[PDF] Chapitre 5 - Circuits RL et RC

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Chapitre5Circuits RL et RC

Ce chapitre pr

´esente les deux autres´el´ements lin´eaires des circuits´electriques : l"in- ductance et la capacitance. On verra le comportement de ces deux

´el´ements, et ensuite

leur application dans des circuits. Les techniques d"analyse de circuit vues dans les cha- pitres pr ´ec´edents s"appliquent aux circuits contenant des inductances et des capacitances. On verra en premier les circuits contenant seulement des inductances ou seulement des capacitances. Des circuits contenant ces deux ´el´ements seront pr´esent´es au chapitre suivant. 5.1

Inductanc e

Une inductance est une composante

´electrique qui s"oppose au variations de courant.

Elle est constitu

´ee de plusieurs boucles de fil´electrique embobin´e autour d"un noyau qui peut ˆetre magn´etique ou non. La figure5.1 mon treun exem pled"ind uctance.

Figure5.1 - Photo d"inductances

On utilise le symboleLpour repr´esenter une inductance. Son unit´e est le Henry [H]. 1

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Le symbole typique d"une inductance est montr

´e`a la figure5.2 .

Figure5.2 - Symbole typique d"une inductance

La relation qui relie la tension au courant pour une inductance est : v=Ldidt (5.1)

On peut faire quelques observations

`a partir de l"´equation5.1 ,`a cause du terme de d

´eriv´ee :

1.

Si le cour antest constan t,la d

´eriv´eedidt

= 0, alors la tensionv= 0. L"inductance se comporte comme un court-circuit en pr

´esence d"un courant constant (DC).

2.

Il ne peut pas y a voirde v ariationinstan tan

´ee de courant dans une inductance. On

peut approximer : didt =it

Sit= 0, alorsv=1, ce qui est impossible.

Exemple1La source de courant du circuit suivant ne produit pas de courant pourt <0 et un pulse 10te5tA pourt >0.

1.T racerle gr aphed ucour ant.

2. `A quel instant le courant est-il maximum? 3. T racerla courbe de la tension. 1. Le graphe du courant est donn

´e`a la figure suivante :

Gabriel Cormier 2 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.90 0.2 0.4 0.6

0.82. Pour trouver le point o

`u le courant est maximum, il faut d´eriver l"´equation du cou- rant et mettre

´egal`a z´ero.

didt = 10(5te5t+e5t) = 10e5t(15t) = 0

On solutionne pour trouvert= 0:2s.

3. Pour tracer le graphe de la tension, il faut appliquer directement l"

´equation5.1 .

v=Ldidt = 0:1(10e5t(15t)) =e5t(15t)

Le graphe est donn

´e`a la figure suivante.

-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

1Noter que la tension varie instantan

´ement`at= 0; la tension passe de 0V`a 1V.Gabriel Cormier 3 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Courant dans une inductance en fonction de la tension

On peut obtenir une

´equation du courant dans une inductance en fonction de la ten- sion `a ses bornes en r´earrangeant l"expression de la tension.`A partir de l"´equation5.1 , v dt=L di(5.2)

On peut alors int

´egrer de chaque cˆot´e :

L Z di=Z v dt(5.3) ce qui donne : i(t) =1L Z t t

0v d+i(t0) (5.4)

Le plus souvent,t0= 0, et on peut simplifier :

i(t) =1L Z t 0 v d+i(0) (5.5) Exemple2La source de tension du circuit suivant ne produit pas de tension pourt <0 et une tension 20te10tV pourt >0. On supposei= 0 pourt <0.1.T racerle gr aphede la tension. 2. C alculerl" expressiond ucour antdans l"ind uctance. 3. T racerla courbe d ucour ant.1. Le graphe de la tension est donn

´e`a la figure suivante :

Gabriel Cormier 4 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Temps (s)

v(t)2. Pour calculer le courant, il faut appliquer l"

´equation5.5 . Le courant initiali(0) = 0.

i=10:1Z t 0

20e10d+0

= 200 "e10100 (10+1)# t 0 = 2(110te10te10t) A

3. Le graphe du courant est le suivant :

-0.100.10.20.30.40.50 0.5 1 1.5 2

Temps (s)

i(t)Remarquer que le courant tend vers une valeur finale de 2A. 5.1.1

Puissanc eet

´energie dans une inductance

On peut obtenir les

´equations de puissance et d"´energie d"une inductance directement a partir des relations de tension et de courant. Si le courant est dans le sens d"une chute

Gabriel Cormier 5 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

de tension, la puissance est : p=vi(5.6)

Si on remplace la tension par l"

´equation5.1 ,

p=Lididt (5.7) ou, si on remplace le courant, p=v 1L Z t t

0v d+i(t0)!

