[PDF] Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2017 - Métropole

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Exercice 4

Corrigé

17MASOMLR1

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

SESSION 2017

ÉPREUVE DU MERCREDI 21 JUIN 2017

MATHÉMATIQUES

-Série S -

Enseignement Obligatoire Coefficient : 7

Durée de l'épreuve : 4 heures

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants.

Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non

fructueuse, qu'il aura développée.

Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour

une part importante dans l'appréciation des copies. Avant de composer, le candidat s'assurera que le sujet comporte bien 8 pages numérotées de 1 à 8. La page 8 est une annexe à rendre avec la copie. Page 1 sur 8

Sujets Mathématiques Bac 2017

freemaths.fr

France Métropolitaine

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17MASOMLR1

Page 6 sur 8

Exercice 4 (5 points) : pour les candidats n'ayant pas suivi l' enseignement de spécialité On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une populati on, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de to ute autre possibilité : soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est " de type S » ; soit malade (atteint par le virus) ; soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus).

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le

virus.

Pour tout entier naturel

le modèle de propagation du virus est défini par les règles su ivantes : Parmi les individus de type S en semaine í µ, on observe qu'en semaine í µ + 1:

85 % restent de type S, 5 % deviennent malades

et

10 % deviennent immunisés ;

Parmi les individus malades en semaine í µ, on observe qu'en semaine í µ + 1:

65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés.

Tout individu immunisé en semaine í µ reste immunisé en semaine í µ + 1. On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les

événements suivants :

: " l'individu est de type S en semaine " l'individu est malade en semaine í µ » ; : " l'individu est immunisé en semaine En semaine 0, tous les individus sont considérés " de type S » , on a donc les probabilités suivantes : n = 1 n = 0 et n = 0

Partie A

On étudie l'évolution de l'épidémie au cours des semai nes 1 et 2. 1. Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilités do nné ci-dessous : 2.

Montrer que í µí µ

= 0, 2025
3.

Sachant qu'un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au

millième, qu'il ait été malade en semaine 1 ?

France Métropolitaine 201 7 -

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Bac - Maths - 201 7 - Série S

17MASOMLR1 Page 7 sur 8 Partie B On étudie dans cette partie l'évolution à long terme de l'épidémie. Pour tout e ntier naturel í µ, on not e 𝑛=í µí µí±›, 𝑛=í µ(𝑛) et 𝑛=í µ(𝑛) les probabilités respectives des événements 𝑛, 𝑛 et 𝑛. 1. Justifier que, pour tout entier naturel í µ, on a : 𝑛+𝑛+𝑛=1. On admet que la suite (𝑛) est définie par í µn=0 et, pour tout entier naturel í µ: í µí±›í°´?=0,65𝑛+0,05𝑛. 2. À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites 𝑛,𝑛 et 𝑛: ABCD1í µí µí±›í µí±›í µí±›20100310,85000,05000,1000420,72250,07500,2025530,61410,08490,3010640,52200,08590,3921750,44370,08190,4744860,37710,07540,5474...............20180,05360,01330,933021190,04560,01130,943122200,03880,00960,9516 Pour répondre aux questions a et b suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus. a. Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet, par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (𝑛)? b. On admet que les termes de (𝑛) augmentent, puis diminuent à partir d'un certain rang í µ, appelé le " pic épidémique » : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par le modèle. 3. a. Justifier que, pour tout entier naturel í µ, on a : í µí±›í°´?=0,85𝑛. En déduire l'expression de 𝑛 en fonction de í µ. b. Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel í µ, on a : 𝑛=?j0,85í±›-0,65í±› . 4. Calculer les limites de chacune des trois suites 𝑛,𝑛 et 𝑛. Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?

1 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 1.

Justifions que, pour tout entier naturel n, U

n + V n + W n = 1: D'après le cours, nous savons que la somme des probabilités est

égal à 1.

Donc ici:

P ( Sn ) + P M n ) + P I n ) = 1 cad: U n + V n + W n = 1.

Au total, pour tout entier naturel n:

U n + V n + W n = 1. 2. a. Déterminons la formule, saisie dans la cellule C 3 , qui permet de calculer les termes de la suite ( V n

D'après l'énoncé:

V 0 = 0, V n 1 = 0, 65 x V n + 0, 05 x Un

Ainsi, la formule demandée est: << = 0, 65

C 2 + 0, 05 B

2 >> .

En effet:

C 3 = 0, 65 x 0 + 0, 05 x 1. 2. b. Déterminons la valeur du pic épidémique prévue par le modè le: L'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'êtr e malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande est atteinte quand: n = 4.Le pic d'épidémique a donc pour valeur: V 4 = 0, 0859.

EXERCICE 4

Partie B:

[ France Métropolitaine 201 7 ] 2 freemaths frCorrigé - Bac - Mathématiques - 201 7 3. a.

Justifions que, pour tout entier naturel n, U

n 1 = 0, 85 U n

D'après l'énoncé:

" Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu'en semaine n + 1, 85% restent de type S . . . " .

Dans ces conditions:

P ( S n 1 ) = 0, 85 x P ( S n

Ce qui revient à écrire:

U n 1 = 0, 85 x U n , pour tout entier naturel n.

Déduisons-en U

n en fonction de n:

Comme U

n 1 = 0, 85 x U n , d'après le cours nous pouvons affirmer que: U n = U 0 x (

0, 85 )

n , avec: U 0 = 1.

Au total, pour tout entier naturel n:

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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