Correction Bac Nouvelle Calédonie mars 2017 PDF

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Nouvelle Calédonie mars 2017 - Corrigé

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Correction Bac Nouvelle Calédonie mars 2017

I On considère la fonctionfdéfinie et dérivable sur [0 ;+∞[ parf(x)=xe-x.

Partie A

1. On justifie les informations du tableau de variations defdonné ci-dessous :

x0 1+∞ 1 e f(x) 00 • La dérivée defestf?(x)=e-x+x(-1)e-x=(1-x)e-x.

Pour touts, e-x>0 doncf?(x) est du signe de 1-x, doncf?(x)>0 sur [0 ; 1[ etf?(x)<0 sur ]1 ;+∞[. Donc la fonctionf

est strictement croissante sur [0 ; 1], et elle est strictement décroissante sur [1 ;+∞[. •f(0)=0 • On détermine la limite de la fonctionfen+∞. f(x)=xe-x=x ex; on sait que limx→+∞e xx=+∞donc limx→+∞xex=0 et donc limx→+∞f(x)=0.

2. SoitFla fonction définie et dérivable sur [0 ;+∞[ parF(x)=(-x-1)e-x.

F Donc la fonctionFest une primitive de la fonctionfsur [0 ;+∞[.

Partie B

Soitaun nombre réel tel que 0 avec la courbeCf. On notexMl"abscisse du pointM.

On noteH(a) l"aire, exprimée en unités d"aire, du domaine hachuré sur le graphique ci-dessous, c"est-à-dire du domaine situé

sous la courbeCfau-dessus de la droiteDaet entre les droites d"équationx=0 etx=xM. 0,1 1D a Cf M1e -ln(a)

1. La droiteDaet la courbeCfse coupent en des points dont les abscisses sont solutions del"équationax=xe-x. On résout

cette équation : ax=xe-x??ax-xe-x=0??x(a-e-x)=0??x=0 oua-e-x=0??x=0 oua=e-x ??x=0 ou ln(a)=-x??x=0 oux=-ln(a) Donc la droiteDaet la courbeCfse coupent au point O et en un autre point d"abscisse-ln(a).

On admet dans la suite de l"exercice que le pointMa pour abscissexM= -ln(a) et que la courbeCfest située au-dessus de la

droiteDasur l"intervalle [0 ;-ln(a)].

2. LacourbeCfestaudessusdeladroiteDasurl"intervalle[0;-ln(a)],doncl"aireH(a)dudomainehachuréest?

-ln(a)

0?f(x)-ax?x..

H(a)=?

-ln(a)

0?f(x)-ax?x.=?

-ln(a) 0 f(x)x.-? -ln(a) 0 axx.=? F(x)? -ln(a) 0-? ax2 2? -ln(a) 0

Page 1/5

(ln(a)-1)e-(-ln(a))-(-1)e0? a(ln(a))22-0? =aln(a)-a+1-12a(ln(a))2

3. Soit la fonctionHdéfinie sur ]0 ; 1] parH(x)=xln(x)-1

2x(ln(x))2+1-x.

On admet queHest dérivable sur ]0 ; 1] et que son tableau de variations correspond à celui qui est proposé ci-dessous.

x0 1 1 H(x) 0

La fonctionHest continue et strictement décroissante sur l"intervalle]0 ; 1]. D"après le tableau de variations, limx→0

x>0H(x)=1

etH(1)=0. Or 0,5?]0 ; 1[, donc, d"après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l"équationH(x)=0,5 admet

une solution uniqueαdans ]0 ; 1[.

4. On considère l"algorithme présenté ci-dessous.

VARIABLES :A,BetCsont des nombres;

pest un entier naturel.

INITIALISATION : Demander la valeur dep

Aprend la valeur 0

Bprend la valeur 1

TRAITEMENT : Tant queB-A>10-p

Cprend la valeur (A+B)/2

SiH(C)>0,5

AlorsAprend la valeur deC

SinonBprend la valeur deC

Fin de la boucle Si

Fin de la boucle Tant que

SORTIE : AfficherAetB.

Cet algorithme, dit de " dichotomie », permet de déterminer un encadrement d"amplitude inférieure ou égale à 10-pde la

solution de l"équationH(x)=0,5; le nombreAest la borne inférieure de l"encadrement, le nombreBen est la borne supé-

rieure.

