Cours darithmétique PDF Un entier n est toujours

Divisibilité dans Z. Nombres premiers.

n est un entier naturel. a=n3. ?n et b=2n3. + 3n2. + n. 1. Démontrer que a p?? alors 2n+ 1=2(3 p+ 1)+ 1=6 p+ 3=3(2 p+ 1) alors b est divisible par 3.

DIVISION EUCLIDIENNE - Exercices corrigés

m2 = 17 ( 17 q2 + 16 q +3 ) + 13. Exercice 2. Démontrer que quels que soient les entiers relatifs a et b

CORRECTION Exercice 1 spécialité

Donc pour tout r ? {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} 3r n'est pas divisible par 7. Donc : pour tout n ? IN

MULTIPLES DIVISEURS

https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19NombreEntierM.pdf

Arithmétique dans Z

de n par 4 n'est jamais égal à 3. Correction ?. Vidéo ?. [000267]. Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le

Exo7 - Exercices de mathématiques

2. Montrer que N N. ?.

Cours darithmétique

Un entier n est toujours divisible par 1 ?1

1/ Démontrer par récurrence que pour tout n entier naturel 6 divise

Soit la relation de récurrence P(n) : « 6 divise n3 + 5n » aussi notée « 6

Devoir n°2 - 2016 corrigé

conclusion Pour tout entier naturel n 44n+2 - 3n+3 est divisible par 11. Exercice 4 : une équation en congruence modulo 6 donc disjonction des cas.

Exercices de mathématiques - Exo7

Montrer que pour tout entier naturel n

Exo7 - Exercices de mathématiques

Si n est multiple de 3 n et 5n3 sont multiples de 3 de même que 5n3 +n Si n est de la forme 3p+1 alors 5n2 +1 =5(3p+1)2 +1 =45p2 +30p+6 =3(9p2 +10p+2) et 5n2 +1 est divisible par 3 Il en est de même de 5n3 +n=n(5n2 +1) Si n est de la forme 3p+2 5n2 +1 = 5(3p+2)2 +1 = 45p2 +60p+21 = 3(9p2 +20p+7) et 5n2 +1 est divisible par 3 Il en est

NOMBRES RÉELS (Partie 1)

Tronc commun science biof Exercices corrigés d'arithmétique dans N 3 – 2Soient m et n deux entiers naturels impairs montrer que 8 divise m2+ n + 6 m et n deux entiers naturels impairs m22+ n 2+ 6 = m2+ n 2 + 2 + 6 = m 1 + n2 1 + 8 m et n sont impairs donc m2 1 et n2 1 sont des multiples de 8

DIVISIBILITE DIVISION EUCLIDIENNE´

n: N = 4n ?1 est divisible par 3 – Pour n= 0 N = 40 ?1 = 1?1 = 0 Et 0 est divisible par 3 Donc la propri´et´e est vraie pour n= 0 – On suppose la propri´et´e vraie au rang n et montrons qu’elle est alors vraie au rang n+ 1 autrement dit montrons que 4n+1 ?1 est divisible par 3 4n+1 ?1 = 4n ×4?1 = 4n ×4?4+3 = 4

Feuille d'exercices o17 : Polynômes - CNRS

1 Montrer que (X?1)3 divise nX n+2 ?(n+ 2)X +1 + (n+ 2)X?n; 2 Donner la multiplicité de 1 comme racine de nX n+1 ?(n+ 1)X n + 1 3 Déterminer le reste de la division euclidienne de X n (X+ 1) 2 par (X+ 1)(X?2)

Searches related to montrer que n^3 n est divisible par 3 PDF

1)Montrer quenest divisible par 4 si et seulement si l’entier obtenu en ne conservant que les chiffres a0eta1l’est 2)Montrer quenest divisible par 3 (resp 9) si et seulement si la sommea0+ +arl’est 3)Déterminer une condition nécessaire et suf?sante sura0 arpour quensoit divisible par 11 5 Soientxyz? Z

Est-ce que un nombre est divisible par 3?

Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. Or, ceci est impossible car la somme des chiffres de 105 est 1, et 1 n’est pas divisible par 3. Donc l’hypothèse posée au départ est fausse et donc n’est pas décimal II. Notions de nombres réels

Comment savoir si la partie 9 est divisible par 3 ?

La partie 9 (11a+b) est obligatoirement divisible par 3... puisque divisible par 9... donc 231 (ou tout nombre a trois chiffres 'abc') est divisible par 3 si l'addition 'a+b+c' est divisible par 3. On vient donc de re-prouver le theorem de la divisibilite par 3 grace a la somme de ces chiffres.

Comment sont divisibles les chiffres ?

L'ensemble est divisible par 3. Les permutations des chiffres sont également divisibles par 3. Si le nombre central est divisible par 3, les nombres formés sont également divisibles par 9. En effet, si n central divisible par 9; ses deux voisins s'annihilent dans la division par 9.

Comment calculer la divisibilité par 3 ?

Les cas marqués en jaune, en quinconce, prouve la divisibilité par 3 dans tous les cas. Exemples: 7 + 5 = 12 = 3 x 4; 8 – 5 = 3; 10 + 5 = 15 = 3 x 5; etc. Quotient d'une division par 3 L'entierde la divisionpar 3 d'un nombre n est le nombre obtenu en divisant le nombre n moins son modulo3 par 3. Plancher (n/3) = (n – n mod 3) / 3

Cours d"arithm´etique

Premi`ere partie

PierreBornsztein

XavierCaruso

PierreNolin

MehdiTibouchi

D´ecembre 2004

Ce document est la premi`ere partie d"un cours d"arithm´etique ´ecrit pour les ´el`eves pr´e-

parant les olympiades internationales de math´ematiques. Le plan complet de ce cours est :

1. Premiers concepts

2. Division euclidienne et cons´equences

3. Congruences

4.´Equations diophantiennes

5. Structure deZ/nZ

6. Sommes de carr´es

7. Polynˆomes `a coefficients entiers

8. Fractions continues

Cette premi`ere partie traite les quatre premiers chapitres. Les quatre derniers chapitres forment quant `a eux la deuxi`eme partie de ce cours. Contrairement `a la seconde partie, cette premi`ere partie se veut le plus ´el´ementaire

possible. Les notions abstraites, souvent plus difficiles `a assimiler, mais qui clarifient les id´ees

lorsqu"elles sont comprises, ne sont ´evoqu´ees que dans la seconde partie. Nous conseillons au lecteur de bien maˆıtriser ce premier tome avant de passer `a la lecture du second.

Les notions et les th´eor`emes introduits ici sont g´en´eralement tout `a fait suffisants pour

traiter les exercices propos´ees aux olympiades internationales de math´ematiques.

Vous trouverez `a la fin de chaque chapitre une s´erie d"exercices de difficult´e variable mais

indiqu´ee par des ´etoiles

1. Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.

Nous vous souhaitons bon apprentissage et bonne lecture. 1 Plus nous avons jug´e l"exercice difficile, plus le nombre d"´etoiles est important. 1

Liste des abbr´evations :

AMM American Mathematical Monthly

APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad

CG Concours g´en´eral

OIM Olympiades Internationales de Math´ematiques

SL Short List

TDV Tournoi Des Villes

Liste des notations :

?ensemble vide

Nensemble des entiers naturels (positifs ou nuls)

N ?ensemble des entiers naturels strictement positifs

Zensemble des entiers relatifs

Qensemble des nombres rationnels

Rensemble des nombres r´eelsPsymbˆole de sommation2Qsymbˆole de produit3 a|b adiviseb [x]partie enti`ere dex {x}partie d´ecimale dex pgcdplus grand commun diviseur a?bpgcd(a,b) ppcmplus petit commun multiple a?bppcm(a,b) a≡b(modN)aest congru `abmoduloN pun nombre premier v p(n)valuationp-adique den d(n)nombre de diviseurs positifs den

