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NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n'ayant pas été corrigés en TD le résultat de l'interpolation polynômiale des points (xiyi) calculé en x.
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2x3x1] = ?2y[x1x2x3] voir exercices) on peut utiliser les valeurs calcule´es dans le tableau II 1 Si xest entre 4et 5 les deux facteurs x?4et x?5dans la formule pre´ce´dente sont relativement petits ce qui favorise la diminution des erreurs d’arrondi II 2 Erreur de l’interpolation
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Exercice 1 1 Montrer qu’il existe une in?nit´e de polynˆomes passant par les points M 0 = (00) et M 1 =(11) 2 Trouver 4 r´eels f 0 f 1 f 2 f 3telsqu’aucungraphedepolynˆomedeP 2 ne passe par les 4 points M 0 =(?1f 0) M 1 =(0f 1) M 2 =(1f 2) et M 3 =(2f 3)
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Exercice 2 : Un cas particulier non hilbertien [Héron Issard-Roch Picard] Le but de cet exercice est de montrer que pour f? C0([ab]R) il y a unicité du pma dans L1((ab)R) Soit [ab] un intervalle borné de R n? N f? C0([ab]R) et P? Pn un pma de fpour la distance de L1((ab)R) Soit E:= {x? [ab];f(x) = P(x)} et ?(x) :=
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Comment calculer les approximations de P?
La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de ? ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus : . On peut déduire arctan (1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :
Comment faire une approximation de fonctions?
Approximation de fonctions • Il faut se restreindre à une famille de fonctions – polynômes, – exponentielles, – fonctions trigonométriques… 4 Quelques méthodes d'approximation • Interpolation polynomiale – polynômes de degré au plus n • polynômes de Lagrange • différences finies de Newton • Interpolation par splines – polynômes par morceaux
Quelle est la différence entre interpolation et approximation polynomiale?
L'interpolation polynomiale consiste à faire passer une fonction localement polynomiale par des points. L'approximation polynomiale consiste à approcher une fonction fpar un polynôme p(au moins localement) de telle sorte que fet psoient proches.
Comment appelle-t-on une fonction polynomiale?
Par abus de langage, on appelle parfois une fonction polynomiale un polynôme, confondant ainsi la notion de fonction polynomiale avec celle de polynôme formel.
Département de mathématiques 2019-2020
L2 Maths, UE d"Analyse numérique
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de LagrangeExercice 1.(Identification) On considèrex,y?R4donnés par :x= [-2,0,1,2]ety= [4,0,0,4]. Parmi les poly- nômes suivants, lequel est le polynôme d"interpolationPaux pointsx,y(justifiez votre réponse)?1.P1(X) =X4-23
X3-3X2+83
X2.P2(X) =43
X2-433.P3(X) =13
X3+X2-43
X. Correction :On ne demande pas ici de calculer le polynôme mais de l"identifier. On vadonc utiliser la caractérisation équivalente (liée à l"unicité) du polynôme d"interpolation
de Lagrange associé aux pointsx,y:Ppol d"interp. de Lagrange associé àx,y
??(deg(P)63, P(-2) = 4, P(0) = 0, P(1) = 0, P(2) = 4)(1)Il n"y a plus qu"à trouver le polynôme qui satisfait toutes les propriétés de (1) (l"existence
et l"unicité du théorème du cours garantit qu"il existe et est unique). Le polynômeP1 est de degré 4, il est donc éliminé. Le polynômeP2a un terme constant non nul : il ne s"annule pas en0, il est donc éliminé. Reste le polynômeP3, on vérifie qu"il convient, c"est donc lui.Exercice 2.(Existence et unicité)
1. Mon trezqu"il existe une infinité de p olynômesde degré 2 don tle graphe pass epar les points(0,0)et(1,0). Correction :Cherchons les polynômes de degré 2p(x) =ax2+bx+ctels que p(0) = 0etp(1) = 0. Ce qui est équivalent au système linéaire ?c= 0 a+b+c= 0 En le résolvant, on obtientp(x) =ax(x-1)sans condition sura, ce qui correspond bien à une infinité de polynômes de degré 2. 12.Mon trezqu"il n"existe p asde p olynômede degré 2 passan tpar les p oints(0,1),
(1,4),(2,15)et(3,40). Correction :Comme dans la question précédante, on cherchep(x) =ax2+bx+c tels quep(0) = 1,p(1) = 4,p(2) = 15etp(3) = 40. Ce qui est équivalent au système linéaire ???c= 1 a+b+c= 44a+ 2b+c= 15
9a+ 3b+c= 40
En le résolvant, on trouve qu"il n"y a pas de solution, ce qui conclut la question.Exercice 3.(Construction... Malin ou bourrin?)
