TD 3 PROCESSUS DE POISSON - CONDITIONNEMENT
PROCESSUS STOCHASTIQUES - TD 3. PROCESSUS DE POISSON - CONDITIONNEMENT GAUSSIEN. Correction des exercices 2 4
Porcessus de Poisson Exercices solutionnés
16 oct. 2000 Exercice. Considérons un processus de Poisson ' φ &' (/) : / # 0' ayant une intensité de φ 2. Déterminez la distribution conditionnelle de.
Feuille de TD 4 : Chaîne de Markov Processus de Poisson Exercice
Pour tout n ∈ IN calculer En(τR). Exercice 2. Soit Nt un processus de Poisson d'intensité λ > 0. Calculer Cov(Nt
Polytech Lyon M2 Statistique des processus Feuille 1 TD
Montrer par un calcul de fonctions caractéristiques que Xk/k converge en loi vers E(λ). Exercice 2. Soit (Nt) un processus de Poisson d'intensité λ. Pour s t
Processus aléatoires et applications
2 janv. 2019 1.6 Exercices . ... Le processus ponctuel de Poisson est un processus stochastique qui associe une distribution.
Processus de Poisson
Comme nous le verrons dans la suite les processus de Poisson temporels se subdivisent en plusieurs types. La première partie de ce travail reprend les aspects
Université de Bordeaux Master 2 TD1 Processus de Poisson 2015
Exercice 2. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de param`etres respectifs λ et µ. 1. Donner la loi de
Correction de la PC2
1/λ < E(Xt + Yt) = (2 − e−λt)/λ. Exercice 4. (Stt ≥ 0) est le processus de processus de Poisson de paramètre λp. De même
Exercices corrigés
EXERCICE 3.14.– [Loi de Poisson]. La loi de Poisson de paramètre ou d Le processus d'arrivée des clients est tel que les intervalles entre les arrivées ...
Devoir `a la maison no2 Le processus de Poisson
processus de Poisson (exercices 1. et 3.) et de comprendre son importance pour la modélisation de certains phénom`enes aléatoires (exer- cice 2.). Exercice 1.
Porcessus de Poisson Exercices solutionnés
16 oct. 2000 Exercice. Considérons un processus de Poisson ' ? &' (/) : / # 0' ayant une intensité de ? 2. Déterminez la distribution conditionnelle de.
Processus aléatoires et applications
2 janv. 2010 2.2 Généralités sur les processus stochastiques . ... 5 Le processus ponctuel de Poisson ... A Solution de quelques exercices.
Processus de Poisson Exercice 1: On sintéresse au nombre de
processus de Poisson homogène d'intensité ? = 5. Exercice 2: (Paradoxe de l'autobus) Pierre prend tous les matins le bus pour se rendre à l'université.
MAT-3071 Processus Stochastiques
Séance d'exercices : Jeudi 10h30-12h30 (local SH-2420) Poisson Processus de Poisson composé
EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE M2IF Evry
Equations différentielles stochastiques Corrigés. 129. 5.1 Equation Linéaire . Exercice 8.1.1 Montrer que si N est un processus de Poisson standard
MASTER ISIFAR 2`eme année Bases mathématiques de l
18 nov. 2009 Exercice 1. ... Corrigé La fonction génératrice est définie pour tout t ? 0 et vaut ... Corrigé Le processus de Poisson est un processus `a ...
Processus de Poisson
Comme nous le verrons dans la suite les processus de Poisson temporels se subdivisent en plusieurs types. La première partie de ce travail reprend les aspects
Exercices corrigés
Quelle est la valeur de la moyenne E[N] d'une variable aléatoire N qui suit une loi Poisson(?)?. 2. On observe des clients à l'entrée d'un système. Le processus
Correction de la PC2
Processus Aléatoires. MA 202. Correction de la PC2. Exercice loi de Poisson de paramètre ? i.e. pour tout n ? N
PROCESSUS DE POISSON : Corrigé des exercices
PROCESSUS DE POISSON : Corrigé des exercices. 1. Les arrivées d'autobus `a une station forment un processus de Poisson d'intensité.
