[PDF] Nouvelle Calédonie 28 novembre 2017

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A. P. M. E. P.

Durée : 4 heures

?Corrigédu baccalauréat STI2D/STLspécialitéSPCL?

Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017

EXERCICE14 points

1.Une primitive defdéfinie pourx>0 parf(x)=3x+2

xest la fonctionFtelle que : a.F(x)=3x2+ln?x2?b.F(x)=3x2

2+2ln(x)c.F(x)=3-2x2d.F(x)=6x-2ln(x)

SiF(x)=3x2

2+2ln(x), alorsF?(x)=32×2x+2×1x=3x+2x.

2.ln(128) est égal à :a.ln(2)+ln(7)b.7ln(2)

c.2ln(14)d.ln(120)+ln(8).

128=27donc ln(128)=ln?27?=7ln(2)

3.On considère le nombre complexez=2eiπ

3où i est le nombre complexe de module 1 et d"argu-

ment

2. Le cube dezest égal à :

a.6ib.-8 c.8d.-8i ?z?3=?

2eiπ

3?3=?2?3?

eiπ3?3=8eiπ3×3=8eiπ=-8

4.L"équation e2x=3 admet comme solution dansR:

a. 3

2b.12ln(3)c.32ed.ln(9)

e

2x=3??2x=ln(3)??x=1

2ln(3)

Exercice26 points

Un kiosque numérique propose des magazines consultables sur tablette. Il avait 4000 abonnés lors de

son lancement. Une étude commerciale montre que chaque année le taux de réabonnement est voisin

de 70% et que le nombre de nouveaux abonnés est d"environ 6000.

1.On calcule le nombre d"abonnés une année après le lancement :4000×70%=2800 et 2800+6000=8800.

2.On calcule le nombre d"abonnés deux années après le lancement :

8800×70%=6160 et 6160+6000=12160.

3.On considère l"algorithme suivant :

Variables:nest un entier naturel.

uest un réel.

Initialisation:Affecter àula valeur 4000

Affecter ànla valeur 0

Traitement:Tant quen<2

uprend la valeur710u+6000nprend la valeurn+1

Sortie :Afficheru

On sort de la boucle "Tant que» quandn=2; il s"affiche donc 12160 en sortie. Corrigédu baccalauréat STI2D / STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

4.On modifie l"algorithme pour afficher le nombre d"années à partir duquel il y aura plus de 15000

abonnés :

Variables:nest un entier naturel.

uest un réel.

Initialisation:Affecter àula valeur 4000

Affecter ànla valeur 0

Traitement:Tant queu?15000

uprend la valeur710u+6000nprend la valeurn+1

Sortie :Affichern

5.Soit la suite(an)définie par :a0=4 et pour toutn?0,an+1=710an+6.

Les termes de la suite (un) donnent le nombre de milliers d"abonnés aprèsnannées de lance- ment.

6.Soit(bn)la suite définie pour tout entiernpar :bn=20-an.

On admet que la suite

(bn)est une suite géométrique de raison7 10. b

0=20-a0=20-4=16

La suite (bn) est géométrique de raisonq=7

10et de premier termeb0=16 donc, pour toutn,

b

0=16×?7

10? n Pour toutn,bn=20-an, doncan=20-bndoncan=20-16×?7 10? n

7.On dépasse 30000 abonnés si on peut trouverntel queun>30.

Maisun=20-16×?7

10? n est inférieur à 20 car 16×?710? n >0.

Donc on ne dépassera jamais 30000 abonnés.

EXERCICE35 points

Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison. Elle les sort de son congélateur à-18°C et les place dans une pièce à 20°C. Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de 1°C.

Premiermodèle

Onsuppose que lavitesse dedécongélation est constante : chaque minute la hausse detempérature des

macarons est la même.

La température des macarons passe, en 15 minutes, de-18°C à 1°C, donc augmente de 19 °C.

En supposant que la vitesse de décongélation est constante,la température des macarons passerait à

1+19=20°C au bout de 30 minutes, et à 20+19=39°C au bout de 45 minutes.

Maisc"est impossible quelatempérature desmacaronssoit supérieure àlatempérature ambiante,donc

le modèle n"est pas pertinent.

Deuxième modèle

On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence de tempéra-

ture entre les macarons et l"air ambiant (il s"agit de la loi de Newton).

On désigne parθla température des macarons à l"instantt, et parθ?la vitesse de décongélation.

L"unité de temps est la minute et l"unité de température le degré Celsius.