Remarque : C"est un bon exercice ici, maintenant que vous avez du recul d"essayer les différentes façons de calculer un polynôme d"interpolation. Calculer les polynômes d"interpolation de Lagrange aux points suivants : a.x= [-1,2,3]ety= [4,4,8] Correction :On calcule la base de Lagrange associée àx: L0(X) =112
(X-2)(X-3), L1(X) =-13 (X+1)(X-3), L2(X) =14 (X+1)(X-2) et alorsPa(X) = 4L0(X) + 4L1(X) + 8L2(X). IMPORTANT : Il n"est pas demandé/nécessaire/souhaitable de développer les po- lynômes de la base de Lagrange ni même de développerPa, vous allez ajouter des erreurs et le résultat final sera faux. b.x= [-2,-1,0,1]ety= [0,-2,-4,0] Correction :Ici on voit que le polynôme a 2 racines :-2et1. Cela signifie qu"il peut être factorisé par(X+ 2)(X-1), c"est à dire qu"il existe un polynôme Qtel quePb(X) =Q(X)(X+ 2)(X-1). Comme on sait quedeg(Pb)63, alors nécessairementQest de degré inférieur ou égal à1:Q(X) =aX+b. On cherche maintenantaetben utilisant les autres valeurs : P b(-1) =-2, Pb(0) =-4 ce qui équivaut à ?-2(-a+b) =-2 -2b=-4 ce qui donneb= 2, a= 1soitPb(X) = (X+ 2)2(X-1). Bien sûr, on vérifie a posteriori quePbconvient bien. c.x= [-1,0,1,2]ety= [6,2,0,0] 2 Correction :Ici on procède de la même manière que précédemment en remar- quant que1et2sont racines dePc. On obtient par le même raisonnement que précédemment P c(X) =-(X-2)(X-1). REMARQUE : On peut évidemment calculerPbetPcen calculant les polynômes de degré 3 de la base de Lagrange, mais il n"est pas nécessaire de calculer TOUS les polynômes de la base : seuls les polynômes oùPne s"annule pas sont utiles (en l"occurenceL2etL3pourPb,L1etL2pourPc). d.x= [-1,0,1]ety= [1,0,1] Correction :Ici un simple coup d"oeil permet de constater queX2convient, par unicité, on sait donc quePd(X) =X2. e.x= [-3,-1,2,10]ety= [-3,-1,2,10] Correction :Encore plus simple que précédemment, iciPe(X) =X.Exercice 4.(Utilisation de la caractérisation)
SoitPun polynôme. Montrer que son polynôme d"interpolation aux noeudsxi?R,06i6n, est le reste de la division euclidienne deppar le polynômeπn(x) = (x-
x0)(x-x1)...(x-xn).
Correction :Cet exercice vous démunit en général. Dans ce cas, revenons en à la base : que doit-on démontrer? On doit démontrer que le reste de la division euclidienne deP parπn(appelons-leR, on en reparlera plus tard) est LE polynôme d"interpolation de Paux noeudsxi, i= 1...n, c"est à dire, en utilisant la caractérisation du polynôme d"interpolation : deg(R)6n,?i= 1...n, R(xi) =P(xi). Ca paraît pas mais on a beaucoup avancé en disant ça, car on sait maintenant comment partir!Rappelons maintenant comment est définiR:
deg(R)Pour(x0,...,xn)?Rn+1, on considère la matrice
V(x0,...,xn) =(
(((((((1x0x20... xn01x1x21... xn1...............1xnx2n... xnn)
1.Mon trerque det (V(x0,...,xn)) =?
