[PDF] Partie 1 - Séquence 1 Transformée de Laplace dune fonction causale

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Partie 1 - S´equence 1

Transform

ee de Laplace d"une fonction causale

Lyc´ee Victor Hugo - Besan¸con - STS 2

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

I. Fonctions causales

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

I. Fonctions causales

D´efinition

Une fonctionfd´efinie surRest ditecausalesif(t) =0 pour t <0. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

I. Fonctions causales

D´efinition

Une fonctionfd´efinie surRest ditecausalesif(t) =0 pour t <0. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction ´echelon-unit´e

La fonction causale la plus utilis´ee est la fonction´echelon-unit´e ou fonction deHeavisidenot´eeUd´efinie par : Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction ´echelon-unit´e

La fonction causale la plus utilis´ee est la fonction´echelon-unit´e ou fonction deHeavisidenot´eeUd´efinie par :

U(t) =0 sit <0

U(t) =1 sit?0

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction ´echelon-unit´e

La fonction causale la plus utilis´ee est la fonction´echelon-unit´e ou fonction deHeavisidenot´eeUd´efinie par :

U(t) =0 sit <0

U(t) =1 sit?0

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Remarque

Sigest une fonction d´efinie surRalors la fonctionfd´efinie par f(t) =g(t)U(t)est une fonction causale. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Remarque

Sigest une fonction d´efinie surRalors la fonctionfd´efinie par f(t) =g(t)U(t)est une fonction causale.

Exemple

Soitfla fonction d´efinie parf(t) =sint.U(t).

fest une fonction causale dont voici la courbe repr´esentative: Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Remarque

Sigest une fonction d´efinie surRalors la fonctionfd´efinie par f(t) =g(t)U(t)est une fonction causale.

Exemple

Soitfla fonction d´efinie parf(t) =sint.U(t).

fest une fonction causale dont voici la courbe repr´esentative: Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction rampe-unit´e

La fonctionrampe-unit´eest la fonctiont?→tU(t). Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction rampe-unit´e

La fonctionrampe-unit´eest la fonctiont?→tU(t). Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction avanc´ee ou retard´ee

Soitfune fonction eta?R.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction avanc´ee ou retard´ee

Soitfune fonction eta?R.

La fonctiont?→f(t+a)est diteavanc´eedea.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction avanc´ee ou retard´ee

Soitfune fonction eta?R.

La fonctiont?→f(t+a)est diteavanc´eedea.

La fonctiont?→f(t-a)est diteretard´eedea.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction avanc´ee ou retard´ee

Soitfune fonction eta?R.

La fonctiont?→f(t+a)est diteavanc´eedea.

La fonctiont?→f(t-a)est diteretard´eedea.

Par exemple, la fonction ´echelon retard´ee de 3 est la fonction t?→U(t-3), voici sa repr´esentation graphique : Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction avanc´ee ou retard´ee

Soitfune fonction eta?R.

La fonctiont?→f(t+a)est diteavanc´eedea.

La fonctiont?→f(t-a)est diteretard´eedea.

Par exemple, la fonction ´echelon retard´ee de 3 est la fonction t?→U(t-3), voici sa repr´esentation graphique :

1 2 3 4 5 6-1-2

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction cr´eneau

Une fonction cr´eneau est une fonction nulle partout sauf surun intervalle sur lequel elle est constante. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction cr´eneau

Une fonction cr´eneau est une fonction nulle partout sauf surun intervalle sur lequel elle est constante. Par exemple, la fonctiont?→2[U(t-1) -U(t-4)]est une fonction cr´eneau dont voici la courbe repr´esentative : Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Fonction cr´eneau

Une fonction cr´eneau est une fonction nulle partout sauf surun intervalle sur lequel elle est constante. Par exemple, la fonctiont?→2[U(t-1) -U(t-4)]est une fonction cr´eneau dont voici la courbe repr´esentative :

1 2 3 4 5 6-1-2

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition

Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur[a,+∞[. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition

Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur[a,+∞[.

Si limx?→+∞?

x a f(t)dtest un r´eelA, Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition

Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur[a,+∞[.

Si limx?→+∞?

x a f(t)dtest un r´eelA, alors on dit que l"int´egrale a f(t)dtconverge Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition

Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur[a,+∞[.

