[PDF] Martingales discrètes Toute martingale bornée dans

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Chapitre3

Martingalesdiscrètes

Résumé.Étantdonnéune spacedeprobabi litéfil tréparF=(F n n!N unemartingaleestunpro cessus(X n n!N adaptéàlafiltra tion ettelque E[X n+1 |F n ]=X n pourtoutn.Cet teclassedepr ocessuseststablep ar intégrationstochastiquecontr edesprocessus prévisibles,etparcoupure pardestempsd'arr êt.ToutemartingalebornéedansL 1 !,B,P)converge p.s.,etda nsL 1 siet seulementsi elleestuniformément intégrabl e.T oute martingalebornéedansL p !,B,P)avecp>1convergep.s.etdansL p Cettethéories 'appliqueenparticuli erauxmarchesaléatoiresetaux processusdebranchement. Danscecha pitre,(!,B,P)estunespace deprobabilité,et F=(F n n!N estunefil- trationdel'espace,c'est-à- direune suitecroissantede sous-tribusdeB.Danslecadrede processusàtempsdiscretdéfinis sur(!,B,P),ilfautcomprendreF n commel'ensem ble desévénemen tsmesurablesautempsn.Ainsi,ondiraqu'unesuitedevariablesaléa- toires(X n n!N définiessur (!,B,P)formeunprocessusadaptérelativementàlafiltration (F n n!N siX n estF n -mesurablepourtouttemps n.Toutprocessusestadaptéàlafil- trationqu'ilengendre,définiepar F n =!(X 0 ,...,X n ).Onauraégalementbesoindela notiondeprocessusprévisible:ainsi,(X n n"1 estditprévisible siX n estF n#1 -mesurable pourtoutte mpsn!1.

1.Ma rtingalesetleurstransformations

1.1.Exemp lesélémentairesdemartinga les.Danscequi suit,unproc ess usaléa-

toire(X n n!N seraditin tégrablesi touteslesvariablesX n leso nt. Définition3.1(Marti ngales).Unpro cessusaléatoire(X n n!N (àvaleurs dansR)est appelémartingales'ilest adapté,intégrableetsi, pourtout n, E[X n+1 |F n ]=X n Onp arledesur-martingalesil'égalité estremplac éeparl'inégalitéE[X n+1 |F n ]"X n ,et desous-martingale sil'égalitéestremplac éep arl'inégalit éE[X n+1 |F n ]!X n Étantdonnéeun emartingale,onapl usgénéral ementetparconditionnementssucces sifs E[X N |F n ]=X n pourN!n,etE[X n ]=E[X 0 ]pourtoutn#N.

Exemple.Soit(Y

n n"1 unesuite deva riablesa léatoiresintégrablesetindépendantes (maispasforcémen tdemêmeloi), F=(F n n!N lafiltratio nengendréeparcesva riables, 33

343.MA RTING ALESDISCRÈTES

etX n n k=1 Y k .C'e stunprocess usadap té,etsichaqueY n vérifieE[Y n ]=0,alorsc'est unemarting ale,car E[X n+1 |F n ]=E[X n |F n ]+E[Y n+1 |F n ]=X n +E[Y n+1 ]=X n Enp articulier,lesmarchesaléatoiressimp lessurZsontdesmartingales(et plusgé- néralement,lesmarchesaléa toiresd ontlesincrémentsi.i.d.o ntmoyennenulle).Sil'on remplacel'hypo thèseE[Y n ]=0parE[Y n ]!0(respectivement,E[Y n ]"0),on obtient unesous- martingale(resp.,unesur-martingale).

Exemple.Soit(Y

n n"1 unesuite devariables aléato irespositives,bornéesetindé- pendantes,F=(F n n!N lafiltra tionengendréeparcesva riables,etX n n k=1 Y k .C'e st unprocessus adapté,etsi chaqueY n vérifieE[Y n ]=1,alorsc'estunemartingale,car E[X n+1 |F n ]=E[X n Y n+1 |F n ]=X n E[Y n+1 ]=X n

Exemple.Soit(X

n n!N unechaîne deMarkovdematriced etrans itionPsurun espaced'étatsX.UnefonctionsurXestditeharmoniquepourPsipour toutx#X, f(x)=(Pf)(x)= y!X

P(x,y)f(y).

Danscec as,leproc essus(f(X

n n!N estunemartingale pourla filtrationengendréepar lachaî nedeMarkov,carE[f(X n+1 )|F n ]=Pf(X n )=f(X n ).Onobtientdemêmedes sous-etdes sur-martingalesàpartir defonctions sous-ousur-h armoniques. Exemple.SoitXuneva riablealéatoireintégrable,et X n =E[X|F n ],avecFfiltration fixéesurl'espa cedepro babilité(!,B,P).Leprocessus(X n n!N estunema rtingale parla propriétédesconditionnemen tssuccessifsdu chapitre1. D'unpointde vueabstrait,lan otiond emarting alepermetdemesurerladi

érence

entreprocessusadaptés etprocessusprévisibles : Proposition3.2(Décomp ositiondeDoob).Toutproces susadaptéintégrable(X n n!N s'écritdemanièreuniquecomme sommed'unemar tingale(M n n!N etd'un pro cessus prévisible(P n n!N issude0.

L'existenceest donnéepa rlesformules

M n+1 $M n =X n+1 $E[X n+1 |F n P n+1 $P n =E[X n+1 |F n ]$X n quifourniss entunedéfinitionrécursivedesdeuxcomp osan tesdeX n ,avecM 0 =X 0 et P 0 etprévisibleest constantau coursdutemps.

1.MAR TINGALESETLEURSTRANSFORMATIONS35

1.2.Tra nsformationsdemartingales.Àpartird'unemartingale(X

n n!N ,ilexiste plusieursco nstructionsquipermettentd'obtenirde nouv ellesmartingales;dans lecadre desmarting alesàtempscontinu,cecimèneàla théoriedu calculstochastiqu ed'Itô.Dans lecadre desmartingalesà tempsdiscret,la théorieseréduitessentiellementauxrésul- tatssuivants.No tonsquesi(X n n!N estunesous-martingale, alors($X n n!N estune sur-martingale;lesrésultatsseron tdoncénoncés seulementp ourlessur-martingales. Théorème3.3(Int égralestochastiquediscrète).Soit(Xquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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