(i,j),06i1x1-x0x21-x0x1... xn1-x0xn-11...............
1xn-x0x2n-x0xn... xnn-x0xn-1n?
Ainsi, en développant par rapport à la première ligne, on obtient :V(x0,...,xn) =?
1-x0x1(x1-x0)... xn-11(x1-x0)
x n-x0xn(xn-x0)... xn-1n(xn-x0)? ce qui donne, par multi-linéarité :V(x0,...,xn) = (x1-x0)...(xn-x0)?
1xn... xn-1n?
On conclut par récurrence.
2. Soit (y0,...,yn)?Rn+1. Montrer qu"il existe un unique polynômeP?Rntel que P(xi) =yisi et seulement sixi?=xjpour tout(i,j),i?=j. Correction :C"est la preuve qui a été faite en amphi. Je la refais ici. Soit donc(y0,...,yn)?Rn+1, l"existence et l"unicité d"un tel polynôme est équi- valente à l"existence et l"unicité de coefficientsa0,...,antels que (en cherchant un 4 tel polynômePsous la formeP(X) =a0+a1X+···+anXnet en écrivant que pour touti= 0...n, P(xi) =yi) : ???a0+a1x0+a2x20+···+anxn0=y0
a0+a1x1+a2x21+···+anxn1=y1
a0+a1xn+a2x2n+···+anxnn=yn
c"est à dire l"existence et l"unicité d"un vecteur(a0,...,an)?Rn+1tel que (en ré-écrivant le système sous forme matricielleV(x0,...,xn)(a0,...,an)T= (y0,...,yn)T.
Or, d"après ce qui précède,V(x0,...,xn)est inversible si et seulement si lesxi sont deux à deux distincts. On a donc existence et unicité d"un tel polynôme si et seulement si lesxisont deux à deux distincts.Exercice 6.(Construction...)
Calculer le polynômePde degré inférieur ou égal à4tel que :1.P(-2) = 11, P(-1) = 1, P(0) = 1, P(1) = 5, P(2) = 31.
Correction :À moins d"avoir envie de se fader le calcul de l"inverse d"une matrice de Vandermonde de taille 5 ou de calculer les 5 polynômes de la base de Lagrange associée à ces noeuds, le mieux est sans doute ici d"utiliser la base de Newton. On obtient en faisant le tableau des différences diviséesP(X) = 11-10(X+2)+5(X+2)(X+1)+(X+2)(X+1)X+12
(X+2)(X+1)X(X-1).2.P(-1) = 4, P?(-1) =-4, P(0) = 0, P(1) = 0, P?(1) = 0.
Correction :Un exercice un peu différent ici puisqu"il ne s"agit pas d"interpo- lation de Lagrange : on impose aussi des valeurs aux dérivées dePaux noeuds d"interpolation! Quelle idée!! Comme souvent, deux méthodes sont envisageables ici : la méthode "bourrin" et la méthode "malin". La méthode bourrin consiste à chercher le polynôme sous forme indéterminée et écrire les5équations vérifiées par ses coefficients. On obtiendra comme pour l"in- terpolation de Lagrange un système linéaire de taille 5 à résoudre. Courage! Sinon, on remarque que le polynôme que l"on cherche a le bon goût d"avoir une racine simple : 0 et une racine double : 1 (c"est-à-dire quePETP?s"annulent en 1). On sait donc qu"on peut le factoriser parX(X-1)2et on le cherche donc (puisqu"on sait qu"il est de degré inéfrieur ou égal à 4) sous la formeP(X) =X(X-1)2(aX+b).
Il ne reste plus qu"à chercheraetben utilisant les valeurs dePet deP?en-1.On obtient après calcul
?a-b= 13a+ 2b=-1
5 ce qui donnea=45 ,b=-15 et donc finalement,P(X) =15X(X-1)2(4X-1).
