Combinatoire & Probabilités 3MStand/Renf Jean-Philippe Javet PDF

EXERCICES corrigés de PROBABILITES

Dessine l'arbre des possibles par les probabilités Pour la seconde balle de service elle réussit dans 80 % des cas donc elle échoue dans 20 % des cas.

Fiche 4A Exercices sur les probabilités menant à des arbres Un

On tire alors une seconde carte. a) Quel est le nombre de résultats possibles ? b) Calculer la probabilité des évènements suivants : A : les 2 cartes

Nature : Bilans de connaissances et de compétences en lien avec

le parcours peut s'arrêter à l'exercice 7 (programme exigible de 2nde) ou aller un peu Utiliser un arbre pour dénombrer calculer une probabilité.

PROBABILITÉS EN CLASSE DE SECONDE

Pour les calculs de probabilités on utilise des arbres

Introduction aux probabilités et à la statistique Jean Bérard

1.5.3 Représentation en arbre des modèles probabilistes . . . . . . . 60 «La probabilité pour qu'un paquet de données mette plus de 01 seconde pour.

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE

On appelle probabilité conditionnelle de B sachant A la probabilité que L'expérience aléatoire peut être schématisée par un arbre pondéré (ou arbre de.

PROBABILITES

http://www.maths-et-tiques.fr/index.php/cours-et-activites/activites-et-exercices/niveau-seconde. II. Probabilité d'un évènement. 1) Arbre des possibles.

Combinatoire & Probabilités 3MStand/Renf Jean-Philippe Javet

2.4 Probabilités en utilisant un diagramme en arbre . rentes puis une seconde opération peut être effectuée de n2 manières.

Seconde DS probabilités Sujet 1

1) Utiliser un arbre ou un tableau pour donner le nombre de jetons de chaque sorte. 2) On tire un jeton au hasard : on suppose qu'il y a équiprobabilité. Soit A

Exercices - Probabilités - Seconde STHR

A l'aide d'un arbre montrer qu'il y a 16 nombres possibles. 2. On choisit un de ces nombres au hasard. • Calculer la probabilité pour que les quatre chiffres

nde 9 Exercices corrigés : Arbres & Probabilités Mai 2021

1 a Construire un arbre de dénombrement de toutes les combinaisons possibles (du ler au 4eme enfant) EXERCICE 4A 1 : Un groupe d'élèves de comprend 60 de garçons Tous les élèves étudient I 'anglais en L VI 40 des filles et 60 des garcons étudient I 'allemand en L V 2 Tous les élèves qui nefont pas allemand étudient I

Probabilité conditionnelle; indépendance - u-bordeauxfr

L’arbre des possibles permet de visualiser les issues d’une expérience aléatoire 2) Probabilité Définition : Les fréquences obtenues d’un événement E se rapprochent d’une valeur théorique lorsque le nombre d’expérience augmente (Loi des grands nombres) Cette valeur s’appelle la probabilité de l’événement E bleu

Exercices de seconde sur les probabilités - Apimaths

1 Recopier et compléter l’arbre suivant : A B A B C 2 Quelle loi de probabilité modélise l’expérience? 3 Déterminer le nombre de codes possibles 4 Déterminer la probabilité de chacun des évène-ments suivants E:« Le code se termine par A » F:«Le code est formé de deux lettres différentes » G:« Le code comporte la lettre

Seconde Arbres de probabilités - LeWebPédagogique

Règle 2 ( règle de la somme ) La probabilité d’un évènement correspondant à plusieurs chemins sur l’arbre est la somme des probabilités de tous ces chemins Exercice Dans un lycée il y a a = 60 de filles et b = 40 de garçons Parmi les filles : p = 10 sont internes ; q = 85 sont demi-pensionnaires ; r = 5 sont externes

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b Arbre de probabilité Il s’agit d’un outil de description qui peut être adapté selon les cas c Tableau à double entrée Il s’agit d’un outil de description qui peut être adapté selon les cas 2/2 Probabilités – Fiche de cours Mathématiques Seconde générale - Année scolaire 2021/2022

Comment calculer la probabilité d'un arbre de probabilités?

