Mathématiques pour Ingénieur PDF

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Mathématiques pour Ingénieur

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1 Approximating Integrals using Taylor Polynomials

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Chapitre 2 : Interpolation polynomiale

Objectif :

App rocherune fonction dont on ne conna ^tl esvaleurs qu'en certains p oints.Lorsqu'une fonction connue analytiquement est dicile a evaluer, dierencier ou integrer par

ordinateur.Lorsque l'on dispose d'un nombre ni de valeurs obtenues experimentalement (etalonnage en

metrologie, releve de la temperature d'une reaction chimique au cours du temps, ...)Pourquoi une approximation polynomiale?

Toute fonction continue peut-^etre approchee par un polyn^ome, Supposons quefest denie et continue sur [a;b]. Pour tout" >0, il existe un polyn^ome

P(x) tel que :

jf(x)P(x)j< ";8x2[a;b]:Theoreme 1(d'approximation de Weirstrass)Calculs de derivees et d'integrales de polyn^omes sont plus aises.1

2.1 Approximation d'une fonction par son polyn

^ome de Taylor au voisinage d'un point Le polyn^ome de Taylor de degrenenadefest une approximation defau voisinagedea. Si l'on sait estimer l'erreurRn, on obtient la precision de l'approximation. Exemple.Polyn^omes de Taylor de degren= 1;;5, def(x) =exau point 0. P

1(x) = 1;P2(x) = 1 +x;

3(x) = 1 +x+x22

+x36 P

4(x) = 1 +x+x22

+x36 +x424 P

5(x) = 1 +x+x22

+x36 +x424 +x5120 :P

2(x)P4(x)P6(x)P8(x)P10(x)exx= 0:21:220000 1:221400 1:221403 1:221403 1:221403 1:221403x= 38:500000 16:375000 19:412500 20:009152 20:079665 20:0855372

Exemple.Polyn^omes de Taylor de degrendef(x) =1x

au point 1. P n(x) =nX k=0(1)k(x1)k:

L'approximation def(3) =13

a l'aide dePn(x) conduit a : n0 1 2 3 4 5 6 7 P n(3)11 35 1121 4385Le polyn^ome de Taylor donne une approximation precise d'une fonction en un point specique. Comment obtenir une approximation sur l'intervalle tout entier?

Formulation mathematique :

etantdonn es( n+ 1) couples (xi;yi) le probleme consiste a trouver une fonction (x) telle que (xi) =yi;i= 1;:::;m;

ou lesyisont donnes.On dit alors que interp olefyigiauxnuds fxigi.Lorsque est un polyn^ome on parle d'interpolation polynomiale.

Lorsque est un polynomiale par morceaux on parle d' interpolation polynomiale par morceaux (ou d' interpolation par fonctions splines ).Lorsque est un polyn^ome trigonometrique on parle d'interpolation trigonometrique.3 Soient (n+1) couples (xi;yi). On cherche un polyn^ome mde degre inferieur ou egal amtel que m(xi) =amxmi++a1xi+a0=yi;i= 0;:::;n:Le polyn^ome

mest appelep olyn^omed'interp olation(o up olyn^omeinterp olant).Les pointsxisont appelesnuds d'interp olation.Denition 1

Notation :Lorsqueyi=f(xi),fetant une fonction donnee, le polyn^ome d'interpolation n(x) est note

nf(x).Dans tout ce qui suit on considerera le casn=m.Etant donne (n+ 1) points distinctsx0;:::;xnet (n+ 1) valeurs correspondantes

0;:::;yn, il existe un unique polyn^ome nde degre inferieur ou egal antel que

n(xi) =yipouri= 0;:::n.Theoreme 2(Existence et unicite)4

Comment trouver un tel polyn

^ome?1Methode generale : Remplacer les coordonnees des points dans l'expression du polyn^ome et resoudre le systeme lineaire. I

Procedure co^uteuse.

ISystemes mal conditionnes.2Methodes ad hoc :

1Methode de Lagrange.

2Methode de Newton.

M^eme polyn^ome que par la methode de Lagrange.

FCo^ut de calcul moins eleve que par la methode de Lagrange.3Methode de Hermite 4... 5

2.1 Polyn

^omes d'interpolation de LagrangeOn appellep olyn^omesca racteristiquesde Lagrange les p olyn^omes`idenis pouri=

0;:::;npar

i(x) =nY j=1;j6=ixxjx ixj:Denition 2 Notation.Soientu1;u2;;uN,Nreels. On note le produitu1u2 uNpar :QN i=1ui. Ainsi, les polyn^omes caracteristiques de Lagrange s'ecrivent :

0(x) =(xx1)(xxi)(xxn)(x0x1)(x0xi)(x0xn);

1(x) =(xx0)(xx2)(xxi)(xxn)(x1x0)(x1x2)(x1xi)(x1xn);

i(x) =(xx0)(xxi1)(xxi+1)(xxn)(xix0)(xixi1)(xixi+1)(xixn);i6=;0;1;n n(x) =(xx0)(xxi)(xxn1)(xnx0)(xnxi)(xnxn1):

Les polyn^omes caracteristiques de Lagrange :

sont de degren,sont tels que`i(xi) = 1;i= 0;:::net`i(xj) = 0 pour toutj6=i. 6 Les polyn^omes caracteristiquesf`igi=0;:::;nforment une base de l'ensemble des po- lyn^omes de degre inferieur ou egal an.Proposition 1

Ainsi,

Le polyn^ome interpolantfyigi=0;:::;naux nudsfxigi=0;:::ndans la basef`igi=0;:::;n s'ecrit n(x) =nX i=0y i`i(x):

Ce polyn^ome est appele

p olyn^omed'interp olationde Lagrange .Theoreme 37 Exemple.Determiner le polyn^ome de Lagrange interpolant les pointsy0= 10;y1= 4 ety2= 6 aux nudsx0=2;x1=1 etx2= 1.-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -20246810-2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

246810121416

A gauche,Polyn^omes caracteristiques de Lagrange,`0;`1,`2, a droitePolyn^ome d'interpolation de Lagrange2.Exemple.Soientf(x) = cos(x) etq0= (0;1);q1= (=16;cos(=16)) etq2= (=8;cos(=8)).

