Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
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Quel est le nombre minimum d'intervalles qui assure une approximation de I avec au moins 4 chiffres significatifs. Exercice 3 : Déterminer les poids d'
Chapitre II Interpolation et Approximation
27) ; la convergence (même uniforme) n'est pas trop difficile. `a démontrer (voir exercices). Mais : la base de Haar est composée de fonctions discontinues
Analyse Numérique
INTERPOLATION ET APPROXIMATION POLYNÔMIALE satisfasse (3.17) aux points. { cos j n+1 π j = 0
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Sur l'intervalle [0 π]
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Méthodes numériques
2.5 Corrigés des exercices C'est ce qu'on appelle Interpolation polynomiale : interpolation de la fonction f par le.
Série dexercices no5/6 Interpolation polynomiale
Interpolation polynomiale. Exercice 1. a) Montrer que le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f aux points distincts. (xi)1 i n.
Analyse Numérique
3.4 Approximation par des fonctions polynômiales par morceaux . Exercice 1.1 En écrivant un petit programme trouver la capacité et le pas de votre.
Correction TD 1 : Approximation de fonctions
NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n'ayant pas été corrigés en TD le résultat de l'interpolation polynômiale des points (xiyi) calculé en x.
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12 sept. 2018 Montrer que quel que soit ?(n) calculable en temps polynomial il n'existe pas de ?(n)-approximation pour k-centre
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Corrigé (des exercices 1-8) du TD no 9 — Formules de Taylor
3. La formule de Taylor-Young en 2 à l'ordre 4 pour la fonction polynomiale P(x)=1+ x + x2 + x3.
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Interpolation polynômiale. Exercice 1 : On consid`ere (n + 1) points distincts {x0x1
Chapitre II Interpolation et Approximation
2x3x1] = ?2y[x1x2x3] voir exercices) on peut utiliser les valeurs calcule´es dans le tableau II 1 Si xest entre 4et 5 les deux facteurs x?4et x?5dans la formule pre´ce´dente sont relativement petits ce qui favorise la diminution des erreurs d’arrondi II 2 Erreur de l’interpolation
Arc tangente - Wikimonde
Exercice 1 1 Montrer qu’il existe une in?nit´e de polynˆomes passant par les points M 0 = (00) et M 1 =(11) 2 Trouver 4 r´eels f 0 f 1 f 2 f 3telsqu’aucungraphedepolynˆomedeP 2 ne passe par les 4 points M 0 =(?1f 0) M 1 =(0f 1) M 2 =(1f 2) et M 3 =(2f 3)
TD d’Analyse Numérique 1 - CNRS
Exercice 2 : Un cas particulier non hilbertien [Héron Issard-Roch Picard] Le but de cet exercice est de montrer que pour f? C0([ab]R) il y a unicité du pma dans L1((ab)R) Soit [ab] un intervalle borné de R n? N f? C0([ab]R) et P? Pn un pma de fpour la distance de L1((ab)R) Soit E:= {x? [ab];f(x) = P(x)} et ?(x) :=
Correction TD 1 : Approximation de fonctions - Inria
Correction TD 1 : Approximation de fonctions NB:Nesontcorrigésiciquelesexercicesn’ayantpasétécorrigésenTD(pourcesexercicescf vosnotes) 1 Méthode des moindres carrés Exercice1(quartetd’Anscombe) LestatisticienFrancisAnscombeadé?nien1973plusieursensembles dedonnéesayantunepropriétéintéressante Lesvoici x y x y x y x y 10:0 8:
Comment calculer les approximations de P?
La fonction arctan peut être utilisée pour calculer des approximations de ? ; la formule la plus simple, appelée formule de Leibniz, est le cas x = 1 du développement en série ci-dessus : . On peut déduire arctan (1/x) de arctan x et inversement, par les équations fonctionnelles suivantes :
Comment faire une approximation de fonctions?
Approximation de fonctions • Il faut se restreindre à une famille de fonctions – polynômes, – exponentielles, – fonctions trigonométriques… 4 Quelques méthodes d'approximation • Interpolation polynomiale – polynômes de degré au plus n • polynômes de Lagrange • différences finies de Newton • Interpolation par splines – polynômes par morceaux
Quelle est la différence entre interpolation et approximation polynomiale?
L'interpolation polynomiale consiste à faire passer une fonction localement polynomiale par des points. L'approximation polynomiale consiste à approcher une fonction fpar un polynôme p(au moins localement) de telle sorte que fet psoient proches.
Comment appelle-t-on une fonction polynomiale?
Par abus de langage, on appelle parfois une fonction polynomiale un polynôme, confondant ainsi la notion de fonction polynomiale avec celle de polynôme formel.