(5.8)

Pour le calcul de l"

´energie, on peut obtenir l"´equation correspondante selon : p=dwdt =Lididt (5.9) et donc, dw=Li di(5.10)

En faisant l"int

´egrale, on obtient :

w=12

Li2(5.11)

Exemple3Pour le circuit de l"exemple 1,

1.

T racerla courbe de petw.

2. P endantquel in tervallel"ind uctanceemmag asine-t"ellede l"

´energie?

3. P endantquel in tervallel"ind uctancef ournit-ellede l"

´energie?

4.

Quelle est l"

´energie maximale emmagasin´ee dans l"inductance?1. Pour obtenir la puissance, il suffit de multiplier les´equations de tension et de cou-

rant. p(t) =vi= (e5t(15t))(10te5t) = 10te10t(15t)

Gabriel Cormier 6 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Le graphe est :-0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9-0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Temps (s)

p(t)On calcule l"

´energie :

w(t) =12

Li2= 0:5(0:1)(10te5t)2= 5t2e10t

ce qui donne le graphe suivant : -0.100.10.20.30.40.50.60.70.80.9-0.01 0 0.01 0.02 0.03

Temps (s)

w(t)2. L"inductance emmagasine de l" ´energie si l"´energie augmente. D"apr`es le graphe, l" ´energie augmente de 0`a 0.2s. C"est aussi l"intervalle pendant lequelp >0.

3. L"inductance fournit de l"

´energie si l"´energie diminue. D"apr`es le graphe, c"est la p ´eriode o`ut >0:2s. C"est aussi l"intervalle pendant lequelp <0.

4. Pour trouver l"

´energie maximale, il faut d´eriver l"´equation de l"´energie. dwdt = 10te10t50t2e10t

On solutionne pour trouver t = 0.2s.

`A cet instant, l"´energie estw(0:2) = 27:07mW.

Gabriel Cormier 7 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

5.2

C ondensateur

Le condensateur est un composant

´electrique qui permet d"emmagasiner de l"´energie electrique. Un condensateur poss`ede une capacitanceC, et son unit´e est le Farad [F]. La plupart des condensateurs sont constitu ´es de deux plaques m´etalliques s´epar´ees par un mat ´eriau non-conducteur qu"on appelle un di´electrique. La figure5.3 mon tredi ff´erents condensateurs pratiques. Des condensateurs pratiques pour des circuits sont typique- ment de l"ordre du picofarad (pF) au microfarad (F). Cependant, dans certaines voitures electriques, on utilise des condensateurs de l"ordre du kilofarad (kF) pour emmagasiner l" ´energie ou fournir un´enorme pulse d"´energie lors du d´ecollage.

Figure5.3 - Photo de condensateurs

La relation entre le courant et la tension d"un condensateur est : i=Cdvdt (5.12)

De fac¸on similaire

`a l"inductance, on peut faire quelques observations importantes : 1. La tension ne peut pas v arierde f ac¸oninstan tan

´ee aux bornes d"un condensateur.

2. Si la tension est constan tea uxbornes d"un condensa teur,le cour antest n ul.

La tension en fonction du courant est :

v(t) =1C Z t 0 i d+v(0) (5.13)

La puissance dans un condensateur est :

p(t) =vi=Cvdvdt =i 1C Z t 0 i d+v(0)! (5.14) Et l"

´energie est :

w=12

Cv2(5.15)

Gabriel Cormier 8 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Exemple4La tension aux bornes d"un condensateur de 0.5F est donn´ee par l"´equation suivante : v(t) =8 >>>><>>>>:0t0 4t0t1

4e(t1)1t 1

1. Donner l" expressiond ucour ant,de la puissance et de l"

´energie du condensateur.

