Approximation linéaire
Les braves fonctions ont une tangente en chaque point de leur graphe (et ça se dessine). Le slogan c'est. ”Au voisinage d'un point
Approximation linéaire
Les braves fonctions ont une tangente en chaque point de leur graphe (et ça se dessine). Le slogan c'est. ”Au voisinage d'un point
1 Résolutions déquations avec une variable 2 Approximation dune
f (0)(dx)2 < 0 puisque la fonction est concave : donc l'approximation linéaire est plus grande que. f. 3 Approximations. Pour cet exercice
1 Approximations 2 Approximation dune fonction concave 3
Donner une approximation linéaire de g(1/2) à 10?2 près. 2 Approximation d'une fonction concave. Le but de cet exercice est de vérifier quand f est une
Fonctions de deux variables
Pour une fonction dérivable f d'une variable on se rappelle que l'approximation linéaire au point a est la fonction dont le graphe est la tangente
Université de Nice Année 2007-2008 Département de
Approximations quadratiques et formule de Taylor. On a vu lors du premier cours que pour une fonction dérivable x ?? f(x) l'approximation linéaire.
Équation des tangentes et approximation affine
y = 11+6(x-2) = 6x-1. L'approximation affine ou linéaire. Supposons que la fonction f(x) ait une dérivée au point a :.
Notes du cours MTH1101 – Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs
Dérivées partielles. 2 Approximations des fonctions de plusieurs variables. Plan tangent et approximation linéaire. Dérivation des fonctions composées.
Approximation quadratique
L'approximation quadratique. Dans l'approximation linéaire on approche une fonction f autour de a par la fonction affine L qui vérifie L(a) = f (a) et.
Chapitre II Interpolation et Approximation
Probl`eme de l'interpolation : on recherche des fonctions “simples” (polynômes linéaire (`a matrice du type Vandermonde ; ici écrit pour n = 2).
01TTP Approximation lineaire
l’idée d’approximation linéaire d’une part par le calcul de l’erreur d’autre part dans le second cas par la recherche d’une amélioration de ladite erreur en prenant non plus une approximation linéaire mais une approximation polynomiale Le principe est qu’en fonction que l’on ne sait pas calculer
Ondes sonores dans les uides Chapitre IV : Propagation d
Faire une approximation lin´eaire d’un nombre c’est choisir (ou comprendre) qui sont f et a (et du coup h) calculer f(a) h et f0(a) ”proposer” f(a)+hf0(a) comme approximation de f(a +h) Exemple Si on veut une approximation du nombre sin3 on peut prendre f := sin a := ? (? est le nombre le plus proche de 3 dont le sinus est connu)
1Approximations - Paris School of Economics
Il y a plusieurs choix concernant l’approximation d’unefonction: Principe de l’approximation f(x+dx) = f(x) +df Approximation linéaire f(x+dx) = f(x) +fxdx Approximation quadratique f(x+dx) = f(x) +fxdx+ 1 2 fxx(dx)2 où dfreprésente la « di?érentielle de f» cad sa partieapproximée Pour une fonction de deux variables onadditionne
Approximations linéaires
cette fonction donnera de bonnes approximations de pour ( ) proche de ( ) La fonction L est appelée la linéarisation de f en ( ) L:=(xy)->f(ab)+D[1](f)(ab)*(x-a)+D[2](f)(ab)*(y-b); et l'approximation est appelée l' approximation linéaire ou approximation par le plan tangent de f en ( )
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Il y a plusieurs choix concernant l’approximation d’unefonction: Principe de l’approximation f(x+dx) = f(x) +df Approximation linéaire f(x+dx) = f(x) +fxdx Approximation quadratique f(x+dx) = f(x) +fxdx+ 1 2 fxx(dx)2 où dfreprésente la « di?érentielle de f» cad sa partieapproximée Pour une fonction de deux variables
Comment calculer l’approximation linéaire?