Exercice 7.(Base de Lagrange)
Soitx0,...,xn(n+1) réels distincts deux à deux. Pourk? {0,...,n}, on note L k(x) =? j?{0,...,n},j?=kx-xjx k-xj lek-ième polynôme de Lagrange. 1. Mon trerque Lkest un polynôme de degrénvérifiantLk(xi) =δkipour tous k, i? {0,...,n}. 2. En déduire que la famille de p olynômes{Lk}k?{0,...,n}forme une base deRn[X]. Correction :Cet exercice fait l"objet d"une des preuves les plus importantes du cours.Je vous renvoie donc au cours (ou au poly).
Exercice 8.(examen 2016) (Exercice optionnel, pour aller plus loin) Soientx0= 0< x1< ... < xnet des réels donnésyi,06i6n. On considère le polynôme d"interpolation satisfaisantP(x0) =y0, P(-xi) =P(xi) =yi, pourtous16i6n.
1.Mon trerque le p olynômePest pair.
Correction :Cette question est un peu moins classique que le reste du TD, c"est pourquoi cet exercice n"a pas été abordé en TD. Plusieurs d"entre vous m"en ont demandé une correction, la voici. Je la détaille à l"extrême pour en faciliter la compréhension. N"hésitez pas à me contacter pour toute question. Pour simplifier les notations on va noter, pouri= 1...n:x-i=-xi. On a donc alors de l"interpolation avec2n+ 1noeuds :x-i,xipouri= 1...net0. Le polynôme que l"on cherche est donc de degré inférieur ou égal à2n. On rappelle par ailleurs quePn"est pas forcément de degré2n. De plus, le fait d"être de degré pair n"entraine pas quePsoit pair. En effet,P(X) =X2+X+ 1 n"est par exemple ni pair ni impair. Pour être pair,Pdoit être une somme de polynômes pair (qui sont eux même des sommes ou produits de polynômes pairs) :P(-X) =P(X).
On propose de commencer par se faire une idée de ce qui se passe ici en commençant par le cas oùn= 1. On a alors trois points :0,x1et-x1. On écrit les 3 polynômes de la base de Lagrange associée à0,-x1,x1. ??L0(X) =-1x
21(X-x1)(X+x1) =-1x
21(X2-x21)
L1(X) =12x21X(X+x1)
L -1(X) =12x21X(X-x1).On a alors :
P(X) =y0L0(X) +y1L1(X) +y-1L-1(X) =y0L0(X) +y1(L1(X) +L-1(X)) 6 puisquey-1=y1. On constate alors queL0est pair et que L1(X) +L-1(X) =12x21X(X+x1+X-x1) =X2x
21est pair.Pest donc finalement la somme de deux polynômes pairs. Il est donc pair. Voyons maintenant ce qui se passe dans le cas généraln>1. On procède de la même façon : on va calculerL0,LketL-kpour chaquek= 1...n.
Étape 1 : calcul deL0:
L0(X) =?
n? i=1X-xi-xi?? n? i=1X-x-i-x-i? =n? i=1(X-xi)(X-x-i)x i.x-i=n? i=1(X-xi)(X+xi)-x2i. Où on a utilisé le fait quex-i=-xi. On a finalement : L0(X) =n?
i=1(X2-x2i)-x2iqui est donc pair. Étape 2 : calcul deLketL-k, pourk? {1...n}fixé : L k(X) =( (n? i=1,i?=kX-xix k-xi) n? i=1X-x-ix k-x-i? (n? i=1,i?=kX-xix k-xi) n? i=1X+xix k+xi? On isole alors le termei=kdans le 2ème produit (qui correspond au termei=-k du polynôme) et on regroupe les autres termes dans le même produit : L k(X) =X+xk2xk( (n? i=1,i?=k(X-xi)(X+xi)(xk-xi)(xk+xi)) =X+xk2xkn i=1,i?=kX2-x2ix
2k-x2i.
