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Électronique 6 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires,

phénomènes de résonanceÉlectronique 6 - Travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018

Analyse fréquentielle des systèmes linéaires, phénomènes de résonanceExercices

Exercice 1 : Circuit bouchon []Ci

Ci LrL

e=E0cos(ωt)Considérons un dipôle constitué d"une bobine (inductanceLet résistance interner)

montée en dérivation avec un condensateur (capacitéC). Il est alimenté par la tension sinusoïdalee(t)de pulsationωvariable.

1 -Question préliminaire : exprimer l"impédance complexeZsd"un dipôle oùr,LetC

seraient montésen série, d"abord en fonction des composants puis de la résistancer, de la pulsation propreω0= 1/⎷LCet du facteur de qualitéQ=Lω0/r.

2 -Exprimer l"impédance complexeZdu dipôle parallèle sous la forme

Z= rjCω Zs?

1 +jQωω

0?

3 -Montrer que lorsque le facteur de qualité est très élevé (Q?1) et la pulsationωpas trop faible (ω?ω0/Q)

l"impédanceZpeut se mettre sous forme approchée Z? Q2r2Z s. On se place dans ces hypothèses pour toute la suite de l"exercice.

4 -Montrer que|Z|est maximal lorsqueω=ω0. Quel est alors le comportement du circuit? Justifier sa dénomination

de " circuit bouchon ».

5 -On se place àω=ω0. Déterminer en fonction deE0,Qetrles intensités réellesiC(t)etiL(t)qui traversent

respectivement le condensateur et la bobine. Commenter les résultats obtenus.

Exercice 2 : Circuit RLC série forcé en courant []La question 3 est très (trop) calculatoire. Le reste de l"exercice, classique et à maîtriser, peut être

travaillé en admettant les expressions deω1,2.i(t)R C

LuConsidérons un circuit RLC série alimenté par un générateur idéal de courant imposant

i(t) =Imcos(ωt).

1 -Déterminer l"amplitude complexeUet l"écrire sous la forme

U=R?

1 +jQ?ωω

0-ω0ω

I.

2 -Justifier que ce circuit ne présente pas de résonance en tension, mais une anti-résonance pour laquelle le rap-

portUm/Imest minimal. Déterminer la pulsation d"anti-résonanceωa. Que vaut le déphasage entreietuà cette

pulsation? L"existence de l"anti-résonance dépend-elle du facteur de qualité du circuit?

3 -On s"intéresse à la largeur en fréquence de l"anti-résonance. Montrer que les pulsationsω1etω2> ω1telles

que|U(ω1)|=|U(ω2)|=⎷2|U(ωa)|sont données par

1,2= Ω±ω02QavecΩ =ω02

?1 Q 2-4. En déduire la largeurΔω=ω2-ω1de l"anti-résonance.

4 -Des relevés expérimentaux deUm/Imet du déphasage deupar rapport àisont représentés figure 1. En déduire

la fréquence propre et le facteur de qualité du circuit.

1/3Étienne Thibierge, 22 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

TD E6 : Analyse fréquentielle, résonances Langevin-Wallon, PTSI 2017-2018

012345

f[kHz]0.00.20.40.60.81.01.21.4U m/Im[kω]012345 f[kHz]-2.0-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5?[rad]Figure 1-Mesures d"amplitude et de déphasage. Exercice 3 : Résonance en courant d"un moteur []IZ mZ eZ 0V moteurUn moteur à ultrasons est alimenté par une tension sinusoïdale d"amplitude complexeV, on noteIl"amplitude complexe du courant passant dans le moteur. Pour que le rendement du moteur soit optimal, il doit être alimenté à une fréquence égale à sa fréquence de résonance en courant. Le moteur est équivalent au schéma ci-contre.Z0représente l"impédance com- plexe intrinsèque du moteur. Les phénomènes électromécaniques au sein du moteur sont pris en compte, sur ce schéma, par une impédanceZmappelée impédance motionnelle et par une impédanceZcdont la valeur est fonction de la charge mécanique du moteur.

Le dipôle d"impédanceZ0est constitué d"une résistanceR0= 18kΩen parallèle d"un condensateurC0= 8nF.

L"impédance motionnelleZmest celle d"un circuit RLC série avecR= 50Ω,L= 0,1HetC= 0,2nF. Enfin,

l"impédance de chargeZccorrespond à une résistanceRcdans un premier temps prise égale à 50ω.

1 -Reproduire le schéma du moteur en remplaçant les élémentsZ0,ZmetZcpar les résistances, inductances et

condensateurs qui leur correspondent.

2 -Déterminer la pulsation de résonance en courantωsdu circuit série constitué deZmetZc.

On noteYl"admittance complexe équivalente à l"ensemble du moteur. La figure 2 représente l"évolution du

moduleY=|Y|en fonction de la pulsation réduitex=ω/ωs.0.91.01.11.2x024681012

Y[10-3ω-1]0.991.001.01024681012

Figure 2-Module de l"admittance du moteur en fonction de la pulsation réduite.La courbe en insert représente

un zoom de la courbe principale au voisinage dex= 1.