Si limx?→+∞?

x a f(t)dtest un r´eelA, alors on dit que l"int´egrale a f(t)dtconverge et on a? a f(t)dt=A. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition

Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur[a,+∞[.

Si limx?→+∞?

x a f(t)dtest un r´eelA, alors on dit que l"int´egrale a f(t)dtconverge et on a? a f(t)dt=A. Si une int´egrale ne converge pas alors on dit qu"elle diverge. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

II. Int´egrales g´en´eralis´ees

D´efinition

Soitfune fonction d´efinie et d´erivable sur[a,+∞[.

Si limx?→+∞?

x a f(t)dtest un r´eelA, alors on dit que l"int´egrale a f(t)dtconverge et on a? a f(t)dt=A. Si une int´egrale ne converge pas alors on dit qu"elle diverge.

Remarque

Les propri´et´es connues de l"int´egrale restent valables pourles int´egrales g´en´eralis´ees. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt= Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x 1= Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x

1=lnx-ln1=

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x

1=lnx-ln1=lnx.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x

1=lnx-ln1=lnx.

Or limx?→+∞lnx=

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x

1=lnx-ln1=lnx.

Or limx?→+∞lnx= +∞.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x

1=lnx-ln1=lnx.

Or limx?→+∞lnx= +∞.

Donc?

11tdtdiverge.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 1

Etudions la convergence de?

11tdt.?x

11 tdt=? lnt? x

1=lnx-ln1=lnx.

Or limx?→+∞lnx= +∞.

Donc?

11tdtdiverge.

y=1x Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt= Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x 1= Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x

1= -1x+1.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x

1= -1x+1.

Or limx?→+∞?

-1x+1? Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x

1= -1x+1.

Or limx?→+∞?

-1x+1? =1. Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x

1= -1x+1.

Or limx?→+∞?

-1x+1? =1. Donc?

11t2dtconverge

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x

1= -1x+1.

Or limx?→+∞?

-1x+1? =1. Donc?

11t2dtconverge et?

11t2dt=1.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

Exemple 2

Etudions la convergence de?

11t2dt.?x

11 t2dt=? -1t? x

1= -1x+1.

Or limx?→+∞?

-1x+1? =1. Donc?

11t2dtconverge et?

11t2dt=1.

y=1x2 Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

III. Transform´ee de Laplace

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

III. Transform´ee de Laplace

D´efinition

La transform´ee de Laplace d"une fonction causalefest la fonction L fde la variable r´eellepd´efinie par : Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

III. Transform´ee de Laplace

D´efinition

La transform´ee de Laplace d"une fonction causalefest la fonction L fde la variable r´eellepd´efinie par : L f(p) =? 0 e-ptf(t)dt Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

III. Transform´ee de Laplace

D´efinition

La transform´ee de Laplace d"une fonction causalefest la fonction L fde la variable r´eellepd´efinie par : L f(p) =? 0 e-ptf(t)dt

Remarques

La transform´ee de Laplace defexiste si et seulement si?+∞

0e-ptf(t)dtconverge.

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction

III. Transform´ee de Laplace

D´efinition

La transform´ee de Laplace d"une fonction causalefest la fonction L fde la variable r´eellepd´efinie par : L f(p) =? 0 e-ptf(t)dt

Remarques

La transform´ee de Laplace defexiste si et seulement si?+∞

0e-ptf(t)dtconverge.

On note parfoisF(p)ouL[f(t)](p)au lieu deLf(p).

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a : Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a :

L[U(t)](p) =1

p Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a :

L[U(t)](p) =1

p

D´emonstration :

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a :

L[U(t)](p) =1

p

D´emonstration :?x

0

U(t)e-ptdt=

Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a :

L[U(t)](p) =1

p

D´emonstration :?x

0

U(t)e-ptdt=?

x 0 e-ptdt= Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a :

L[U(t)](p) =1

p

D´emonstration :?x

0

U(t)e-ptdt=?

x 0 e-ptdt=? 1 pe-pt? x 0= Partie 1 - S´equence 1Transform´ee de Laplace d"une fonction IV. Transform´ee de Laplace des fonctionsusuelles

Fonction de Heaviside

La transform´ee de Laplace de la fonction de Heaviside est d´efinie pourp >0 et on a :

L[U(t)](p) =1

p

D´emonstration :?x

0

U(t)e-ptdt=?

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