5. On utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements suivants :

lim x→0 x>0H(x)=1

H(0,1)≈0,40<0,5???

=?α?]0 ; 0,1[H(0,06)≈0,534>0,5

H(0,07)≈0,496<0,5?

=?α?]0,06 ; 0,07[ II

1. La durée de vieT(exprimée en années) d"un appareil électronique suit la loiexponentielle de paramètreλoùλ>0.

On sait qu"un tel appareil a une durée de vie moyenneE(T) de quatre ans; orλ=1

E(T)doncλ=0,25.

D"après le cours, si une variable aléatoireXsuit une loi exponentielle de paramètreλ, alorsP(X

On chercheP(T?3)(T?3+2).

La loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement doncP(T?3)(T?3+2)=P(T?2).

Cette affirmation estfausse.

2. Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal?O;-→u;-→v?.

On résout dansCl"équation (E) :z3-3z2+3z=0.

3-3z2+3z=z(z2-3z+3) donc (E)??z(z2-3z+3)=0??z=0 ouz2-3z+3=0

On résout dansCl"équation (E") :z2-3z+3=0 :Δ=9-12=-3 donc l"équation admet deux solutions complexes conjuguées

1=3+ı?

2etz2=3-ı?

3 2. Soit A le point d"affixez1et B le point d"affixez2. • OA=|z1|=???? ?3 2? 2 3 2? 2 9

4+34=?3

Page 2/5

• OB=|z2|=|z1|carz1etz2sont deux nombres complexes conjugués, donc OB=?3. • AB=|z2-z1|=?????3-ı? 3

2-3+ı?

2?????

-ı?3??? =?3

OA = OB = AB donc les trois solutions de l"équation (E) sont lesaffixes de trois points qui sont les sommets d"un triangle

équilatéral.

Cette affirmation estvraie.

III

Des étudiants d"une université se préparent à passer un examen pour lequel quatre thèmes (A, B, C et D) sont au programme.

Partie A

Sur les 34 sujets de l"examen déjà posés, 22 portaient sur le thème A.

On veut tester l"hypothèse "il y a une chance sur deux (p=0,5) que le thème A soit évalué le jour de l"examen » dans un échan-

tillon de taillen=34.

n=34?30 etnp=n(1-p)=17?5 donc les conditions sont vérifiées pour que l"on établisse un intervalle de fluctuation

asymptotique au seuil de 95% de la proportion que le thème A soit évalué le jour de l"examen :

I=? p-1,96? p(1-p)?n;p+1,96? p(1-p)?n?

0,5-1,96?

0,5×0,5?34; 0,5+1,96?

0,5×0,5?34?

≈[0,33 ; 0,67]

La fréquence dans l"échantillon est def=22

34≈0,65?Idonc il n"y a pas de raison de rejeter l"affirmation proposée.

Partie B

Le thème A reste pour beaucoup d"étudiants une partie du programme difficile à maîtriser. Un stage de préparation est alors

proposé pour travailler ce thème. Lors de l"examen, on a constaté que s"il y a un exercice portant sur le thème A : 30% des étudiants n"ayant pas sμivi le stage ne traitent pas l"exercice; 5

6des étudiants ayant suivi le stage l"ont traité.

On sait de plus que 20% des étudiants participent au stage.

On note :

•Sl"évènement "l"étudiant a suivi le stage» et

Sson évènement contraire;

•Al"évènement "il y a un exercice portant sur le thème A» et

Ason évènement contraire.

On établit un arbre de probabilité résumant la situation : S 0,2A 5 6 A 1 6 S 0,8A 0,7 A 0,3

On chercheP

A(S) c"est-à-direP(S∩

A) P(A).

D"après l"arbre :P(S∩

A)=P(S)×PS(A)=0,2×16=0,26=130.

D"après la formule des probabilités totales :P( P

A(S)=1

30
41

150=130×15041=541≈0,122.

Page 3/5

Partie COn suppose que la variable aléatoireT, associant la durée (exprimée en minutes) que consacre un étudiant de cette université pour

la composition de cet examen, suit la loi normale d"espéranceμ=225 et d"écart-typeσoùσ>0. La probabilité qu"un étudiant

finisse son examen en moins de 235 minutes est de 0,98. On sait queP(T?235)=0,98 sachant queTsuit la loi normale de moyenne 225 et d"écart-typeσ. D"après le cours, siTsuit la loi normale de moyenne 225 et d"écart-typeσ, alorsZ=T-225

σsuit la loi normale centrée réduite

(moyenne 0 et écart-type 1).