On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu"il existe un nombre réel

atel que, pourtpositif :θ?(t)=a?θ(t)-20?(E)

1.θ?(t)=a?θ(t)-20???θ?(t)=aθ(t)-20a??θ?(t)-aθ(t)=-20aqui s"écritθ?-aθ=-20a.

D"après le cours, l"équation différentielley?+ay=b(aveca?=0) a pour solutions les fonctionsf

définies parf(t)=ke-at+b aoùkest un réel quelconque.

Donc l"équation différentielleθ?-aθ=-20aa pour solutions les fonctionsθdéfinies par

θ(t)=keat+20 oùk?R.

Nouvelle-Calédonie228 novembre2017

Corrigédu baccalauréat STI2D / STL spécialité SPCLA. P. M. E. P.

On rappelle que la température des macarons à l"instantt=0 est égale à-18 °C et que, au bout de

15 min, elle est de 1 °C.

2.• Onsait queθ(0)=-18 doncke0+20=-18 donck=-38; on endéduitqueθ(t)=20-38eat.

• On sait queθ(15)=1 donc 20-38e15a=1 ce qui équivaut à e15a=-19 -38ou encore e15a=12, c"est-à-dire 15a=ln1

2soit 15a=-ln2; on en déduit quea=-ln215.

On a donc démontré queθ(t)=20-38e-tln2

15.

3.La température idéale dedégustation desmacaronsétant de15°C,Marieestime que celle-ci sera

atteinte au bout de 30 min.

Au bout de 30 minutes, la température sera de

θ(30)=20-38e-30×ln2

15=20-38e-2ln2=20-384=10,5°C. Donc Marie a tort.

Il faut chercher une températuretpour laquelleθ(t)=15; on résout cette équation :

θ(t)=15??20-38e-tln2

15=15??5=38e-tln215??538=e-tln2

15??ln?538?

=-tln215 ln?5 38?
-ln215=t Or ln?5 38?
-ln215≈43,9 donc il faudra attendre environ 44 minutes.

EXERCICE45 points

Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées après 90 jours d"élevage. Un

poulet de 90 jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre 2,8 kg et 3,2 kg.

1.L"avicultrice a constaté que la masseM, exprimée en kg, de ses poulets de 90 jours suit une loi

normale de moyenneμ=3 et d"écart typeσ=0,1.

a.La probabilité qu"un poulet de 90 jours prélevé au hasard soit conforme est, d"après le cours,

b.La probabilité que la masse d"un poulet de 90 jours prélevé auhasard soit supérieure à 3,3 kg

estP?M>3,3?≈0,001 (à la calculatrice).

2.On admet dans cette question que 95% des poulets de 90 jours sont conformes donc la probabi-

lité qu"un poulet soit non conforme estp=1-0,95=0,05. Un rôtisseur achète tous les samedis 100 de ces poulets. On admet que le nombre de poulets de

l"élevage est suffisamment important pour que cet achat puisse être assimilé à un prélèvement

avec remise.

On appelleXla variable aléatoire égale au nombre de poulets non conformes, c"est-à-dire dont

la masse n"est pas dans l"intervalle[2,8 ; 3,2].

a.L"achat peut être assimilé à un prélèvement avec remise dansun lot de 100 poulets, avec une

probabilité de non conformité égale à 0,05; donc on peut direque la variable aléatoireXqui

donne le nombre de poulets défectueux dans le lot de 100 suit la loi binomiale de paramètres n=100 etp=0,05. b.L"espérance mathématique deXestnp=100×0,05=5; c"est le nombre moyen de poulets non conformes que l"on peut trouver dans un lot de 100 poulets.

3.Lors de son dernier achat, le rôtisseur a compté 9 poulets nonconformes. Il se plaint auprès de

l"éleveur. Avec un tableur, on a calculé les probabilitésP(X?a) pouraallant de 0 à 13. a0123456 a78910111213 a.Rappel du cours de première

Nouvelle-Calédonie328 novembre2017

Corrigédu baccalauréat STI2D / STL spécialité SPCLA. P. M. E. P. tillon aléatoire de taillen, d"une variable aléatoireXde loi binomiale, est l"intervalle?a n;bn? dans lequel : •aest le plus petit entier tel queP(X?a)>0,025; •best le plus petit entier tel queP(X?b)?0,975. En observant le tableau ci-dessus, on trouvea=1 etb=10 ce qui conduit à l"intervalle de fluctuation à 95% :I=?1

100;10100?

=[0,01 ; 0,10]. b.La fréquence observée par le rôtisseur est de9

100=0,09; cette fréquence appartient à l"inter-

valleIdonc le rôtisseur n"a pas de raison de se plaindre, au risque de 5%.

Nouvelle-Calédonie428 novembre2017

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