Porcessus de Poisson Exercices solutionnØs - HEC
Porcessus de Poisson Exercices solutionnØs Genevi?ve Gauthier derni?re mise à jour : 16 octobre 2000 Exercice ConsidØrons un processus de Poisson N = fN (t) : t 0g ayant une intensitØ de = 2 DØterminez la distribution conditionnelle de l™instant ? 1 auquel survient le premier ØvØnement Øtant donnØ qu™au temps
TD - Exercices autour de la loi de Poisson
Exercice 9 { Soit (N t) un processus de Poisson et T 1 son premier instant de saut Calculer la fonction de r epartition de T 1 conditionnellement a N T = 1 { Soit Iun intervalle de [0;t] et nun entier Conditionnellement a N t = n calculer la probabilit e qu’il y ait exactement ksauts de (N t) qui aient lieu dans I Exercice 10 Soit (X t)
Processus de Poisson
1 Introduction au processus de Poisson Soit (Xn) une suite de variables al eatoires ind ep endantes et identiquement distribu ees de loi exponentielle E( ) avec > 0 Si Sn = X1 +X2 + +Xn N0 = 0 et pour tout t > 0 Nt = X1 n=1 1I(S n t); (Nt) est un processus de Poisson d’intensit e Exercice 1 Montrer que pour tout t > 0 Nt suit une loi
Processus ponctuel de Poisson - École Polytechnique
Th´eor`eme 1 2 Sous les conditions pr´ec´edentes le processus de pointage (T n) n d´e?ni par la r´eunion de {T1 n; n ? 1} et {T2 n; n ? 1} est un processus de pointage associ´e a un processus de Poisson de param`etre ?= ? 1 +? 2 D´emonstration Il su?t de remarquer que le processus de comptage Nassoci´e au processus de
LE PROCESSUS DE POISSON - univ-rennes1fr
Le processus de Poisson modélise de manière très convenable les émissions radioactives de l’uranium 235 : l’observation de son processus de désintégration -très lent- montre qu’il est stationnaireetàaccroissementsindépendants
Searches related to exercices corrigés processus de poisson PDF
Correction de l’exercice 34 : processus de Poisson et paradoxe de l’autobus MDI 101 - Probabilit es - Groupe 5 1 Soit h: Rn!R une fonction bor elienne born ee E[h(T 1;T 2;:::;T n)] = E[h(S 1;S 1 + S 2:::;S 1 + + S n)] = Z [0;+1[n h(s 1;s 1 + s 2:::;s 1 + + s n) ne (s 1+s 2+ +s n)ds 1ds 2:::ds n: On e ectue le changement de variable
Quels sont les exercices autour de la loi de poisson ?
Lyce?e Dominique Villars ECE 2 TD TD - Exercices autour de la loi de Poisson . . . Exercice 1. Dans le de?partement des Hautes-Alpes, le nombre annuel d’accidents de la route mettant en cause un camion suit la loi de Poisson de parame?tre 8. 1. Calculer la probabilite? d’avoir une anne?e plus de 2 accidents de ce type. 2.
Comment calculer le processus de poisson ?
Soit N(t) le nombre de poissons attrapés sur l’intervalle de temps [0,t]. Sous les hypothèses que le nombre de poissons dispo- nible est grand, qu’en tout instant, ils sont susceptibles de mordre à l’hameçon et que tous les pêcheurs ont la même chance d’en attraper, le processus {N(t),t? 0} peut être considéré comme un processus de Poisson.
Comment expliquer un processus de poisson dans le temps ?
En langage non mathématique, un processus de Poisson dans le temps est le processus qui est souvent le mieux adapté pour expliquer un processus "d’arrivées", ce dernier mot étant pris au sens large.
Comment faire un exercice de poisson?
Le poisson Exercices Documentaire Dessine un poisson de ton choix. Dessine bien les écailles, les nageoires, la bouche , l’ouie , et l’œil. 1-Le poisson a des écailles poils 2- Le poisson vole nage Place les mots à la bonne place.