3 -Justifier que la résonance en courant correspond au maximum de la courbe d"admittance. Déterminer numéri-

quement la fréquencefrde résonance du moteur.

4 -Comparer numériquementY0=??Y0?

?etYsle module de l"admittanceYs= 1/(Zm+Zc)lorsqueω=ωs. Commenter l"écart entreωsetωr.

5 -Une modification de la charge mécanique du moteur provoque une variation de la résistanceRcde l"ordre d"une

dizaine d"ohms. Cette variation a-t-elle un effet significatif sur la fréquence de résonance en courant? En quoi est-ce

un avantage pour le fonctionnement du moteur?

2/3Étienne Thibierge, 22 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

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Exercice 4 : Suspension d"un VTT []Cressort

amortisseurroueMm z

0zLe but de cet exercice est d"étudier les caractéristiques d"une suspension de

VTT. Le VTT est modélisé par un solide de massemdécrivant le cadre et le vététiste, repéré par la position d"un pointM, posé sur une unique suspension. L"effet de la roue arrière n"est pas pris en compte. La suspension est modélisée par un ressort de raideurket de longueur à videL0attaché enMdont l"autre extrémité est fixée au centreCde la roue, qui suit exactement le profil du chemin. Les positions deMetCsont repérées par leurs abscisseszetz0sur un axe verticalOzascendant tel quez0= 0corres- ponde à la position moyenne du chemin. Outre le ressort, la suspension contient un amortisseur fluide de coefficient d"amortissementα. L"effet de l"amortisseur sur le mouvement deMse modélise par une force #Fa=-α(vz-vz0)#uz oùvz= zetv0= z0sont les vitesses verticales respectives deMetC. La raideurket le coefficientαpeuvent être réglés par l"intermédiaire de la pression en huile et en air dans la suspension.

1 -Lorsque le VTT se déplace sur une route plate et lisse,z0= 0, et la cotez

est constante, de valeurze, en régime dit stabilisé. Déterminerzeen fonction de m,g,ketL0.

2 -Considérons maintenant le VTT se déplaçant sur un chemin bosselé. On poseZ(t) =z(t)-ze. Montrer queZ(t)

vérifie une équation différentielle de la forme m

¨Z+αZ+kZ=F(t),

oùF(t)est une fonction à déterminer, dépendant dez0, dev0et des constantesαetkcaractéristiques de la suspension.

Préciser le sens physique deF.

3 -On considère le cas où le profil du chemin est tel queF(t)est une fonction sinusoïdale d"amplitudeFmet de

pulsationω.

3.a -Pourquoi ne perd-on pas en généralité en faisant cette hypothèse?

3.b -Justifier que la vitessevd"oscillation verticale du VTT est également sinusoïdale de même pulsation queF.

Cacluler son amplitudeVmen fonction deFm.

4 -La fonction de transfert de la suspension est définie parH=Z/z

0, et on introduit les paramètres adimensionnés

0=?k m , ξ=α2 ⎷mk etu=ωω 0. Que représente physiquementH? ExprimerHen fonction deξetu.|H(u)|u1

0,75Pour un VTT se déplaçant à la vitesse (horizontale!)Vsur un chemin fait de

cailloux de taille typique?, le spectre d"excitation est maximal autour deω= 2πV/?. La figure ci-contre représente l"allure de|H(u)|pourξ= 1.

5 -Pour un meilleur confort, vaut-il mieux rouler vite ou lentement? Commenter.

3/3Étienne Thibierge, 22 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

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4/3Étienne Thibierge, 22 janvier 2018,www.etienne-thibierge.fr

Électronique 6 - Correction des travaux dirigésLangevin-Wallon, PTSI 2017-2018 Analyse fréquentielle des systèmes linéaires,

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Exercice 1 : Circuit bouchon

1Les impédances s"ajoutant en série,

Z s=r+jLω+1jCω.En factorisant parr, Z s=r?

1 +jLωr

+1jrCω? À partir des expressions données deQetω0, on identifie Qω 0=Lr etQω0=Lω20r =LrLC =1rC

." L"astuce » qui consiste à exprimerQω0etω0/Qen fonction des composants pour pouvoir identifier

sert très souvent. Il peut être bon de la retenir.On en déduit Z s=r?

1 +jQωω

0+Qω0jω?

et en factorisant de nouveau Z s=r?

1 +jQ?ωω

0-ω0ω

.Pour partir dans la bonne direction sur cette question, il est nécessaire d"avoir déjà une certaine idée

du résultat ...2En sommant les admittances montées en parallèle,

1Z=jCω+1r+jLω=1 +jCω(r+jLω)r+jLω

d"où Z= r+jLω1 +jCω(r+jLω).Factorisons parrau numérateur et par jCωau dénominateur : Z= r?quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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