Quelles alternatives pour lenseignement du calcul algébrique au PDF

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Quelles alternatives pour lenseignement du calcul algébrique au

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AIX MARSEILLE UNIVERSITE

Thèse présentée pour obtenir le grade

Discipline

collège

Souten

Remerciements

la co oir de nouveaux aspects à explorer. Je remercie également présidence

4OMMAIRE

Sommaire

INTRODUCTION

CHAPITRE 1

1.1

1.1.2 Des technologies évanescentes au regard des praxéologies enseignées aux élèves

Quels savoirs opérationnels pour enseigner le calcul algébrique

1.2.1 Des technologies et des théories mathématiques inopérantes

Le technologico 1.3.1

1.3.2 La tension entre praxéologies de modélisation et de déduction

1.3.4 Une modélisation algébrico

1.4.1

1.4.2 Tr

1.4.3 Analyse épistémographique

1.4.4 Un manque à explorer

praxémique.

1.4.6 Une propriété fondamentale

1.4.7 Propriétés de la dialectique entre les dimensions sémiolinguistique et

Le calcul algébrique

1.5.1Caractères formalisateur, unificateur et généralisateur des savoirs à enseigner

1.5.2Unification de pratiques anciennes numériques et des pratiques algébriques

1.5.3 Double mouvement de généralisation et systèmes de nombres

1.5.4 Généralisation du côté des polynômes et formalismes no

HAPITRE 2

2.1 Des aspects formalisateur, unificateur et généralisateur qui affleurent dans les savoirs à

2.1.1 Unification de praxis numériques anciennes

2.1.2 Unification des types de tâches de développement et de factorisation

2.1.3 Caractères formalisateurs et généralisateurs de la distributivité

2.1.4 Conclu

généralisatrice

2.2.1 Conditions et contraintes héritées des praxis numériques anciennes du primaire

e Enseigner la distributivité comme formalisatrice, unificatrice et généralisatrice

2.3.1 Des pratiques enseignantes qui enrichissent les situations des manuels

2.3.2 Une étude de cas

unificateur et généralisateur de Jérôme

2.3.3 Discours et théories dans les classes

Conclusion

HAPITRE 3

3.1. Analyses a priori FUG

3.1.2 Situation de calculs de produits

6OMMAIRE

a priori

3.1.4 Analyse a priori

Analyses a posteriori FUG

3.2.1 Analyse a posteriori de la situation de calculs de pro

3.2.2 Analyse a posteriori

3.2.3 Analyse a posteriori de la situation de formulation

3.2.4 Analyse a posteriori

3.2.5 Analyse a posteriori

Conclusion et perspectives

HAPITRE 4

4.1.

4.1.1 Préambule

4.1.2 Analyse de manuels

4.1.3 Substitution et pratiques enseignantes

4.1.4 Conclusion

Réflexion épistémologique sur la notion de substitution

4.3.1 Substitution et formalismes

4.3.2 Substitution et adaptations

4.3.3 Quels ostensifs lier à la substitution

De nouveaux enjeux formalisateur, unificateur et généralisateur

CONCLUSIONS

BIBLIOGRAPHIE

Introduction

au collège. Elle trouve son origine dans les observations récurrentes de d

algèbre élémentaire. Les erreurs de calcul résistent, et continuent à être observées à intervalles

ȩn 2010,

ȩn, Matheron, Bosch & Gascȩn 2012 pour les plus récents). Les ingénieries reconstruction du contenu du travail algébrique modélisant auteurs notent toutefois une certaine inertie et un témoignent de des adaptations fines de connaissances liées à ces tech

(Constantin 2008), en suivant deux élèves tout au long de leur année de Seconde

ions de savoirs

1997, Pilet 2012) liant outil et objet (Douady 1991), ou dans celle de la modélisation

se pas cette approche comme concurrentielle de celle des travaux axés sur la

NTRODUCTION

mais bel et bien comme les multiples facettes du travail engagé dans le calcul algébrique. Nous présentons ci voient naître ou vivre, et les relations entre ces savoirs. La prise comme tel par le système éducatif, notammen savoirs appris, avec des allers r praxéologie (Chevallard 1997). Toutefois, d