1. Calculer l ep olyn^omed'interp olationde fpassant par ces 3 points et en deduire une approximation de cos(=32). 2. Calculer le d eveloppementde T aylorde fde degre 2 de la fonctionf(x) = cos(x) au voisinage de 0 et en deduire une approximation de cos(=32).8

2.2 Erreur d'interpolation

On appelle

p olyn^omeno dal de degr e( n+ 1) le polyn^ome deni par!0= 1 n+1(x) =nY i=0(xxi) = (xx0)(xx1):::(xxn);n0:Denition 3 Soientx0;:::;xn;(n+ 1) nuds distincts etxun point appartenant au domaine de denition def. Sif2 Cn+1(Ix), ouIxest le plus petit intervalle contenant les nuds x

0;:::;xnet le pointx. Alors, l'erreur d'interpolation au pointxest donnee par :

E n(x) =f(x)nf(x) =f(n+1)()(n+ 1)!!n+1(x);avec2Ix:Theoreme 4 Exemple.Soit la fonctionf(x) = 2xe(4x+2)denie sur l'intervalle [0:2;1]. 1. Calculer le p olyn^omed'interp olationde Lagrange interp olantfaux nudsx= 0;2 etx= 1. 2. P ourquelle valeur de x2[0:2;1] l'erreur d'interpolationjE2(x)jest-elle maximale?9

2.3 Forme de Newton du polyn

^ome d'interpolation Objectif :Etant donnees (n+ 1) paires (xi;yi);i= 0;:::n;ecrire ntel que n(x) = n1(x) +qn(x); ouqnest un polyn^ome de degrenne dependant que des nudsxiet d'un seul coecient inconnu.Alors : q n(x) =an(xx0)(xx1)(xxn1) =an!n(x); aveca0;;andes reels.Puisqueqn(xi) = n(xi)n1(xi) = 0 pouri= 0;;n1, on a necessairement q

n(x) =an(xx0)(xxn1) =an!n(x):Pour determiner le coecientan, supposons queyi=f(xi);i= 0;;n;oufest une fonction

donnee, pas necessairement sous forme explicite. Puisque nf(xn) =f(xn), on deduit que a n=f(xn)n1f(xn)! n(xn):Le coecientanest appelen-eme dierence divisee de Newtonet est so uventnot e a n=f[x0;x1;:::;xn]:Denition 410 Les polyn^omes nodauxf!igi=0;:::;nforment une base de l'ensemble des polyn^omes de degre inferieur ou egal an.Proposition 2

En posanty0=f(x0) =f[x0], et!0= 1, on a

nf(x) =nX k=0! k(x)f[x0;:::;xk]:

Cette expression est appelee

fo rmuledes di erencesdivis eesde Newton du p olyn^ome d'interpolation.Theoreme 5 Remarque.Par unicite du polyn^ome d'interpolation cette expression denit le m^eme polyn^ome

que la formule de Lagrange.1La valeur prise par la dierence divisee est invariante par permutation des nuds.

2On a la formule de recurrence suivante :

f[x0;:::;xn] =f[x1;:::;xn]f[x0;:::;xn1]x nx0;n1:Proprietes11

Calcul des diff

erences divisees de Newton Des proprietes ci-dessus on peut deduire letableau des dierences divisees: xf(x) 1ere di. divisees 2eme di. diviseesneme di. diviseesx

0f[x0]

1f[x1]f[x0;x1]

2f[x2]f[x1;x2]f[x0;x1;x2]

x Pourn+ 1 points il est necessaire de calculer une matrice triangulaire inferieure de taillen

laquelle an(n+ 1)=2 elements dierents de zero.n(n+ 1) additions etn(n+ 1)=2 divisions sont necessaires pour construire la matrice

triangulaire inferieure des dierences divisees.Pour construire

n+1a partir de n, (n+ 1) divisions et 2(n+ 1) additions sont necessaires.Ceci n'est pas le cas pour la methode de Lagrange ou il est necessaire de repeter toute la

procedure.12

Exemple.

Etant donne trois points (0;1);(2;5) et (4;17), determiner le polyn^ome d'interpolation passant par ces points.Soitfune fonction passant par les pointsq1= (0;3);q2= (2;1) etq3= (5;8). 1. Donner la f ormede Newton d up olyn^omed'interp olationde fpassant par les pointsq1;q2etq3et donner une approximation def(3). 2. Sachant q uef(6) = 7, donner une approximation de l'erreur commise. 3. On sait aussi que f0(0) = 6. Calculer le polyn^ome d'interpolation de degre minimal passant par les

pointsq1;q2etq3, dont la derivee enx= 0 est egale a 6.Une voiture roulant a 60km/h accelere au tempst= 0s et sa vitessev(en km/h) est

mesuree regulierement : t[s]0:0 0:7 1:4 2:1 2:8v[km=h]60 72:4 81:5 87:2 95:9 1. A l'aide d'un polyn^ome d'interpolation de degre inferieur ou egal a 2, donner une approximation de la vitesse (en km/h) at= 1:2s. 2. Donner l'exp ressionanalytique de l' erreurcommise. 3.

Obtenir une app roximationde cette erreur. 13

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