EXERCICES DE CALCUL STOCHASTIQUE
M2IF Evry
Monique Jeanblanc
Universite d'EVRY
Mars 2009
2Contents
1 Rappels7
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.2 Variables gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121.6 Changement de probabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.7 Algebre beta-Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142 Mouvement Brownien 15
2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152.2 Processus Gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172.3 Brownien Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.8 Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.8.1 Partie I : Resultats preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242.8.2 Partie II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252.8.3 Partie III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263 Integrale d'It^o29
3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
373.5 Brownien geometrique et extensions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
383.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
4CONTENTS
4 Exemples45
4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
454.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
464.3 Autres processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
494.4 Des calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
505 Equations dierentielles stochastiques 51
5.1 Equation lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
555.3 Autres equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
555.4 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
565.5 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
576 Girsanov59
6.1 Resultats elementaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
596.2 Crochet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616.3 Processus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
616.4 Cas multidimensionel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
656.5 Temps d'arr^et. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
666.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
687 Complements75
7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
757.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
767.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
787.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
797.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
807.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
817.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
827.9 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
828 Processus a sauts 85
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
858.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
868.3 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
878.4 Temps de Defaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
888.5 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
881 Rappels, Corriges 91
1.1 Tribu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
911.2 Variables gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92CONTENTS5
1.3 Esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
941.4 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
961.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
971.6 Temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
981.7 Algebre beta-gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
981.8 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
982 Mouvement Brownien, Corriges 101
2.1 Proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1012.2 Processus Gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1052.3 Multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1072.4 Temps d'atteinte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1072.5 Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1092.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1092.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1113 Integrale d'It^o, Corriges 113
3.1 Integrale de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1133.2 Formule d'It^o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1143.3 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1183.4 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1183.5 Brownien geometrique et extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1193.6 Le crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1223.7 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1224 Exemples, Corriges 125
4.1 Processus de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1254.2 Processus de Bessel carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1264.3 Autres processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1274.4 Des Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1275 Equations dierentielles stochastiques, Corriges 129
5.1 Equation Lineaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1295.2 Processus anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1325.3 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1325.4 Equations dierentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1346 Girsanov, Corriges 135
6.1 Resultats elementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1356.2 Crochet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1356.3 Processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1366.4 Cas multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1386Rappels
6.5 Temps d'arr^et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1386.6 Finance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1397 Complements, Corriges 141
7.1 Theoreme de Levy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1417.2 Equations retrogrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1417.3 Theoremes de representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1427.4 Temps local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1427.5Lois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1437.6 Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1447.7 Options barrieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1447.8 Meandres, ponts, excursions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1458 Sauts, Corriges.149
8.1 Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1498.2 Poisson compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1508.3 Marche complets, incomplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152Chapter 1
Rappels
1.1 Tribu
Exercice 1.1.1
Ensembles appartenant a une tribu.
1. Montrer que siFest une tribu, et siAetBappartiennent aFavecAB, alorsBA2 F ouBAest l'ensemble des elements deBqui ne sont pas dansA. 2. Montrer que siCetDappartiennent aF, alorsCDdef=fC\Dcg [ fCc\Dgappartient a F.Exercice 1.1.2
Exemples de tribus.
1.Decrire la tribu engendree par un ensembleA.
2. Decrire la tribu engendree par deux ensemblesAetBdisjoints.Exercice 1.1.3
Fonctions indicatrices.
On note 11
Ala v.a. qui vaut 1 pour!2Aet 0 sinon.
1.Montrer que 11
A\B= 11A11B.
2.Montrer que, siA\B=;, on a 11A[B= 11A+ 11B.
3.Montrer que 11
BA= 11B11A.
4.Montrer que 11
A[B= 11A+ 11B11A\B.
Exercice 1.1.4
Union et intersection.
SoitF1etF2deux tribus. Montrer queF1\F2est une tribu. Montrer qu'en generalF1[F2n'est pas une tribu.Exercice 1.1.5
Tribu grossie par un ensemble.
SoitFune tribu etAn'appartenant pas aF. Montrer que la tribu engendree parFetA(c'est-a- dire la plus petite tribu contenantFetA) est composee des ensemblesBtels que il existeCetD appartenant aFveriantB= (C\A)[(D\Ac).Exercice 1.1.6
Tribu engendree par une v.a.
SoitXune v.a. sur un espace (
;G). La tribu engendree parX, notee(X), est la plus petite sous tribuFtelle queXsoit mesurable de ( ;F) dans (R;B). Elle est engendree parC=fF ;jF= X1(B);B2 B). Montrer queCest une tribu. Verier que siY=h(X) avechborelienne, alorsY
est(X) mesurable. On admettra que la reciproque est vraie. 78Rappels
Exercice 1.1.7
Lois de v.a.
Soit (X;Y) un couple de variables independantes et (Z;T) deux variables independantes telles que X loi=ZetYloi=T. 1. Soitfune fonction borelienne (bornee) deRdansR. ComparerE(f(X)) etE(f(Z)). 2. Soithune fonction borelienne (bornee) deR2dansR. ComparerE(h(X;Y)) etE(h(Z;T)).1.2 Variables gaussiennes
On noteNla fonction de repartition de la loi gaussienne standard:N(x) =1 p 2R x1eu2=2duet
N(m;2) la loi d' une v.a. gausienne d'esperancemet de variance2.Exercice 1.2.1
Moments.
SoitXune v.a.r. de loiN(0;2).
1.CalculerE(X3),E(X4),E(jXj) etE(jX3j).
2.CalculerE(expfX2+Xg) pour 1220.