? ? 1, n’est en réalité qu’une seule et unique condition : Dans l’approximation linéaire, la vitesse de déplacement des particules uides v doit être faible devant la vitesse de propagation c. Ou de manière équivalente, l’approximation linéaire est une approximation de grande longueur d’onde : = cT vT amplitude des oscillations du uide. 7.3.
Comment faire une approximation de fonctions?
Approximation de fonctions • Il faut se restreindre à une famille de fonctions – polynômes, – exponentielles, – fonctions trigonométriques… 4 Quelques méthodes d'approximation • Interpolation polynomiale – polynômes de degré au plus n • polynômes de Lagrange • différences finies de Newton • Interpolation par splines – polynômes par morceaux
Comment calculer l’approximation d’une fonction de plusieurs variables?
3.2 Approximation d’une fonction de plusieurs variables 47 Nous cherchons donc une approximation de f(1,01). On pose : x= 1,?x= 0,01.
Comment calculer la fonction linéaire ?
Calculer : g (- 3 ) ; g (1 ) ; g (3, 5 ) ; g ( -5 / 6 ) . Donner l’ expression de la fonction linéaire f , si l’image de 4 par f est égale à 20 . Dans un repère (O,I ,J ) , la représentation graphique d’une fonction linéaire est toujours Une droite ? Le point A (4 ; 5 ) est-il un point de la courbe représentative de la fonction h ?
Notes du cours MTH1101 - Calcul I
Partie II: fonctions de plusieurs variables
Guy Desaulniers
D´epartement de math´ematiques et de g´enie industriel´Ecole Polytechnique de Montr´eal
Automne 2022
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 2/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
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Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 3/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction de plusieurs variables Une fon ctionfdenvariablesa ssigne` ach aquevec teur (x1,x2,...,xn) de son domaine de d´eifinitionD⊆Rnune valeur r´eelle unique, not´eef(x1,x2,...,xn) : f:D→R (x1,x2,...,xn)→f(x1,x2,...,xn).4/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : domaine et image Dest appel´e led omainede d ´eifinitiond efet l'imageIdefsurD est l'ensemble des valeurs que peut prendrefsurD:Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesIl existe plusieurs fa¸cons de repr´esenter des fonctions de plusieurs
variables :Alg´ebriquementGraphiquement
Num´eriquement
Repr´esentation alg´ebrique
f(x1,x2,x3) =5x21ex2+x3q x21+x22+x23.
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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRepr´esentation graphique Pour une fonctionf(x,y) de 2 variables, on dessine unesurface au dessus de son domaine de d´eifinitionD.Pour chaque couple (x0,y0)∈D, un seul point (x0,y0,z0)
appartient `a cette surface {(x,y,z)|(x,y)∈D,z=f(x,y)}.7/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesSurface def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy,x,y∈[-3,3] 8/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : courbes de niveau Les c ourbesd en iveaud 'unef onctionf(x,y)de 2 va riabless ontl es courbes d'´equationsf(x,y) =ko`uk∈I.Remarques Des courbes de niveau rapproch´ees indiquent une fortevariation de la fonction dans cette r´egion.Des courbes de niveau ´eloign´ees indiquent que la fonction est
relativement constante dans cette r´egion. 9/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesCourbes de niveau def(x,y) =x2+ 2y2+ sin2xy, k∈ {0,2.5,...,17.5,20}10/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRepr´esentation num´eriqueA l'aide d'un tableau :
x3 4 50.022.5 21.0 19.8
y0.521.6 20.7 19.61.021.1 20.7 19.9
1.520.9 21.1 20.6