2012) les points de vue apportés par les disciplines de la linguistique, ou de la sémiotique

pécificité des savoirs relatifs aux objets algébriques. Dans la déploient essentiellement dans trois dimensions (notionnelle, sémio es

réflexion, alors que les cloisonnements de techniques se faisaient prégnants dans les pratiques

nos premières pistes a tout

10NTRODUCTION

nous conduisent également à caractériser les liens entre les différents systèmes de nombres

e (Brousseau 1998) complète nos fondements : nous envisageons de construire un milieu lié à des écritures et usage des propriétés mathématiques conduisent à penser que les savoirs à enseigner de nature mathématique ne livrent pas les qui commettent des erreurs fondent leur pratique sur des éléments ostensifs peu pertinents. a priori gébrique. Nous mettons en perspective ces résultats avec les discours sémio

partir des caractères formalisateur, unificateur et généralisateur, et ce plus spécifiquement

la transposition des savoirs à enseigner et enseignés sur la distributivit

NTRODUCTION

aux

de calcul de produits de nombres entiers donnés à effectuer aux élèves, mentalement ou en les

ités consiste à leur demander ensuite de décrire les techniques mises sont invités à produire des discours pour décrire une " distributivité et aux manipulations attenantes. alors a a posterioriinédite, par suite, constituer une nouvelle perspective de recher

12NTRODUCTION

Figure 0

et les savoirs mathématiques dans le domaine du calcul algébrique

Une transposition possible des savoirs

à enseigner sur la distributivité :

Formaliser, Unifier et Généraliser ?

Une ingénierie didactique pour

introduire la distributivité comme notion formalisatrice, unificatrice et généralisatrice

La substitution, une notion

formalisatrice, unificatrice et généralisatrice complémentaire et incontournable ?

Chapitre 1

mathématiques dans le domaine du calcul

16HAPITRE 1

INTRODUCTION

Ce chapitre poursuit un double objectif. Il étudier les spécificités des s fondements théoriques sur lesquels nous nous appuierons par la suite résultats obtenus au fil de la recherche1 le peu La mise en perspective de travaux de divers efficacement les savoirs mathématiques. Lespour décrire des concernant des savoirs de nature numérique, dans le cadre de la théorie ant nt des formalismes

élisation au travail du modèle.

NTRODUCTION

applications dun langage mathématique.

18HAPITRE 1

1.1 DES ERREURS DELEVES ET DES

Cette partie vise à problématiser un constat désarmant dans la pratique du calcul algébrique. Pour cela, nous mettons en regard, dans un premier menée en 2008, concernant la biographie

déjà ancienne, celle de Tonnelle (1979) à propos de la factorisation en 3e. Nous les

tilisés dans le accompagnent. En nous appuyant s travaux (Croset 2009 ou Assude, Coppé, Pressiat 2012), nous permettant de 1.1.1

Des difficultés de

étude de la biographie didactique de

les rencontrent dans le calcul algébrique. Ces difficultés rel du didactique, qui permettentpraxéologies 3 praxis logos, correspondant au savoir. algébrique qui nainsi de la reconnaissance 2 3

ES ERREURS DELEVES ET DES SAVOIR

techniques, dans la globalité des attentes institutionnelles, sont de nature ne précisent ces caractéristiques x² x) + 2(x 4) puis B = (x x)(x x²

8) et s'arrête. Le type de tâche relève de la factorisation d'une somme de deux binôme

a priori x(x x 4) avant de factoriser cette nouvelle x x x² x) pour celax x² x)x 4)?x

protomathématiques, qui comme les notions de forme ou de simplicité, sont caractérisées par

a priori. de la pour le bon entendement de celui, la maîtrise en question figurant alors comme prérequis du implic dans le contrat didactique, par le fait - difficulté protomathématique et ru4.

4 contrat didactique

20HAPITRE 1

d5 x+3)² x- x+3)(x+3) x- x-quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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