Il est alors clair que
L -k(X) =X-xk-2xkn i=1,i?=kX2-x2ix
2k-x2i.
Étape 3 : calcul deP:
Comme dans le casn= 1, on écrit la décomposition dePdans la base de Lagrange :P=y0L0+n?
k=1(ykLk+y-kL-k) =y0L0+n? k=1y k(Lk+L-k) puisquey-k=ykpar hypothèse. On a vu queL0est pair, calculons maintenant L k+L-kpour toutk>1grâce aux calculs de l"étape2. L k(X) +L-k(X) =?X-xk-2xk+X+xk2xk? n? i=1,i?=kX2-x2ix
2k-x2i=n?
i=1,i?=kX2-x2ix
2k-x2i
qui est donc pair. Le polynômePest donc une somme de polynômes pairs. Il est donc pair. 72.En déduire en un minim umde calculs le p olynômed"in terpolationv érifiant
P(-1) = 2, P(0) = 4, P(1) = 2.
Correction :On peut utiliser le cas que l"on a étudié (avec 3 points) pour se faire une idée dans la question précédente. On obtient doncP(X) =-y0x
21(X2-x21) +y1x
21X2.Dans le cas présentx1= 1, y0= 4, y1= 2. On obtient alors
P(X) =-4(X2-1) + 2X2=-2X2+ 4.
On vérifie bien quePest pair et qu"il convient.Exercice 9.(examen 1999)
1. Calculer le p olynômed"in terpolationde Lagrange de la fonction f(x) =x(x2-1) relativement aux pointsx0=-1,x1= 1etx2= 2. Correction :Les valeurs de la fonctionfaux noeuds en question sont les sui- vantes : f(-1) =f(1) = 0, f(2) = 6. Il y a comme toujours deux façons de faire ici, on va présenter les deux méthodes (elles conduisent bien sûr au même polynôme par unicité). On utilise les racines -1et1: en effet on cherche ici un polynôme de degré inférieur ou égal à2, on sait qu"il admet1et-1pour racine, doncPest de la forme :P(X) =α(X-1)(X+1), avecαun réel à trouver. Pour le trouver, on utilise la valeur en2:P(2) = 3α= 6, d"oùα= 2. On a donc trouvéP(X) = 2(X-1)(X+ 1).
On p euts inonutiliser une maniè replus systématique d ecalculer ce p olynôme (système, base de Lagrange ou base de Newton). En jetant un coup d"oeil à la question suivante, on choisit la base de Newton pour éviter de devoir tout refaire! Le calcul des différences divisées donne le tableau suivant :x kf[xk]f[xk,xk+1]f[x0,x1,x2]-10 1002662
On obtient ainsi dans la base de Newton :
P(X) = 0 + 0?(X+ 1) + 2(X+ 1)(X-1) = 2(X-1)(X+ 1). 82.Même question en ra joutantle p ointx3=-2.
Correction :Toujours deux façons de faire en fonction de celle que l"on a choisieà la question précédente.
Si on a compris commen ton construit les différences divisées, on p eututiliser le polynôme calculé à la question précédente à l"aide des racines-1et1. On va ajouter à ce polynôme un polynôme de degré 3 qui s"annule en-1,1et2(pour garder le valeurs du polynôme calculé prcédemment en ces points : on cherche doncβun réel tel que Q(X) =P(X) +β(X-1)(X+ 1)(X-2), Q(-2) = 6-12β Comme on ajoute la contrainteQ(-2) =f(-2) =-6, on a nécessairementβ= 1et donc
Q(X) = 2(X-1)(X+ 1) + (X-1)(X+ 1)(X-2).
On p euttout aussi bien (et c"est ,comme on l"a vu en cours, l"in terêtprincipal de la base de Newton) reprendre le tableau des différences divisées précédent et rajouter une ligne avecx3=-2etf(x3) =-6. Il suffit alors de calculer les différences divisées qui apparaissent sur la dernière ligne et de rajouter le terme manquant à notre polynômex 1002662
-2-6311 ce qui conduit au polynômeQécrit dans la base de Newton :quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14
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