Universit´e Sultan Moulay Slimane2009-2010
Module : Analyse num´eriquepar S. Melliani & L. S. ChadliAnalyse num´eriqueExercices corrig´es
Interpolation polynˆomiale
Exercice 1
D´eterminer le polynˆome d"interpolation de Lagrange satisfaisant au tableau ci-dessous x0235 f(x)-12987Corrig´e :Rappelons que le polynˆome de Lagrange bas´e sur les points d"appui d"abscissesx0,x1, ...,xnest de degr´e
net s"´ecrit : P n(x) =n? k=0f(xk)Lk(x) avecLk(x) =n? j=0,j?=kx-xj xk-xj ici les points d"appui donn´es par : x0= 0f(x0) =-1
x1= 2f(x1) = 2
x2= 3f(x2) = 9
x3= 5f(x3) = 87
d´eterminons donc un polynˆome de Lagrange de degr´e 3, celui-ci s"´ecrit : P3(x) =3?
k=0f(xk)Lk(x) avec L0(x) =(x-x1)(x-x2)(x-x3)
(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3) =(x-2)(x-3)(x-5) (0-2)(0-3)(0-5) =-130(x-2)(x-3)(x-5)L
1(x) =(x-x0)(x-x2)(x-x3)
(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3) =(x-0)(x-3)(x-5) (2-0)(2-3)(2-5) =16x(x-3)(x-5)
L2(x) =(x-x0)(x-x1)(x-x3)
(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3) =(x-0)(x-2)(x-5) (3-0)(3-2)(3-5) =-16x(x-2)(x-5)L
3(x) =(x-x0)(x-x1)(x-x2)
(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2) =130x(x-2)(x-3)
Finalement
P3(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) +f(x3)L3(x)
5330x3-7x2+25330x-1
Exercice 2
Soitf(x) =1
1 +x2. D´eterminer le polynˆome d"interpolation de Lagrange pour les points d"appui d"abscisses :-2,-1,
0, 1, 2. Ensuite discuter l"erreur d"interpolation.
Corrig´e :Soitf(x) =1
1 +x2. Les points d"appui sont :
x0=-2f(x0) =1
5x1=-1f(x1) =1
2x2= 0f(x2) = 1
x3= 1f(x3) =1
2x4= 2f(x4) =1
5 1 Le polynˆome de Lagrange est de degr´e 4. Il s"´ecrit P4(x) =4?
k=0f(xk)Lk(x) avec L0(x) =1
24x(x+ 1)(x-1)(x-2)L1(x) =-18x(x+ 2)(x-1)(x-2)
L2(x) =1
4(x+ 2)(x+ 1)(x-1)(x-2)L3(x) =-16x(x+ 2)(x+ 1)(x-2)
L4(x) =1
24x(x+ 2)(x+ 1)(x-1)
Finalement,
P4(x) =f(x0)L0(x) +f(x1)L1(x) +f(x2)L2(x) +f(x3)L3(x) +f(x4)L4(x)
1120x(x+ 1)(x-1)(x-2)-112x(x+ 2)(x-1)(x-2)
14(x+ 2)(x+ 1)(x-1)(x-2)-112x(x+ 2)(x+ 1)(x-2)
1120x(x+ 2)(x+ 1)(x-1)
110x4-35x2+ 1
Calculons l"erreur th´eorique sur cette interpolation. celle-ciest donn´ee ou pointxpar :E(x) =f(x)-Pn(x) =γn+1(x)-1
(n+ 1)!f(n+1)(ξx) o`uξ?I= (minxi,maxxi)Elle v´erifie,
|E(x)|?|γn+1(x)|1 (n+ 1)!Mn+1o`uγn+1(x) =n? k=0(x-xk)Mn+1= maxt?I??? f(n+1)(t)??? Comme ici on a 5 points d"appui, cette erreur est major´ee par :|E(x)|?|γ5(x)|1 5!M5On a clairementγ5(x) =?
k=0(x-xk) =x(x2-1)(x2-4). Il reste `a calculerM5= maxt?I??? f(5)(t)??? . Un calcul assez long donne :f(5)(x) =-240x(3-10x2+ 3x4) (1 +x2)6de mˆeme, on trouvef(6)(x) =-240(1 +x2)7?-21x6+ 105x3-63x2+ 3?.Ainsi l"´etude def(5)donneM5= 100. Finalement,
|E(x)|?|γ5(x)|1Exercice 3
Avec quelle pr´ecision peut-on calculer⎷
115 `a l"aide de l"interpolation de Lagrange, si on prend les points :x0= 100,
x1= 121,x2= 144.
Corrig´e :
Exercice 4
1. Utiliser la formule d"interpolation de Lagrange pour trouver la cubique passant par 0.4, 0.5, 0.7, 0.8 pour
f(x) = sin(x)2. Mˆeme question pourf(x) =1
tanxCorrig´e :
Exercice 5
Soitf(x) =⎷
2 +x1. Determiner le polynˆomeP(x) Lagrange bas´e sur les points d"abscisses 0, 1 et 2.
