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Interpolation et Approximation. Remarque. L'ordre des {xi} n'a aucune importance pour la formule de Newton (1.5). Si l'on permute les données (xiyi)



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Approximation des dérivées dune fonction

En particulier la formule est exacte pour l'horaire d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré. Exercice 4.1 - 1 [Sans ordinateur] a). Interprétez et 



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I. Interpolation

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Leçon 02 – Cours : Fonctions à plusieurs variables

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§ 7 (suite) Calcul du pH de solutions - EPFL

type d’approximation peut être effectué en négligeant la contribution à la concentration de OH– du second équilibre d’une base diprotique B + 2 H 2O ? BH+ + OH– + H 2O ? BH 22+ + 2 OH– pK b1 pK b2 150 pH d’une solution d’un acide fort Soit une solution aqueuse d’un acide fort HA de concentration analytique c a La



PURE MATH 944 - DIOPHANTINE APPROXIMATION Theorem 01

PURE MATH 944 - DIOPHANTINE APPROXIMATION 5 Proof Let d= gcd(N;M) and write N 1 = N d;M 2 = M d It su ces to count the number of pairs of positive pairs of integers (x;y) for which jN 1x M 1yj A d where 1 x M 1dand 1 y N 1d Call such a pair (x;y) and admissible pair Suppose x 1N 1 y 1M 1 = x 2N 1 y 2M 1 with (x 1;y 1);(x 2;y 2) admissible



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linear and quadratic approximation of functions Rn!R The linear approximation is then L(x) = f(a) + rf(a)(x a) where rf(a) = df(a) = [f x 1 (a); ;f xn (a)] is the Jacobian matrix which ii a row vector Now since we can see df(x) : Rn!Rn the second derivative is a matrix d2f(x) = H(x) It is called the Hessian

What is the quadratic approximation q(x;y;z)?

The quadratic approximation Q(x;y;z) = 2 22(x 1)+2(y 1)+2(z 1)+( 10(x 1)2+2(y 1)2+2(z 1) )=2 is the situation displayed to the right in Figure (2). 17.13.

How do you use a differential approximation?

Write the linearization of a given function. Draw a graph that illustrates the use of differentials to approximate the change in a quantity. Calculate the relative error and percentage error in using a differential approximation. We have just seen how derivatives allow us to compare related quantities that are changing over time.

How to calculate sin 62° using linear approximation?

First we note that since ? 3 rad is equivalent to 60°, using the linear approximation at x = ? / 3 seems reasonable. The linear approximation is given by L(x) = f( ? 3) + f ? ( ? 3)(x ? ? 3). Therefore, the linear approximation of f at x = ? / 3 is given by Figure 4.2.3. To estimate sin(62°) using L, we must first convert 62° to radians.

What is the secret of linear approximation?

The secret is in linear approximation. This means that we approximate a function like f(x) = x1=3with a linear function. The same can be done with functions of several variables. The linear approximation if of the form L(x) = f(a) + f0(a)(x a). Figure 1. The Abacus scene in the movie Infnity". 17.2. One can also do higher order approximations.

??????? ???p lim 1 x x x ???? ?limf=h= limf=g£g=h?? x

2¿1x3? ???? ???x2»1x3?? ???x3¿0x2?

f f

2+g2»g1

g 2? f

1»f2)f®1»f®2????? ????®2R?

x 2= 0? f??? ??????? ???g? ?? ??? ???? ????f=O(g)? ??9A;x0;8x > x0;jf(x)j< Ajg(x)j h x n¿¢¢¢¿x2¿x¿1¿1 x ¿1 x

2¿¢¢¢

h cf k=0a kxk? ???? ?????? h c f=cofo+c1f1+¢¢¢cnfn+o(fn) f(x)¡P(x) =o(xn)? ??????P(x) =nP k=0a kxk? ?? ?f(x) =a0+a1x+¢¢¢+anxn+o(xn)? n(f) =P???? min(m;n)? n?? ?? ?? n? jxj????? ?? ??1? 1

1¡x= 1 +x+x2+¢¢¢+xn+o(xn)

1

1 +x= 1¡x+x2+¢¢¢+ (¡1)nxn+o(xn)

ln(1 +x) =x¡x2 2 +x3 3

¡ ¢¢¢+(¡1)n+1xn

n +o(xn) e x= 1 +x+x2 2 +x3 6 +¢¢¢+xn n!+o(xn) sinx=x¡x3 6 +x5 120

¡ ¢¢¢+(¡1)nx2n+1

(2n+ 1)!+o(x2n+2) cosx= 1¡x2 2 +x4 24

¡ ¢¢¢+(¡1)nx2n

(2n)!+o(x2n+1) (1+x)®= 1 +®x+®(®¡1) 2 x2+¢¢¢+®(®¡1)(®¡2)¢¢¢(®¡n+ 1) n!xn+o(xn) shx=x+x3 6 +x5 120
+¢¢¢+x2n+1 (2n+ 1)!+o(x2n+2) chx= 1 +x22+x424+¢¢¢+x2n(2n)!+o(x2n+1); 1 a+x=1 a ¡x a 2+x2 a

3¡ ¢¢¢+(¡1)nxn

a n+1+o(xn)???a6= 0??