2. T racerle gr aphede la tension, d ucour ant,de la puissance et de l"

´energie.

3.

Donner l"in tervallede tem pspendan tlequel de l"

´energie est emmagasin´ee dans le

condensateur. 4. Donner l"in tervallede tem pspendan tlequel le condensa teurf ournitde l"

´energie.1. On utilise l"

´equation5.12 pour cal culerle cour ant:

i(t) =8 >>>><>>>>:(0:5106)(0) = 0t0 (0:5106)(4) = 2A 0t1 (0:5106)(4e(t1)) =2e(t1)A 1t 1

On calcule maintenant la puissance :

p(t) =v(t)i(t) =8 >>>><>>>>:0t0 (4t)(2) = 8tW 0t1 (4e(t1))(2e(t1)) =8e2(t1)W 1t 1

Puis l"

´energie :

w(t) =8 >>>><>>>>:0t0

0:5(0:5)(4t)2= 4t2J 0t1

0:5(0:5)(4e(t1))2= 4e2(t1)J 1t 1

2. Les graphes sont :

3. L" ´energie est emmagasin´ee dans le condensateur si la puissance est positive. Il s"agit de l"intervalle 0 `a 1s. 4. L" ´energie est fournie par le condensateur pendant la p´eriode de puissance n´egative, pourt >1s.

Gabriel Cormier 9 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC00.511.522.533.540

2 4

Temps (s)

v(t)

00.511.522.533.54-2

0

2x 10-6

Temps (s)

i(t)

00.511.522.533.54-1

0

1x 10-5

Temps (s)

p(t)

00.511.522.533.540

2

4x 10-6

Temps (s)

w(t)5.3C ombinaisonss

´erie-parall`ele

Inductances

On additionne des inductances en s

´erie :

L eq=L1+L2+L3+(5.16)

En parall

`ele, la relation est : L eq= 1L 1+1L 2+1L 3+! 1 (5.17)

Gabriel Cormier 10 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

Capacitances

La relation pour des capacitances en s

´erie est :

C eq= 1C 1+1C 2+1C 3+! 1 (5.18)

Pour des capacitances en parall

`ele : C eq=C1+C2+C3+(5.19) 5.4 R

´eponse naturelle des circuits RL et RC

On analyse ici les circuits compos

´es de sources, r´esistances et une inductance ou une capacitance. Il y deux

´etapes principales d"analyse :

1. R ´eponse naturelle : on analyse des circuits o`u l"´energie emmagasin´ee dans une in- ductance ou une capacitance est soudainement dissip

´ee dans une r´esistance (ou un

circuit r

´esistif).

2. R ´eponse forc´ee : on analyse des circuits o`u on applique soudainement une source

DC (tension ou courant)

`a une inductance ou une capacitance. En premier, on analyse les circuits pour trouver la r

´eponse naturelle.

5.4.1 R

´eponse naturelle d"un circuit RL

Pour faire l"analyse et trouver la r

´eponse naturelle d"un circuit RL, on utilise le circuit de la figure 5.4 . La source de courant produit un courant constant, et avant l"analyse (t <

0), l"interrupteur est ferm

´e depuis longtemps. Ceci veut dire que les tensions et courants ont atteint des valeurs constantes.

On a vu qu"une inductance qui est travers

´ee par un courant constant aura une tension

nulle `a ses bornes. En d"autres mots, l"inductance se comporte comme un court-circuit. Ce qui veut dire, que pourt= 0(juste avant d"ouvrir l"interrupteur), tout le courant de la source traverse l"inductance. Il n"y a pas de courant dansR0ouR, puisque la tension`a leur bornes est 0, puisqu"ils sont en parall `ele avec l"inductance. En r

´esum´e, pourt= 0:

i L=Is v L= 0

Gabriel Cormier 11 GELE2112

CHAPITRE 5. CIRCUITS RL ET RC

0

Figure5.4 - Circuit RL

At= 0, on ouvre l"interrupteur. Le circuit est maintenant donn´e`a la figure5.5 .quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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