
plus de 2°C la température de l'année 1900.Dans cette partie, on modélise, par la fonction ݂ de la partie A, une évolution de température
possible permettant d'atteindre l'objectif de l'accord de Paris.Liban 201 7 -
freemaths . frBac - Maths - 201 7 - Série ES
617MAELLI1
La courbe représentative ܥ
de la fonction ݂ est tracée ci-dessous, et I est son point d'inflexion.Sur l'axe des abscisses, l'année 1900 correspond à 0 et une unité représente 25 ans, donc l'année
1925 correspond à 1.
Sur l'axe des ordonnées, on a représenté le nombre de degrés Celsius au-dessus de la température de
1900.b) En déduire qu'en 2150, avec ce modèle, l'objectif de l'accord de Paris sera respecté.
2) a) En utilisant la partie A, déterminer l'année correspondant à l'abscisse du point I d'inflexion de
la courbe ܥ . Arrondir le résultat à l'unité.b) Calculer, pour cette année-là, le nombre de degrés Celsius supplémentaires par rapport à 1900.
3) On appelle vitesse du réchauffement climatique la vitesse d'augmentation du nombre de degrés
Celsius. On admet que, à partir de 1900, la vitesse du réchauffement climatique est modélisée par la
fonction ݂Ԣ.a) Est-il vrai de dire qu'après 2033 la température terrestre diminuera ? Justifier la réponse.
b) Est-il vrai de dire qu'après 2033 la vitesse du réchauffement climatique diminuera ? Justifier la
réponse.4) Pour sauvegarder les îles menacées par la montée des eaux, la température terrestre ne doit pas
dépasser de plus de 1,5 °C la température de l'année 1900.Déterminer l'année au cours de laquelle la température terrestre atteindra ce seuil, selon ce modèle.
1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1. Déterminons, pour tout réel de [ 0 ; 10 ], ': Ici: f ( x ) = 10, 5 + 100 e
x u vDf = [ 0 ; 10 ] .
Posons:
f = f 1 f 2 f 3 avec: f 1 x ) = 1, f 2 x ) = 0, 5 et: f3 ( x ) = 100 e
x f 1 et f 2 sont dérivables sur ¨ comme fonctions polynômes, donc dériv ables sur l'intervalle [ 0 ; 10 ] . f 3 est dérivable sur ¨ comme fonction " exponentielle ", donc dérivable sur l'intervalle [ 0 ; 10 ] .Par conséquent, h = f
2 + f 3 est dérivable sur [ 0 ; 10 ] comme somme de 2 fonctions dérivables sur [ 0 ; 10 ] . Enfin, f est dérivable sur [ 0 ; 10 ] comme quotient 1 h de 2 fonctions dérivables sur [ 0 ; 10 ], avec pour tout x x ) 0.Ainsi, nous pouvons calculer f ' pour tout x
Pour tout x
EXERCICE 4
Partie A:
[ Liban 201 7 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 f ' ( x ) =0 x (0, 5 + 100 e
x ) - 1 x ( - 100 e x0, 5 + 100 e
x 2 u' x v - u x v' v ] 2 f ' ( x ) = 100 ex
0, 5 + 100 e
x 2 > 0.Au total, pour tout x f ' ( x ) =
100 ex
0, 5 + 100 e
x 2 > 0. 2. a. Montrons l'équivalence demandée:Pour tout x
x <=> e x 0, 5 100<=> - x 0, 5 100
<=> x - ln 0, 5 100
<=> x - ln ( 0, 005 ) .
Au total, pour tout x
100 ex x - ln ( 0, 005 ) . 2. b. Déduisons-en le tableau de signes de '' sur [ 0 ; 10 ]: Ici: f '' ( x ) = 100 e
x x ( 100 e
x - 0, 5
0, 5 + 100 e
x 3Df = [ 0 ; 10 ] .
Or pour tout x
x > 0 et ( 0, 5 + 100 e x 3 > 0. Le signe de f '' dépend donc du signe de: 100 e x - 0, 5. Or: 100 ex x - ln ( 0, 005 ) <=> x ln ( 200 ) . 3 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 D'où le tableau de signes de f '' sur [ 0 ; 10 ] suivant: x0ln ( 200 )10 f +0- 3. Montrons que C admet un point d'inflexion noté I: Rappelons qu'en un point d'inflexion, la dérivée seconde s' annule et change de signe
Or c'est le cas quand:
x = ln ( 200 ) .Au total, l'abscisse du point d'inflexion est:
x = ln ( 200 ) .quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] apparition de nouvelles espèces svt 2nde
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