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Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 12/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition intuitive : limite d'une fonction de 2 variables La l imited ef(x,y) quand (x,y) tend vers (a,b)va utL(i.e., lim(x,y)→(a,b)f(x,y) =L) si les valeurs def(x,y) peuvent ˆetre rendus aussi proche que l'on veut deLen prenant (x,y) suiÌifiÌisammentproche de (a,b) (mais pas ´egal `a (a,b)).D´eifinition formelle : limite d'une fonction de 2 variables
lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =Lsi, pour toutϵ >0, il existeδ >0 tel que |f(x,y)-L|< ϵ∀(x,y)∈D∩Bδ(a,b), o`uBδ(a,b) ={(x,y)|(x-a)2+ (y-b)2< δ2}.13/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesPour montrer qu'une limite n'existe pas, il suiÌifiÌit de montrer que la
limite est difff´erente le long de deux chemins se rendant en (a,b).Quelques loislim(f(x,y) +g(x,y)) = limf(x,y) + limg(x,y)lim(f(x,y)-g(x,y)) = limf(x,y)-limg(x,y)limf(x,y)g(x,y) = limf(x,y)limg(x,y)limcf(x,y) =climf(x,y) o`uc∈Rlim
f(x,y)g(x,y)=limf(x,y)limg(x,y)si limg(x,y)̸= 014/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : fonction continue Une fonctionfde 2 variables estc ontinuee n( a,b)si lim (x,y)→(a,b)f(x,y) =f(a,b).Une fonctionfestcon tinuesu rs ond omaineDsi elle est continue en tout point (a,b)∈D.15/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRemarques
Une fonctionf(x,y) est discontinue en (a,b) d`es que lim(x,y)→(a,b)f(x,y) n'existe pas ou que lim (x,y)→(a,b)f(x,y)̸=f(a,b).La surface d'une fonction discontinue contient n´ecessairement un trou ou une fracture. 16/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesPar les lois sur les limites et la d´eifinition de la continuit´e, il
d´ecoule que les sommes, les difff´erences, les produits et les quotients de fonctions continues sont aussi continues sur leur domaine de d´eifinition.En particulier, tout polynˆome est une fonction continue et toute fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est continue sur son domaine. 17/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesProposition
Sifest une fonction continue de 2 variables etgune fonction continue d'une variable d´eifinie sur l'image def, alors la fonction compos´eeh=g◦fd´eifinie parh(x,y) =g(f(x,y)) est aussi continue.Remarque Toutes les d´eifinitions et r´esultats pr´ec´edents se g´en´eralisent aux fonctions de plus de 2 variables. 18/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesTable des mati`eres
1Fonctions de plusieurs variables
Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 19/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesRappel : d´eriv´ee d'une fonction d'une variableSoitf(x) :D⊆R→Reta∈D, alors
f ′(a) =dfdx x=a= limh→0f(a+h)-f(a)h si la limite existe. f ′(a) = taux de variation defau pointx=a = pente de la tangente defau pointx=a f(a+h)-f(a)h sihest petit20/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) :D⊆R2→Ret (a,b)∈D. Lad ´eriv´eep artielled ef par rapport `axen (a,b)es t f x(a,b) =∂f∂x(a,b) = limh→0f(a+h,b)-f(a,b)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation defpar rapport `ax(en gardanty=bifixe) au point (x,y) = (a,b).De mˆeme, la
d ´eriv´eep artielled efpar rapport `ayen (a,b)es t f y(a,b) =∂f∂y(a,b) = limh→0f(a,b+h)-f(a,b)h .21/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesLorsqueyest ifixe `ab, on peut voirf(x,y) comme une fonction d'une seule variableg(x) =f(x,b). Dans ce cas, fx(a,b) =g′(a).En posantG(y) =f(a,y), on trouve aussify(a,b) =G′(b).Par cons´equent, une d´eriv´ee partielle n'est rien de plus que la
d´eriv´ee d'une fonction d'une seule variable. 22/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesCalcul d'une d´eriv´ee partielle Soitf(x,y) une fonction de deux variables.Pour calculerfx(x,y), on consid`ereycomme une constante et on d´erive par rapport `ax.Pour calculerfy(x,y), on consid`erexcomme une constante eton d´erive par rapport `ay.D´eifinition : d´eriv´ee partielle d'une fonction denvariablesSoitf(x1,...,xn) :D⊆Rn→Ret⃗a= (a1,...,an)∈D. Alors