3.Montrer queE(exp1
2 a2X2)) =E(exp(aXY)) ouYest independante deXet de m^eme loi.Exercice 1.2.2
Somme de variables gaussiennes independantes.
SoitXetYdeux v.a. gaussiennes independantes. Montrer queX+Yest une variable gaussienne.Precisez sa loi.
Exercice 1.2.3
Transformee de Laplace.
SoitXune v.a.r. de loiN(m;2).
1.Quelle est la loi de
Xm ? CalculerEjXmj. 2.Montrer queE(eX) = exp(m+1
222). CalculerE(XeX).
3. Dans le cas ouXest v.a. gaussienne standard montrer queE(expa2 2X2) =E(expaXX0) avec
XetX0i.i.d.
4.Soit (x) =1
p 2Z x 1 ey2 2 dy. Calculer, dans le casm= 0 et= 1 la valeur deE(11XbexpX) en fonction de (;;b). 5. Montrer queE(eXf(X)) =em+22=2E(f(X+2) pourfcontinue bornee. 6. Montrer que, sifest "reguliere"E(f(X)(Xm)) =2E(f0(X)).Exercice 1.2.4
Convergence.
Soit (Xn;n1) une suite de v.a. gaussiennes qui converge dansL2versX. Quelle est la loi deX?Exercice 1.2.5
Vecteur gaussien.SoitXun vecteur gaussien a valeurs dansRnetAune matrice (p;n). Montrer queAXest un vecteur gaussien. Preciser son esperance et sa variance.Exercice 1.2.6
Vecteur Gaussien.Soit (X;Y) un vecteur gaussien centre tel queE(XY) = 0.Montrer queXetYsont independantes.
Enonces9
Exercice 1.2.7
Projection.(*)
Rappel : projection dansL2: SoitAun sous espace deL2( ) engendre par les variables aleatoires Y1;:::;Yn, c'est-a-dire siZ2 A, il existe (ai) reels tels queZ=P
iaiYi. SoitX2L2. On appelle projection deXsurAl'unique elementPrXdeAtel queE((XPrX)Z) = 0;8Z2 A
Soit (X1;X2;:::;Xd;Y1;:::;Yn) un vecteur gaussien centre dansRd+n. Montrer queX= (X1;X2;:::;Xd) etY= (Y1;:::;Yn) sont deux vecteurs gaussiens centres. On supposed= 1. Montrer quePrXest une v.a. gaussienne(Y) mesurable, telle queXPrX etYsont independantes.Exercice 1.2.8
Caracterisation de vecteur gaussien.Soit (X;Y) deux v.a.r. telles queY est gaussienne et la loi conditionnelle deXaYest gaussienne de moyenneaY+bet de variance independante deY, c'est-a-dire queE(exp(X)jY=y) = exp((ay+b) +2 22). Montrer que le
couple (X;Y) est gaussien.1.3 Esperance conditionnelle
On travaille sur un espace (
;F;P) muni d'une sous-tribu deFnoteeG.Exercice 1.3.1
Montrer que, siXetYsont bornees
E(YE(XjG)) =E(XE(YjG))
Montrer que siXestG-mesurable etYest independante deG, pour toute fonction borelienne borneeE((X;Y)jF) = (X)
ou (x) =E((x;Y)).Exercice 1.3.2
Montrer que siX2L2,E(XjG) =YetE(X2jG) =Y2alorsX=Y.Exercice 1.3.3
Soit (X;Y) independantes,Xstrictement positive etZ=XY. CalculerE(11ZtjX) en utilisant la fonction de repartition deY.Exercice 1.3.4
Soit (X;Y) independantes, equidristibuees etM= max(X;Y). CalculerE(11XtjM).Exercice 1.3.5
Conditionnement et independance.
SoitX;Ydeux v.a. telles que la v.a.XYest independante deG, d'esperancemet de variance2. On suppose queYestG-mesurable. CalculerE(XYjG):En deduireE(XjG). Calculer
E((XY)2jG). En deduireE(X2jG).
Exercice 1.3.6
Vecteur gaussien(*)Suite de l'exercice 1.2.7
Soit (X;Y1;:::;Yn) un vecteur gaussien centre dansR1+n. Montrer queE(XjY) =PrX.On supposen= 1. Montrer queE(XjY) =Y. Determiner.
Exercice 1.3.7
SoitX=X1+X2. On suppose queX1est independante deG, queX2estG mesurable et queX1est gaussienne. 1.CalculerE(XjG) et var (XjG).
10Rappels
2.CalculerE(eXjG).