T?235??T-225?10??T-225

σ?10σcarσ>0; doncP(T?235)=0,98??P?T-225σ?10σ? =0,98.

On cherche donc le réelβtel queP(Z?β)=0,98 sachant queZsuit la loi normale centrée réduite.

On trouve à la calculatriceβ≈2,054.

On en déduit que

σ≈2,054 donc queσ≈4,9.

On considère la suite(un)définie par???u

0=0 u n+1=1

2-unpour tout entier natureln?0..

On peut conjecturer que, pour toutn,un=n

n+1.

SoitPnla propriétéun=n

n+1. Démontrons par récurrence que cette propriété est vraie pour toutn. •InitialisationPourn=0,u0=0 etn n+1=0 donc la propriété est vraie au rangn=0. •HéréditéOn suppose que la propriété est vraie pour un entierkquelconque :uk=k k+1. On va démontrer qu"elle est vraie au rangk+1 soituk+1=k+1 k+2. u k+1=1

2-uk=12-kk+1=

2(k+1)-k

k+1= k+1

2k+2-k=k+1k+2

Donc la propiété est vraie au rangk+1.

•ConclusionLa propriétéPnest vraie pourn=0 et elle est héréditaire pour toutn. Donc, d"après le principe de récurrence, la propriété

est vraie pour tout entier natureln.

On peut donc dire que, pour toutn,un=n

n+1.

On cherche lim

n→+∞un. Pourn?=0 :n n+1=n×1n? 1+1n? =11+1n.

On sait que lim

n→+∞1 n=0 donc limn→+∞11+1n=1 donc limn→+∞un=1. V L"espace est muni d"un repère orthonormé (O; I, J, K). On considère les points A(-1 ;-1 ; 0), B(6 ;-5 ; 1), C(1 ; 2 ;-2) et S(13 ; 37 ; 54).

1. (a)

AB((7 -4 1)) et-→AC((23 -2)) ; 7×2

7=2 et-4×27?=3 donc les vecteurs-→AB et-→AC ne sont pas colinéaires.

Les points A, B et C ne sont pas alignés donc ils définissent bien un plan dont-→AB et-→AC sont deux vecteurs directeurs.

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(b) Soit le vecteur-→n((5 16 29))
n.-→AB=5×7+16×(-4)+29×1=35-64+29=0 donc-→n?-→AB. -→n.-→AC=5×2+16×3+29×(-2)=10+48-58=0 donc-→n?-→AC.

Donc le vecteur-→nest un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan(ABC) donc le vecteur-→nest un vecteur

normal au plan (ABC). (c) Le plan (ABC) est l"ensemble des points M tels que

AM et-→nsont orthogonaux.

Si M a pour coordonnées (x;y;z), alors--→AM a pour coordonnées (x+1 ;y+1 ;z).--→AM?-→n??--→AM.-→n=0??5(x+1)+16(y+1)+29z=0??5x+16y+29z+21=0

Le plan (ABC) a pour équation 5x+16y+29z+21=0.

2. (a) AB

2=???-→AC???2=22+32+(-2)2=4+9+4=17

2=(1-6)2+(2+5)2+(-2-1)2=25+49+9=83

66+17=83 cequi équivaut à AB2+AC2=BC2donc, d"après la réciproque du théorème dePythagore,le triangle ABC est

rectangle en A. (b) Le triangle ABC est rectangle en A donc son aire vaut

AB×AC

2=?

66×?17

2=? 1122
2.

3. (a) Les points A, B, C et S sont coplanaires si et seulement si le point S appartient au plan (ABC).

Le plan (ABC) a pour équation 5x+16y+29z+21=0.

5xS+16yS+29zS+21=5×13+16×37+29×54+21=1705?=0 donc S??(ABC).

Les points A, B, C et S ne sont pas coplanaires.

(b) La droite (Δ) perpendiculaire au plan (ABC) passant par S coupe le plan (ABC) en un point noté H.

La droite (Δ) est perpendiculaire au plan (ABC) donc elle a pour vecteur directeur le vecteur-→n. Donc le vecteur-→SH est

colinéaire au vecteur-→ndonc le vecteur-→SH a pour coordonnées (5k; 16k; 29k) oùkest un réel. Si le point H a pour

coordonnées (xH;yH;zH), le vecteur-→SH a pour coordonnées (xH-13 ;yH-37 ;zH-54).