σ(n)somme des diviseurs positifs den

?fonction indicatrice d"Euler s b(n)somme des chiffres denen baseb π(n)nombre de nombres premiers inf´erieurs ou ´egaux `an a n...a0b´ecriture en baseb n!factorielle den:n! = 1×2× ··· ×n C k ncoefficient binomial : Ck n=n! k!(n-k)! u n≂vnles suites(un)et(vn)sont ´equivalentes 2 Une somme index´ee par l"ensemble vide est ´egale `a0.

3Un produit index´e par l"ensemble vide est ´egale `a1.

Table des mati`eres

1 Premiers concepts 4

1.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Valuationp-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Quelques fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Division euclidienne et cons´equences 24

2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Algorithme d"Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Congruences 37

3.1 D´efinition, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Ordre d"un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Congruences modulop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Congruences modulopn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

´Equations diophantiennes 56

4.1 Quelques r´eflexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Utilisation des congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4´Equations de degr´e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5´Equations de degr´e3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Corrig´e des exercices 75

5.1 Exercices de"Premiers concepts». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Exercices de"Division euclidienne et cons´equences». . . . . . . . . . . . . 103

5.3 Exercices de"Congruences». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 Exercices de"´Equations diophantiennes». . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1 Premiers concepts

Cette section, comme son nom l"indique, pr´esente le concept de base de l"arithm´etique,

`a savoir la divisibilit´e. On introduit ensuite les nombres premiers ce qui permet d"´enoncer le

th´eor`eme fondamental de l"arithm´etique (c"est-`a-dire la d´ecomposition en facteurs premiers)

dans lequel les nombres premiers jouent le rˆole de briques ´el´ementaires pour la fabrication

des nombres.

1.1 Divisibilit´e

D´efinition 1.1.1Siaetbsont deux entiers, on dit queadiviseb, ou quebestdivisible para, s"il existe un entierqtel queb=aq. On dit encore queaest undiviseurdeb, ou que best unmultipledea. On le notea|b.

Propri´et´es

Toutes les propri´et´es list´ees pr´ec´edemment sont imm´ediates, `a l"exception de la derni`ere dont

la d´emonstration n"est pas triviale sans bagage arithm´etique. Une preuve possible consiste

`a utiliser la caract´erisation de la divisibilit´e par les valuationsp-adiques (voir paragraphe

1.3). Voyons imm´ediatement deux exercices qui montrent comment on peut manipuler la no- tion de divisibilit´e :

Exercice

: Soientxetydes entiers. Montrer que2x+ 3yest divisible par7si et seulement si5x+ 4yl"est.

Solution

: Supposons que7divise2x+3y, alors il divise6(2x+ 3y)-7(x+ 2y) = 5x+4y. R´eciproquement si7divise5x+ 4y, il divise6(5x+ 4y)-7(4x+ 3y) = 2x+ 3y.⎷

Exercice

: Pour quels entiersnstrictement positifs, le nombren2+ 1divise-t-iln+ 1?

Solution

: Sin2+1divisen+1, comme tout est positif, on doit avoirn2+16n+1, ce qui n"est v´erifi´e que pourn= 1. On v´erifie ensuite quen= 1est bien solution.⎷ 4

Parties enti`eres

D´efinition 1.1.2Sixest un r´eel, on appellepartie enti`eredex, et on note[x], le plus grand entier inf´erieur ou ´egal `ax. Ainsi, on a[x]6x <[x] + 1. Remarque.On d´efinit aussi lapartie d´ecimaledex, comme la diff´erencex-[x]. La partie

d´ecimale dexest souvent not´ee{x}. Cette notion est moins utilis´ee que la notion de partie

enti`ere et les conventions de notations sont moins usuelles `a ce propos : lors d"un exercice,

ou d"un expos´e, il est toujours de bon goˆut de commencer par pr´eciser les notations qui vont

ˆetre employ´ees par la suite.