2. CalculerP(0.1) etP(0.9), et comparer aux valeurs exactes.´Evaluer l"erreur d"interpolation en ces deux points.
2Int´egration num´erique
Exercice 6
D´eterminer par la m´ethode des trap`ezes puis par celle de Simpson? 20f(x)dxsur la base du tableau suivant :
x0π 8 4 3π 82f(x)00.3826830.7071070.9238801
Ces points d"appui sont ceux donnant sinx, comparer alors les r´esultats obtenus avec la valeur exacte.
Corrig´e :
I=? 20f(x)dx
1. SoitTl"approximation deIpar la m´ethode des trap`ezes, le pashdonn´e parh=xn-x0
n=π8 T=h 2? f(x0) +f(x4) + 23? i=1f(xi)?16(0 + 1 + 2(0.382683 + 0.707107 + 0.92388))
= 0.9871162. SoitSl"approximation deIpar la m´ethode de Simpson. Celle-ci s"´ecrit,
S=h3(y0+y4+ 4(y1+y3) + 2y2)
813[(0 + 1 + 4(0.38...+ 0.92...) + 2×0.707...)]
= 1.000135 Les points d"appui donn´es dans cet execice correspondent `a la fonction sinx. Et? 20sinxdx= 1. On constate donc
que l"approximation deIdonn´ee par la m´ethode de Simpson est meilleure que celle par lestrap`ezes,
puisque|S-I|= 0.000135 et|T-I|= 0.012884.Exercice 7
On lance une fus´ee verticalement du sol et l"on mesure pendant lespremi`eres 80 secondes l"acc´elerationγ:
t(en s)01020304050607080 γ(en m/s2)3031.6333.4435.4737.7540.3343.2946.7050.67Calcule la vitesseVde la fus´ee `a l"instantt= 80s, par la m´ethode des trap`ezes puis par Simpson.
Corrig´e :On sait que l"accelerationγest la d´eriv´ee de la vitesseV, donc,V(t) =V(0) +?
t 0γ(s)ds?V(80) = 0 +?
800
γ(s)ds
I1. CalculonsIpar la m´ethode des trap`ezes. Ici, d"apr`es le tableau des valeurs,h= 10.
I=h 2?γ(x0) +γ(xn) + 2n-1?
i=1γ(xi)? 12×10(30 + 50,67 + 2(31,63 +···+ 46,70))
= 3089m/s2. CalculonsIpar la m´ethode de Simpson
V(80) =h
3(γ(x0) +γ(xn) + 4(γ(1) +γ(x3) +···) + 2(γ(2) +γ(x4) +···))
103(30 + 50,67 + 4(31,63 + 35,47 +···) + 2(33,44 + 37,75 +···))
= 3087m/s 3Exercice 8
Calculer `a l"aide de la m´ethode des trap`ezes l"int´egraleI=? 0 sinx2dxavec le nombre de points d"appuin= 5 puis n= 10.Corrig´e :SoitI=?
0 sinx2dx1.n= 5 donc le pas d"int´egration esth=π
5. CalculonsIpar la m´ethode des trap`ezes.
I=h 2? f(x0) +f(xn) + 2n-1? i=1f(xi)?10(0 + 1 + 2(sin(π)2+ sin(0) + 2(sin(π5)2+ sin(2π5)2+ sin(3π5)2+ sin(4π5)2))
= 0.5044312.n= 10 donc le pas d"int´egration esth=π
10.I=π
20(0 + 1 + 2(sin(π)2+ sin(0) + 2(sin(π10)2+ sin(2π10)2+ sin(3π10)2+ sin(4π10)2))
= 0.722338alors que la valeur 'exacte" est approximativement 0,772651. Avec ce pas plus petit l"approximation num´erique est
meilleure.Exercice 9
Trouver le nombrende subdivisions n´ecessaires de l"intervalle d"int´egration [-π,π], pour ´evaluer `a 0.5 10-3pr`es,
grˆace `a la m´ethode de Simpson, l"int´egrale? -πcosx dxCorrig´e :Soit
I=? -πcosx dxLe pas d"int´egration esth=b-a
n=2πn. D"autre part l"erreur th´eorique sur la m´ethode de Simpson estdonn´ee parE(h) =-(b-a)
180h4f(4)(ξ)
-2π180(2πn)4cos(ξ)
o`uξ?[a,b], par cons´equent, |E(h)|?????-2π180(2πn)4????
Ainsi pour que|E(h)|?0.5 10-3il suffit quenv´erifie????π9016π4n4????