C(E) Les rêgles de calculs dans un arbre de probabilités sont les suivantes : Pour calculer la probabilité d'un événement gurant au bout d'une branche, on fait le produit des probabilités gurant sur les branches conduisant à cet événement (on parlera de la probabilité du chemin).

Qu'est-ce que l'arbre de probabilité ?

L' arbe de probabilité (appelé également arbre des issues ou arbre des possibles) permet de visualiser les issues d'une expérience aléatoire. Dans cette fiche, tu vas apprendre à tracer l'arbre de probabilité d'une expérience composée de 2 épreuves successives.

Comment calculer la probabilité d’un événement ?

L’événement E possède 4 issues possibles : As de cœur, as de carreau, as de trèfle et as de pique. La probabilité que l’événement E se réalise est donc égale à : P(E) = 4 32 = 1 8 .

Comment calculer la somme des probabilités des branches de même origine ?

Propriété: La somme des probabilités des branches de même origine (point de départ identique) est égale à 1. N'hésite pas à utiliser cette propriété pour t'assurer que ta pondération est correcte. La somme des probabilités des branches de même origine est toujours égale à 1. 3/5 + 2/5 = 1.

Combinatoire & Probabilités

Stand/RenfJean-Philippe Javet

"Les Joueurs de cartes" Paul Cézanne www.javmath.ch

Table des matières

1 ANALYSE COMBINATOIRE 1

1.1 Le principe de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Perm. - Arrang. - Combi. lequel choisir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 PROBABILITÉS 21

2.1 Premières notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Approche intuitive de la notion de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Probabilités en utilisant un diagramme de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Probabilités en utilisant un diagramme en arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Épreuves de Bernoulli (ou loi binomiale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Et si l"inconnue est la taille de l"arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.7 Probabilité conditionnelle et événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . .

2.8 Un petit mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Bibliographie 51

A Quelques éléments de solutions IMalgré le soin apporté lors de sa conception, le polycopié que vous avez entre les mains contient certainement

quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à son amélioration en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.com

Merci;-)I

1 ANALYSE COMBINATOIREL"analyse combinatoire est l"étude des différentes manières de ranger des objets et permet de répondre à des questions telles que : "Combien de codes différents peut-on proposer sur le cadenas représenté ci-contre?" "Dans une classe de 24 élèves, on doit élire deux délégués de classe. Combien existe-t-il de paires différentes possibles?" La connaissance de ces méthodes de dénombrement est indispensable au calcul élémentaire des probabilités.

1.1 Le principe de multiplicationExemple 1:

Supposons que trois équipes participent à un tournoi dans lequel sont déterminées une première, une deuxième et une troisième place. Pour faciliter l"identification des équipes, nous allons les désigner par les lettresA,B,C. Cherchons le nombre de manières différentes permettant d"attribuer le classement de ces 3 équipes. On peut illustrer ce raisonnement par un diagramme en arbre.A B CB C A C A BC B C A B AABC ACB BAC BCA CAB CBA1 replace2 eplace3 eplaceclassement On remarque que le nombre de possibilités de classement (6) est le produit du nombre de possibilités (3) d"attribuer la première place, par le nombre de possibilités (2) d"attribuer la deuxième place (après que la première place a été attribuée), par le nombre de possibilités (1) d"attribuer la troisième place (les deux premières étant déjà fixées). 1

2 CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRELe raisonnement ci-dessus illustre la règle générale suivante, que

nous utiliserons comme axiome fondamental :

Le principe de multiplication :

Si une première opération peut être effectuée den1manières diffé- rentes, puis une seconde opération peut être effectuée den2manières différentes, puis une troisième opération peut être effectuée den3 manières différentes et ainsi de suite jusqu"à unek-ième opération qui peut être effectuée denkmanières différentes. Alors l"ensemble de toutes ces opérations peut être effectué de : n

1n2n3...nkmanières différentes.Remarque:

L"analyse combinatoire n"est pas l"énumération de toutes les pos- sibilités (souvent long et fastidieux) mais bien le dénombrement de celle-ci par un calcul. Le plus souvent les arbres sont gigantesques, donc difficilement réalisables. On leur préférera souvent le modèle "gobelets" qui permet de compter le nombre de possibilités de les remplir. -Soit par rapport au classement :1 replace2 eplace3

eplace-Soit par rapport à l"équipe :équipeAéquipeBéquipeC,Dans cet exemple, on constate que l"on peut dénombrer soit par rapport

au classement, soit par rapport à l"équipe. Ce ne sera pas toujours le cas.