f xi(⃗a) = limh→0f(a1,...,ai-1,ai+h,ai+1,...,an)-f(a1,...,an)h si la limite existe. 23/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesApproximation d'une d´eriv´ee partielle Si la fonction n'est pas connue sous forme analytique, on peut quand mˆeme faire des approximations des d´eriv´ees partielles lorsque la fonction est connue num´eriquement ou graphiquement par courbes de niveau. On peut alors utiliser l'une des formules d'approximation suivantes, appel´ees formules aux difff´erences ifinies (hest petit) :f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a,b)h f x(a,b)≈f(a,b)-f(a-h,b)h f x(a,b)≈f(a+h,b)-f(a-h,b)2h24/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesRepr´esentation des fonctionsLimites et continuit´e
D´eriv´ees partiellesD´eifinition : d´eriv´ees partielles d'ordre sup´erieur Les d´eriv´ees partielles sont aussi des fonctions qui peuvent ˆetre d´eriv´ees pour obtenir des d ´eriv´eesp artiellesd 'ordresu p´erieurOrdre 2 :fxx(x,y) =∂2f∂x2(x,y)
f yy(x,y) =∂2f∂y2(x,y) f xy(x,y) =∂2f∂y∂x(x,y) f yx(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y) Ordre 3 :fxxx(x,y),fyyy(x,y),fxxy(x,y),fxyx(x,y),...Th´eor`emeSifxyetfyxsont continues, alorsfxy=fyx.25/46
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
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Repr´esentation des fonctions
Limites et continuit´e
D´eriv´ees partielles
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Plan tangent et approximation lin´eaire
D´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 26/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesPlan tangent `a une surface Soitf(x,y) une fonction de deux variables. L'´equation du plan tangent `a la surfacez=f(x,y) au point (x0,y0,z0) (o`u z0=f(x0,y0)) est donn´ee par :
z=z0+fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0,y0)(y-y0).Approximation lin´eaire Le plan tangent peut servir d'approximation def(x,y) autour de (x0,y0). On parle d'approximationl in´eaireou d el in´earisationd e f(x,y). f(x,y)≈L(x,y) =f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x-x0)+fy(x0,y0)(y-y0).27/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition intuitive : fonction difff´erentiable
Une fonctionf(x,y) qui peut ˆetre approxim´ee convenablement par un plan autour d'un point (x0,y0) est dited ifff´erentiablee n( x0,y0).Th´eor`eme Sifxetfyexistent `a proximit´e de (x0,y0) et sont continues en (x0,y0), alorsf(x,y) est difff´erentiable en (x0,y0).28/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition : difff´erentielle Soitf(x,y) une fonction difff´erentiable en (x0,y0). Alors la difff´erentielle def(x,y) en (x0,y0)es td onn´eep ar: dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy.Remarque La difff´erentielle mesure la difff´erence entre l'approximation propos´ee parL(x,y) au point (x0+dx,y0+dy) etf(x0,y0), i.e.,L(x,y) =z0+dz.29/46
Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesFonctions denvariablesSoitf(⃗x) =f(x1,x2,...,xn) une fonction denvariables et
a= (a1,a2,...,an) un point du domaine de d´eifinition def(⃗x). Posonsz=f(⃗x).L'´equation du plan tangent def(⃗x) en⃗aest donn´ee par : z=f(⃗a) +nX i=1∂f∂xi(⃗a)(xi-ai).La difff´erentielle def(⃗x) en⃗aest donn´ee par : dz=nX i=1∂f∂xi(⃗a)dxi.30/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
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2Approximations des fonctions de plusieurs variables
Plan tangent et approximation lin´eaire
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D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 31/46Fonctions de plusieurs variables