?0.5 10-3, donc,n4?10.5 10-3π9016π4. Ainsinv´erifien?18.6 On prendra par exemplen= 20, car pour la m´ethode de Simpson, le nombre de subdivisions de
l"intervalle [a,b] doit toujours ˆetre pair.Exercice 10
Soita?x0< x1<···< xn-1< nn?bune partition fix´ee de l"intervalle [a,b]. Montrer qu"il existe un unique
(n+ 1)-uplet (μ0,μ1,...,μn) de nombres r´eels tels que b aP(x)dx=n?
i=0μ iP(xi) Pour tout polynˆomePde degr´e inf´erieur ou ´egal `an. 4 Corrig´e :Le polynˆomePs"´ecrit dans la base de LagrangeP(x) =n? i=0L i(x)P(xi) (1) avecLi(x) =n? j=0 j?=ix-xj xi-xj, puis on int´egre (1) sur [a,b], on obtient : b aP(x)dx=?
b an i=0L i(x)P(xi)dx=n? i=0? ?b a L i(x)dx?P(xi) =n?
i=0μ iP(xi)Exercice 11
Calculer?
21⎷
xdxpar la formule des rectangles en d´ecomposant l"intervalle d"int´egration en dix parties.´Evaluer
l"erreur commise. Corrig´e :Ona= 1,b= 2 etn= 10. Le pas de discr´etisationh=b-a n=2-110= 0.1 21⎷
xdx=? 1,11⎷xdx+?
1,21,1⎷xdx+···+?
1,91,8⎷xdx+?
21,9⎷xdx
On applique la formule des rectangles sur chaque sous intervalle, on obtient 21⎷
xdx=h?⎷1 +?1,1 +?1,2 +···+?1,8 +?1,9? ≈1,1981 L"estimation de l"erreur comise par la m´ethode des rectangles est|E|?h2(b-a)12maxx?[a,b]|f??(x)|
On af(x) =⎷
xetf??(x) =-14⎷x3donc maxx?[1,2]|f??(x)|?14ce qui implique que|E|?2.10-4Exercice 12
1.´Ecrire le polynˆome d"interpolation de LagrangeP(x) d"une fonctionfconstruite sur les points :
-1,-13,13,1
2. Par int´egration du polynˆome obtenu, d´eduire la formule d"int´egration approch´ee suivante :
1 -1f(x)dx≈14f(-1) +34f?
-13? +34f?13?+14f(1)
Corrig´e :
1. On posex0=-1,x1=-1
3,x2=13,x3= 1. Les polynˆomes auxiliaires de Lagrange associ´es sont :
L0(x) =-16
9(x3-x2-19x+19)L1(x) =2716(x3-1xx2-x+13)
L2(x) =-27
16(x3+1xx2-x-13)L3(x) =169(x3+x2-19x-19)
l"expression du polynˆome d"interpolation de Lagrange est f(x)≈P(x) =L0(x)f(-1) +L1(x)f(-13) +L2(x)f(13) +L3(x)f(1)
2. on int´ege le polynˆome sur [-1,1]
1 -1f(x)dx≈? 1 -1P(x)dx 1 -1L0(x)dx f(-1) +?
1 -1L1(x)dx f(-1
3) +? 1 -1L2(x)dx f(13) +?
1 -1L3(x)dx f(1)
14f(-1) +34f(-13) +34f(13) +14f(1)
5La r´esolution de l"´equation F(x)=0
Exercice 13Soit la fonctionF(x) = 2x3-x-2, on se propose de trouver les racines r´eelles deFpar la m´ethode
des approximations successives.1. Montrer queFposs`ede une seule racine r´eelleα?[1,2]
2. Etudier la convergence des trois m´ethodes it´eratives suivantes :x0?[1,2] donn´e et
(a)xn+1= 2x3n-2; (b)xn+1=22x2n-1
Corrig´e :Soit l"´equationF(x) = 2x3-x-2 = 0. Il est clair queFest continue et d´eivable surR.
On aF(1) =-1,F(2) = 12, doncF(1)F(2)<0. D"autre part,F?(x) = 6x2?0 sur [1,2]. Donc, d"apr`es le th´eor`eme
de la valeur interm´ediaire, il existe une seule solutionα?[1,2] telle queF(α) = 0.(a) Etudions la convergence de la suitexn+1=g1(xn) = 2x3n-2. Tout d"abord, cette suite, si elle converge, conduit
bien `a une racine deF(x) = 0 car siαest la limite de la suite (xn), alorsα= 2α3-2 doncF(α) = 2α3-α-2
Par ailleurs,g?1(x) = 6x2?6 sur [1,2]. Par cons´equent, grˆace au th´eor`eme des accroissements finis, ilexisteξn
compris entrexnetxn+1tel que |g1(xn+1)-g1(xn)|=g?1(ξn)|xn+1-xn|quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32[PDF] approximation polynomiale moindres carrés
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