[PDF] Câble coaxial : tous ses secrets

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Transmission des ondes ´electromagn´etiques GEL-19881´Electromagn´etisme appliqu´e GEL-21209D´epartement de g´enie ´electrique et de g´enie informatique

Cˆable coaxial : tous ses secrets

Exemple

abΔz Un cˆable coaxial assum´e sans perte poss`ede un conducteurcentral de rayonaet un conducteur externe de rayonbcomme sur la figure ci-dessus. Un di´electrique ayant les caract´eristiques?retμr, remplit la section du cˆable entre les deux conducteurs. ?Montrez que le produitV Icorrespond bien `a la puissance de l"onde ´electromagn´etique se propageant dans le di´electrique. Il faut d"abord exprimer les champs ´electromagn´etiques dans le di´electrique. Pour ce faire, rien de mieux que d"utiliser les ´equations deMaxwellstatique sous la forme int´egrale. L"´equation deGausssur les charges ´electriques permet d"obtenir le champ ´electrique ´etant donn´ee la charge. En effet, on suppose un tron¸con de longueur Δzde la ligne sur lequel on applique une charge +Qsur le conducteur interne et une charge-Qsur le conducteur externe. On prend une surface ferm´eeSconstitu´ee d"un cyclindre coaxial

Scouv2

saScouv1S cyl ferm´e aux extr´emit´es de longueur Δzde rayonrtel quea < r < b. Le cyclindre entoure enti`erement le conducteur interne d"o`u : S

D·dS= +Q

1 c"est-`a-dire, puisqueD=Dr(r)ar couv1? 0+? couv2???? 0+? cyl

D·dS= +Q

Δz z=0? 2π

φ=0D·(rdφdzar)?

D r(r)rdφdz= +Q D r(2π)(Δz)r= +Q .

On tire alors

D=Drar=Q

2πrΔzar.

Pour obtenir le lien avec la diff´erence de potentiel, il suffitde prendre V=? b r=aE???? D r ?ar·d????? drar b r=aQ

2π?rΔzdr

Q

2π?Δz[ln(r)]ba????

ln(b/a) et ainsi obtenir : E=V ln(b/a)rar. D"autre part, l"´equation deAmp`erepermet d"obtenir le champ magn´etique ´etant donn´e le courant. On suppose un courant +Icirculant sur le conducteur interne et un courant -I, sur le conducteur externe. On prend un parcours ferm´eCayant la forme d"un cercle CJ sa concentrique avec les conducteurs. Le parcours encercle compl`etement le conducteur interne de sorte que :? C

H·d?= +I

c"est-`a-dire, puisqueH=Hφ(r)aφ 2π

φ=0H·(rdφaφ)?

H

φ(r)rdφ= +I

H

φ(2π)r= +I .

On tire maintenant

H=Hφaφ=I

2πraφ.

2 Il est possible de v´erifier si les conditions aux limites sont respect´ees. Par exemple, le champ ´electrique est bien perpendiculaire aux conducteurs.`A leur surface, on a D r(r=a) =+Q

2πaΔz. Or, la densit´e surfacique de charge estρsa= +Q/(2πaΔz) (et

sb= +Q/(2πbΔz) sur la surface du conducteur externe). On voit donc queD?(r= a +) =ρsa. De plus, le champ magn´etique est effectivement tangentielaux conducteurs. Le courant sur les conducteurs est surfacique de densit´eJsa=I

2πaaz(etJsb=I2πb(-az)

sur le conducteur externe). On remarque encore ici queH?(r=a+) =Jsaet queHest `a la fois perpendiculaire `aJs=Jszazet `aan=arcaran×H=Js. So Maintenant tout est en place pour le calcul de la puissance transport´ee par l"onde. On int`egre le vecteur dePoyntingsur la surfaceSo: P=? S oE×H? V ln(b/a)rI2πraz·dS???? rdφdraz b r=a? 2π

φ=0V I

2πln(b/a)r2rdφdr

V I

2πln(b/a)?

b r=a? 2π

φ=01rdφdr

V I

2πln(b/a)(2π)(ln(b/a)) =V I .

?Exprimez la capacitance et l"inductance par unit´e de longueur de cette ligne. Tous les calculs ont ´et´e faits dans la demande pr´ec´edente. En partant de la d´efinition de la capacitance, on trouve facilement : C=C

Δz=QVΔz=QQln(b/a)

2π?ΔzΔz

2π?

ln(b/a). Srad H r 3 Pour l"inductance par unit´e de longueur, on doit d"abord trouver l"expression du flux magn´etique total i.e. celui passant par la surfaceSrad. On trouve : Δz z=0? b r=aB???? I

2πr·dS????

drdzaφ μI

2π?

Δz z=0? b r=a1rdrdz μI

2π(Δz)(ln(b/a)).

On peut maintenant proc´eder comme pour la capacitance : L=L

Δz=ΨIΔz=μIln(b/a)Δz

2π

IΔz

μln(b/a)

2π.

?D´eduisez l"imp´edance caract´eristique d"une ligne coaxiale. `A partir des expressions des capacitance et inductance par unit´e de longueur, on obtient rapidement l"imp´edance caract´eristique d"une ligne de transmission sans perte : Z o=? L C=?

ηln(b/a)2π????

F f.

On v´erifie aussi ais´ement queLC=μ?.

Dominic Grenier 2003

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