Arctgx=x¡x3

3 +x5 5

¡ ¢¢¢+(¡1)nx2n+1

2n+ 1+o(x2n+2);

tanx=x+x3 3 +2x5 15 +17x7 315
+o(x8) DL ???(f+g)(x) =P(x) +Q(x) +o(xn)? ln(1 +x)

1 +x= (x¡x2

2 +x3 3 +o(x3))(1¡x+x2+o(x2)) =x¡3x2 2 +11x3 6 +o(x3) ?? ?? ????X=kxa?????a >0?? ?? ?x!0()X!0? ??o(Xn) =o(xan)? ????? ?? ? ?????x >0?cosp x= 1¡x 2 +x2 24
+o(x2)? ??????? ???????(n+ 1)????a;b? (9c)(a < c < b)??? ???f(b) =f(a) + (b¡a)f0(a) +(b¡a)2 2 f00(a) +¢¢¢(1)

¢¢¢+(b¡a)n

n!f(n)(a) +(b¡a)n+1 (n+ 1)!f(n+1)(c) (9µ)(0< µ <1)f(b) =f(a) + (b¡a)f0(a) +(b¡a)2 2 f00(a) +¢¢¢(2)

¢¢¢+(b¡a)n

n!f(n)(a) +(b¡a)n+1 (n+ 1)!f(n+1)(a+µ(b¡a)) (2

0) (9µ)(0< µ <1)f(x) =f(0) +xf0(0) +¢¢¢+xn

n!f(n)(0) +xn+1 (n+ 1)!f(n+1)(µx) (3)f(x) =f(0) +xf0(0) +¢¢¢+xn n!f(n)(0) +o(xn) C h 1 p x+xp x =x¡1=2¡x1=2+x3=2+o(x3=2); x 2+ 1 x+ 1=x¡1 +2 x ¡2 x

2+o(1=x2)??+1

??? ????? ?? ?????? ????? ??a?? MP?

L= limx!0shx¡sinx¡tgx+x

x

1 +x»1 +x=2¡x2=8?ln(1 +x)»x¡x2=2:::??

??? ??????? ????? ???lim(f=g) =A?????A2R?? ????? ??????? ???x®1(lnx)¯1(lnlnx)°1¿+1x®2(lnx)¯2(lnlnx)°2)®1< ®2?? (®1=®2??¯1< ¯2)??(®1=®2?¯1=¯2? ??°1< °2)? ?? ??????? ??? ??? f:x7!exp(1

1 + 2x):

4??ln1 + tgx

1¡tgx

5??Arcsinx

p

1¡x2

4??eArctgx?? ??excosx

3??(1 +x2)1

x ???????s= (sn)n2N?? ????? ?????? ???sn=nX k=01 k ? ??????? ???sn??? f:x7!f(x) =p x+p x

2+ 1¡p

x+p x

2¡1

x 1=x? 3 deg(Q)? lim x!+13p lnshx¡3p x; limx!+1µ ln(x+ 1) xlnx ; limx!0µ

1x+ 2x+¢¢¢+nx

n 1 x f¿ag??g¿ah)f¿ah h¿af??f»ag)h¿ag f f

2+g2»ag

1 g 2) f

1»af2)f®1»af®2????? ????®2R?

h ??fj¿afi? :::¿+11 x

2¿+11

x x x h ???(fi)??? ??????? ?? ?? ????? f=c0f0+c1f1+¢¢¢cnfn+o(fn) f¡Pn¿0xn? f(x) =f(0) +f0(0)x+f00(0) 2 x2+¢¢¢+f(n) n!xn+xn"(x)?????limx!0"(x) = 0? 1

1¡x= 1 +x+x2+¢¢¢+xn+xn"(x)

1 a+x=1 a ¡x a 2+x2 a

3¡ ¢¢¢+(¡1)nxn

a n+1+xn"(x)???a6= 0? ln(1 +x) =x¡x2 2 +x3 3

¡ ¢¢¢+(¡1)n+1xn

n +xn"(x) e x= 1 +x+x2 2 +x3 6 +¢¢¢+xn n!+xn"(x) sinx=x¡x3 6 +x5 120

¡ ¢¢¢+(¡1)nx2n+1

(2n+ 1)!+x2n+2"(x) cosx= 1¡x2 2 +x4 24

¡ ¢¢¢+(¡1)nx2n

(2n)!+x2n+1"(x) (1 +x)®= 1 +®x+®(®¡1) 2 x2+¢¢¢+®(®¡1)(®¡2)¢¢¢(®¡n+ 1) n!xn+xn"(x) shx=x+x3 6+x5

120+¢¢¢+x2n+1

(2n+ 1)!+x2n+2"(x) chx= 1 +x2 2 +x4 24
+¢¢¢+x2n (2n)!+o(x2n+1)

Arctgx=x¡x3

3 +x5 5

¡ ¢¢¢+(¡1)nx2n+1

2n+ 1+x2n+2"(x)

Asinx=x+x3

6 +3x5 40
+¢¢¢+(2n)!x2n+1 2

2n(2n+ 1)(n!)2+x2n+2"(x)

tgx=x+x3 3 +2x5 15 +17x7 315
+x8"(x) (9c)(a < c < b)??? ???f(b) =f(a) + (b¡a)f0(a) +(b¡a)2 2 f00(a) +¢¢¢

¢¢¢+(b¡a)n

n!f(n)(a) +(b¡a)n+1 (n+ 1)!f(n+1)(c)(1) (9µ)(0< µ <1)f(b) =f(a) + (b¡a)f0(a) +(b¡a)2 2 f00(a) +¢¢¢(2)

¢¢¢+(b¡a)n

n!f(n)(a) +(b¡a)n+1 (n+ 1)!f(n+1)(a+µ(b¡a)) (9µ)(0< µ <1)f(x) =f(0) +xf0(0) +¢¢¢+xn n!f(n)(0) +xn+1 (n+ 1)!f(n+1)(µx)(20) f(b) =f(a) + (b¡a)f0(a)+(b¡a)2 2 f00(a) +¢¢¢+(b¡a)n n!f(n)(a) +Rn(3) ????Rn=Z b a(b¡t)n n!f(n+1)(t)dtquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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