On en déduit :???x

H=13+5k

H=37+16k

H=54+29k

On exprime que H appartient au plan (ABC), ce qui va permettrede déterminer la valeur dek: ??65+25k+592+256k+1566+841k+21=0 ??2244+1122k=0??k=-2

Donc le point H a pour coordonnées :???x

H=13+5(-2)=3

H=37+16(-2)=5

H=54+29(-2)= -4

4. Le volume du tétraèdre SABC est

aire(ABC)×SH 3.

Le vecteur

SH a pour coordonnées (5k; 16k; 29k) donc (5(-2) ; 16(-2) ; 29(-2))=(-10 ;-32 ;-58). Donc SH2=(-10)2+

(-32)2+(-58)2=4488 et donc SH=?

4488=2?1122.

aire(ABC)=? 1122

2donc le volume du tétraèdre est?

1122

2×2?1122

3=11223=374 unités de volume.

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quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

[PDF] Correction Bac Nouvelle Calédonie mars 2017

Correction Bac Nouvelle Calédonie mars 2017

Partie A

1. On justifie les informations du tableau de variations defdonné ci-dessous :

2. SoitFla fonction définie et dérivable sur [0 ;+∞[ parF(x)=(-x-1)e-x.

Partie B

1. La droiteDaet la courbeCfse coupent en des points dont les abscisses sont solutions del"équationax=xe-x. On résout

2. LacourbeCfestaudessusdeladroiteDasurl"intervalle[0;-ln(a)],doncl"aireH(a)dudomainehachuréest?

0?f(x)-ax?x..

H(a)=?

0?f(x)-ax?x.=?

Page 1/5

3. Soit la fonctionHdéfinie sur ]0 ; 1] parH(x)=xln(x)-1

2x(ln(x))2+1-x.

4. On considère l"algorithme présenté ci-dessous.

VARIABLES :A,BetCsont des nombres;

INITIALISATION : Demander la valeur dep

Aprend la valeur 0

Bprend la valeur 1

TRAITEMENT : Tant queB-A>10-p

Cprend la valeur (A+B)/2

SiH(C)>0,5

AlorsAprend la valeur deC

SinonBprend la valeur deC

Fin de la boucle Si

Fin de la boucle Tant que

SORTIE : AfficherAetB.

5. On utilise la calculatrice pour déterminer les encadrements suivants :

H(0,1)≈0,40<0,5???

H(0,07)≈0,496<0,5?

1. La durée de vieT(exprimée en années) d"un appareil électronique suit la loiexponentielle de paramètreλoùλ>0.

E(T)doncλ=0,25.

On chercheP(T?3)(T?3+2).

Cette affirmation estfausse.

2. Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal?O;-→u;-→v?.

On résout dansCl"équation (E) :z3-3z2+3z=0.

3-3z2+3z=z(z2-3z+3) donc (E)??z(z2-3z+3)=0??z=0 ouz2-3z+3=0

1=3+ı?

2etz2=3-ı?

4+34=?3

Page 2/5

2-3+ı?

2?????

équilatéral.

Cette affirmation estvraie.

Partie A

0,5-1,96?

0,5×0,5?34; 0,5+1,96?

0,5×0,5?34?

La fréquence dans l"échantillon est def=22

34≈0,65?Idonc il n"y a pas de raison de rejeter l"affirmation proposée.

Partie B

6des étudiants ayant suivi le stage l"ont traité.

On note :

Sson évènement contraire;

Ason évènement contraire.

On chercheP

A(S) c"est-à-direP(S∩

D"après l"arbre :P(S∩

A)=P(S)×PS(A)=0,2×16=0,26=130.

A(S)=1

150=130×15041=541≈0,122.

Page 3/5

σsuit la loi normale centrée réduite

T?235??T-225?10??T-225

On trouve à la calculatriceβ≈2,054.

On en déduit que

σ≈2,054 donc queσ≈4,9.

On considère la suite(un)définie par???u

2-unpour tout entier natureln?0..

On peut conjecturer que, pour toutn,un=n

SoitPnla propriétéun=n

2-uk=12-kk+1=

2(k+1)-k

2k+2-k=k+1k+2

Donc la propiété est vraie au rangk+1.

On peut donc dire que, pour toutn,un=n

On cherche lim

On sait que lim

1. (a)