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D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesRappel Siy=f(x) o`ux=g(t), alorsy=f(g(t)) est une fonction detet dydt =dydx dxdt .Cas 1 Siz=f(x,y) o`ux=g(t) ety=h(t), alorsz=f(g(t),h(t)) est une fonction detet dzdt =∂z∂xdxdt +∂z∂ydydt .32/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesCas 2Siz=f(x,y) o`ux=g(s,t) ety=h(s,t), alors
z=f(g(s,t),h(s,t)) est une fonction de deux variablessett, etFonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTable des mati`eres1Fonctions de plusieurs variables
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S´erie de Taylor des fonctions de deux variables 34/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesD´eifinition : d´eriv´ee directionnelle Soitz=f(x,y) une fonction de deux variables et⃗u= (a,b) un vecteur unitaire. La d ´eriv´eedi rectionnelled ef(x,y) en (x0,y0) dans la direction ⃗uest not´eef⃗u(x0,y0) et vaut f ⃗u(x0,y0) = limh→0f(x0+ha,y0+hb)-f(x0,y0)h si la limite existe. Cette d´eriv´ee donne le taux de variation de f(x,y) en (x0,y0) dans la direction⃗u.35/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesProposition f ⃗u(x0,y0) =fx(x0,y0)a+fy(x0,y0)b.D´eifinition : gradient Le vecteur∇f(x0,y0) = (fx(x0,y0),fy(x0,y0)) est appel´e le gradient defen (x0,y0). Notations ´equivalentes : ∇f=grad f= (∂f∂x,∂f∂y) =∂f∂x⃗ı+∂f∂y⃗ȷ.Par cons´equent,
f ⃗u(x0,y0) =∇f(x0,y0)·(a,b).36/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesTaux de variation maximum Le gradient∇f(x0,y0) indique la direction (possiblement, non unitaire) dans laquelle la fonctionf(x,y) a le plus grand tauxde variation en (x0,y0).Le taux de variation maximal vaut∥∇f(x0,y0)∥.∇f(x0,y0) (si̸=⃗0) est perpendiculaire `a la tangente `a la
courbe de niveau qui passe par (x0,y0).37/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesFonctions de plus de 2 variables Soitf(x1,x2,...,xn) une fonction denvariables.Gradient :∇f=∂f∂x1⃗ı1+∂f∂x2⃗ı2+...∂f∂xn⃗ınD´eriv´ee directionnelle dans la direction
⃗u: f ⃗u=∇f·⃗uDirection de croissance maximale =∇f38/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesVecteur normal `a une courbe Soitf(x) une fonction d'une variable etCla courbe d´eifinie par y=f(x). PosonsF(x,y) =f(x)-y. Alors, le vecteur n=∇F(x0,f(x0)) = (f′(x0),-1) est perpendiculaire `aCen (x0,f(x0)).Vecteur normal `a une surface Soitf(x,y) une fonction de deux variables etSla surface d´eifinie parz=f(x,y). PosonsF(x,y,z) =f(x,y)-z. Alors, le vecteur n=∇F(x0,y0,f(x0,y0)) = (∂f∂x(x0,y0),∂f∂y(x0,y0),-1) est normal `aSen (x0,y0,f(x0,y0)).39/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesPlan tangent `a une surface SoitSune surface d´eifinie parF(x,y,z) =k. Alors,∇F(x0,y0,z0) est un vecteur normal `aSen (x0,y0,z0). De plus, l'´equation du plan tangent `aSen (x0,y0,z0) est : F x(x0,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y0)+Fz(x0,y0,z0)(z-z0) = 0 si∇F(x0,y0,z0)̸=⃗0. En particulier, siF(x,y,z) =f(x,y)-z, alors l'´equation devient : z=z0+fx(x0,y0)(x-x0) +fy(x0,y0)(y-y0) =L(x,y).40/46Fonctions de plusieurs variables
Approximations des fonctions de plusieurs variablesPlan tangent et approximation lin´eaireD´erivation des fonctions compos´ees
D´eriv´ee directionnelle et gradient
S´erie de Taylor des fonctions de deux variablesDroite normale `a une surface SoitSune surface d´eifinie parF(x,y,z) =k. Alors,∇F(x0,y0,z0) est la direction de la droite normale `aSau point (x0,y0,z0) et les ´equations param´etriques de cette droite sont : x=x0+tFx(x0,y0,z0) y=y0+tFy(x0,y0,z0)t∈Rquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25[PDF] méthode de monte carlo algorithme
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