Notons qu"il fautˆetre prudent avec les nombres n´egatifs : autant pour les nombres positifs, la partie enti`ere correspond au nombre auquel on retire ses chiffres apr`es la virgule, autant

ce n"est pas le cas pour les nombres n´egatifs. En effet, si on suit la d´efinition, on voit par

exemple que[-3,5] =-4.

Les parties enti`eres et parties d´ecimales ob´eissent `a quelques propri´et´es ´el´ementaires que

nous listons ci-dessous :

Propri´et´es ´el´ementaires

+On a toujoursx= [x] +{x}. +Pour tout r´eelx, on ax-1<[x]6x +Sixest entier,[x] =xet{x}= 0. Et r´eciproquement si l"une des deux ´egalit´es est v´erifi´ee, alorsxest entier. +[-x] =-[x]-1sauf sixest entier, auquel cas[-x] =-[x]. +Sixetysont deux r´eels,[x] + [y]6[x+y]6[x] + [y] + 1. +Sim >0est un entier, alors il y a exactement[x m ]multiples demcompris entre1et x.

La d´emonstration des propri´et´es consiste en de simples manipulations de la d´efinition et

principalement de l"in´egalit´e[x]6x <[x] + 1. Elle est laiss´ee au lecteur. On remarquera que tr`es souvent les questions faisant intervenir des parties enti`eres se r´esument `a de la manipulation d"in´egalit´es comme le montre par exemple l"exercice suivant :

Exercice

: On suppose que4n+ 2n"est pas le carr´e d"un nombre entier. Montrer que pour n>0, on a :h⎷ n+⎷ n+ 1i =h⎷

4n+ 2i

Solution

: Remarquons tout d"abord que l"on a toujours l"in´egalit´e : n+⎷ n+ 1<⎷ 4n+ 2 En effet, en ´elevant au carr´e, on a `a comparer2n+ 1 + 2⎷ n

2+net4n+ 2, soit2⎷

n 2+n

et2n+ 1et l"in´egalit´e devient ´evidente apr`es une nouvelle ´el´evation au carr´e.

Il reste `a prouver qu"il n"existe aucun entierktel que : n+⎷ n+ 1< k6⎷ 4n+ 2 5 soit, encore en ´elevant au carr´e qu"il n"existe aucun entierktel que :

2n+ 1 + 2⎷

2+n < k264n+ 2

Mais il est clair que4n+ 1<2n+ 1 + 2⎷

2+net un tel entierkv´erifiraita fortiori

4n+ 1< k264n+ 2. Commekest entier, il vient forc´ementk2= 4n+ 2, mais cela n"est

pas possible puisque l"on a suppos´e que4n+ 2n"´etait pas le carr´e d"un entier.⎷ Remarque.En fait,4n+ 2n"est jamais le carr´e d"un entier. En effet, le nombre4n+ 2est

pair, et s"il ´etait le carr´e d"un entier, il serait le carr´e d"un entier pair. Mais alors4n+ 2

devrait ˆetre un multiple de4, ce qui n"est, `a l"´evidence, pas le cas. L"´egalit´e pr´ec´edente de

parties enti`eres est donc valable pour tout entiern>1, sans hypoth`ese suppl´ementaire. Une propri´et´e amusante des parties enti`eres qui montre ´egalement que parfois (souvent)

les manipulations d"in´egalit´es ne sont pas faciles est le th´eor`eme de Beatty que voici :

Th´eor`eme 1.1.3 (Beatty)Soientαetβdeux r´eels strictements positifs. On noteSα

(resp.Sβ) l"ensemble des entiers strictement positifs qui s"´ecrivent sous la forme[nα](resp.