Exercice 1.3.8
Covariance conditionnelle.SoitZ1;Z2deux variables aleatoires de carre integrable.On denit
Cov(Z1;Z2jG) =E(Z1Z2jG)E(Z1jG)E(Z2jG):
Montrer que
Cov(Z1;Z2jG) =E[(Z1E(Z1jG))Z2jG]:
Exercice 1.3.9
Tribu grossie.
SoitA =2 GetA2 FetXune v.a. integrable. On noteHla tribu engendree parGetA. (Voir exercice 1.1.5). On admettra que les v.a.Zqui sontHmesurables s'ecriventZ=Y111A+Y211Ac, ou les v.a.YisontG-mesurables. Montrer queE(XjH) =E(X11AjG)
E(11AjG)11A+E(X11AcjG)
E(11AcjG)11Ac
Exercice 1.3.10
Linearite.SoitZ=Y+, avec6= 0. Montrer queE(aX+bjZ) =aE(XjY)+b.Exercice 1.3.11
Grossissement progressifSoitFune tribu. On considere la tribuGengendree par^1 ouest une v.a. a valeurs dansR+. 1. Montrer que toute v.a.Gmesurable s'ecrith(^1) ouhest borelienne. 2. Montrer que, siXest une v.a.Fmesurable,E(XjG)111=A111ouAest une constante.Montrer que
A=E(X111)=P(1).
Exercice 1.3.12
Conditionnement et independance 1.SoitG1etG2deux-algebres independantes, G=G1_G2et (Xi;i= 1;2) deux variables aleatoires bornees telles queXiestGimesurable. Montrer queE(X1X2jG) =E(X1jG1)E(X2jG2).Exercice 1.3.13
Conditionnement et independance 2.Montrer que siGest independante de (X)_ F,E(XjG _ F) =E(XjF).Exercice 1.3.14
Formule de Bayes.SoitdQ=LdPsur (
;F) etGune sous-tribu deF.Montrer que
EQ(XjG) =1
EP(ZjG)EP(ZXjG):
Montrer que
EQ(XjG) =EP(XjG);8X2 F
si et seulement siLestGmesurable.Exercice 1.3.15
Soitfetgdeux densites strictement positives surR. SoitXune v.a. de densite fsur un espace ( ;P). Montrer qu'il existe une probabiliteQsur cet espace telle queXsoit de densiteg.Exercice 1.3.16
Independance conditionnelleSoit (Ft) et (Gt) deux ltrations. 1. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes. (H1)pour toutt, les tribusF1etGtsont conditionellement independantes par rapport aFt. (H2)8F2 F1;8Gt2 Gt;E(FGtjFt) =E(FjFt)E(GtjFt) (H3)8t;8Gt2 Gt;E(GtjF1) =E(GtjFt) (H4)8t;8F2 F1;E(FjGt) =E(FjFt).Enonces11
2. SoitFetGdeux ltrations telles queFt Gt. Montrer que (H) TouteF-martingale de carre integrableest uneG-martingale equivaut a (H1). 3. Dans le casGt=Ft_(t^) ouest un temps aleatoire, montrer que (H1) equivaut a (H5)8st;P(sjF1) =P(sjFt).1.4 Martingales
L'espace
est muni d'une ltration (Ft).Un processusMest une martingale si
- pour toutt,Mtest integrable; - pour toutt > s,E(MtjFs) =Ms;p.s.On dit queMest une surmartingale si
-Mtest adapte, integrable; -E(MtjFs)Ms;8st. Le processusMest une sousmartingale siMest une surmartingale.Exercice 1.4.1
Exemple de base.SoitXune v.a. integrable. Montrer que (E(XjFt);t0) est une martingale.Exercice 1.4.2
Surmartingale.
1. Montrer que siMest une martingale etAun processus croissant adapte (AsAt;8st) alorsMAest une surmartingale. 2.SoitMune martingale. Que peut-on dire deM2?
quotesdbs_dbs35.pdfusesText_40[PDF] cours files d'attente pdf
[PDF] file dattente m/m/1/k
[PDF] drogues les plus consommées dans le monde
[PDF] file d'attente m/m/s
[PDF] statistique drogue 2015
[PDF] chiffre d'affaire de la drogue dans le monde
[PDF] onudc recrutement
[PDF] consommation de drogue par pays
[PDF] nombre de drogue dans le monde
[PDF] filière es matières
[PDF] filière es wikipédia
[PDF] montrer que l'action politique ne se limite pas au vote
[PDF] filière es premiere
[PDF] le répertoire de l'action politique se limite-t-il au vote ?