[nβ]) pour un certain entiern. Les ensemblesSαetSβforment une partition deN?si, et seulement siαetβsont irrationnels et v´erifient 1 +1 = 1. D´emonstration.Commen¸cons par supposer queαetβsont des irrationnels v´erifiant1 1 = 1. Soitkun entier strictement positif. Il est dans l"ensembleSαsi et seulement s"il existe un entierntel que : nα-1< k < nα

l"in´egalit´e de droite ´etant stricte carαest suppos´e irrationnel. L"´equation se transforme et

donne :k ff

¡ n ¡k

ff +1 ff ,k ff +1

£contient un entier. De mˆeme

k?Sβsi et seulement si l"intervallei k fi ,k fi +1 h contient un entier. ff ,k ff + 1£est de longueur1et ses bornes sont irrationnelles, donc il contient un et un seul entiern. Sin ¡ k+ 1-n fi +1

et donck?Sβ. Sik´etait `a la fois ´el´ement deSαet deSβ, il y aurait un entier dans

ffquotesdbs_dbs35.pdfusesText_40

[PDF] montrer que n(n 1)(n 2)(n 3) est divisible par 24

[PDF] الموقع الرسمي للتكوين المهن

[PDF] التكوين المهني بالمغرب

[PDF] ofppt sidi maarouf

[PDF] التسجيل في التكوين المهني

[PDF] ista meknes

[PDF] takwine

[PDF] rapport pisa 2016 france

[PDF] pisa classement

[PDF] pisa 2015 france

[PDF] résultats pisa 2016

[PDF] pisa 2016 results

[PDF] classement pisa 2017

[PDF] sujet concours police municipale 2016

[PDF] annales concours police municipale gratuit

[PDF] Cours darithmétique Un entier n est toujours

Est-ce que un nombre est divisible par 3?

Comment savoir si la partie 9 est divisible par 3 ?

Comment sont divisibles les chiffres ?

Comment calculer la divisibilité par 3 ?

Cours d"arithm´etique

Premi`ere partie

PierreBornsztein

XavierCaruso

PierreNolin

MehdiTibouchi

D´ecembre 2004

1. Premiers concepts

2. Division euclidienne et cons´equences

3. Congruences

4.´Equations diophantiennes

5. Structure deZ/nZ

6. Sommes de carr´es

7. Polynˆomes `a coefficients entiers

8. Fractions continues

1. Toutes les solutions sont rassembl´ees `a la fin du document.

Liste des abbr´evations :

AMM American Mathematical Monthly

APMO The Asian Pacific Mathematics Olympiad

CG Concours g´en´eral

SL Short List

TDV Tournoi Des Villes

Liste des notations :

Nensemble des entiers naturels (positifs ou nuls)

Zensemble des entiers relatifs

Qensemble des nombres rationnels

σ(n)somme des diviseurs positifs den

3Un produit index´e par l"ensemble vide est ´egale `a1.

Table des mati`eres

1 Premiers concepts 4

1.1 Divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Valuationp-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Quelques fonctions arithm´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Division euclidienne et cons´equences 24

2.1 Division euclidienne et d´ecomposition en baseb. . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Algorithme d"Euclide ´etendu et th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Lemme de Gauss et cons´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Congruences 37

3.1 D´efinition, premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Crit`eres de divisibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 Ordre d"un ´el´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4 Th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.5 Congruences modulop. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.6 Congruences modulopn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

´Equations diophantiennes 56

4.1 Quelques r´eflexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Utilisation des congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4´Equations de degr´e2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.5´Equations de degr´e3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 Corrig´e des exercices 75

5.1 Exercices de"Premiers concepts». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Exercices de"Division euclidienne et cons´equences». . . . . . . . . . . . . 103

5.3 Exercices de"Congruences». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.4 Exercices de"´Equations diophantiennes». . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

1 Premiers concepts

1.1 Divisibilit´e

Propri´et´es

Exercice

Solution

Exercice

Solution

Parties enti`eres

ˆetre employ´ees par la suite.

Propri´et´es ´el´ementaires

Exercice

4n+ 2i