Il s"agira alors de choisir le bon titre des gobelets.Exemple 2:Une classe se compose de 12 filles et 9 garçons.

De combien de façons peuvent être choisis un président de classe, un vice-président, un trésorier et un secrétaire, si le trésorier doit être une fille, le secrétaire un garçon, et si un étudiant ne peut exercer plus d"une charge., De façon générale, il est recommandé de dénombrer les opérations en commençant par celles où sont imposées les restrictions les plus sévères, et ceci, par ordre décroissant de sévérité.

CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE 3

Exemple 3:Combien peut-on former de nombres entiers de quatre chiffres diffé- rents, si ces nombres doivent être des multiples de 5?, Après avoir complété les gobelets à forte restriction, on peut être amené à séparer le dénombrement en 2 ou plusieurs cas. Les méthodes de dénombrement se classeront selon 3 catégories : •les permutations•les arrangements•les combinaisonsExercice 1.1: Une fille a quatre jupes et six chemisiers. Combien de combinaisons différentes "jupe et chemisier» peut-elle porter?Exercice 1.2: Déterminer le nombre d"entiers positifs inférieurs à 10"000 qui peuvent être formés avec les chiffres 1, 2, 3 et 4 a)si les répétitions sont permises? b)si elles ne sont pas permises?Exercice 1.3: Combien de nombres différents de 5 chiffres distincts peut-on former avec les chiffres de 0 à 9 a)si les nombres doivent être impairs? b) si les deux premiers chiffres de chaque nombre doivent être pairs?Exercice 1.4: Le Sport-Toto était un jeu de pronostics sur 13 matchs de football. Il y a 3 résultats possibles : gagné, perdu ou nul (1; 2; x). Combien de pronostics différents peut-on faire?Exercice 1.5: On veut asseoir 5 hommes et 4 femmes dans une rangée de 9 chaises de manière à ce que les femmes occupent les places paires. Combien y a-t-il de possibilités?

4 CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE

Exercice 1.6:Dans certains pays, les plaques d"immatriculation des automobiles commencent par une lettre de l"alphabet, suivie de cinq chiffres. Calculer combien de plaques d"immatriculation sont réalisables si : a)le premier chiffre suivant la lettre ne peut pas être 0; b) la première lettre ne peut pas être O ou I et le premier chiffre ne peut pas être 0 ou 1.

1.2 Les permutationsIntroduction:

a)Combien d"anagrammes du mot ART peut-on former? b)Même question avec le mot ARA.Définition: On appellepermutationune dispositionordonnéedetousles objets.Remarques: Selon le modèle gobelet, il y a autant de gobelets que d"objets à y introduire. L"ordre de disposition dans ces gobelets est important. La famille d"objets à placer dans les gobelets peut contenir plu- sieurs copies identiques d"un ou plusieurs objets. Dans ce cas, rien ne distingue les permutations de ces objets entre eux et on parle alors de permutation denobjets avec répétitions.Notation:

Pn: nombre de permutations denobjets distincts.

P npr1;...;rkq: nombre de permutations denobjets avec répéti- tions oùr1, ...,rkdésignent le nombre d"objets identiques.

CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE 5

Exemples:

a)Le nbre de permutations des lettres du mot GYMNASE estP7. b)Le nbre de permutations des lettres du mot PROFESSIONS est :P

11p3;2qouP

11p2;3qFormule:Pnn pn1q pn2q ...21Justification :

Définition:

On appelle "nfactorielle"pnP?qet l"on noten!le produit défini par : n!n pn1q pn2q ...21

De plus, on posera par convention 0! = 1Exemples:

4!432124

5!54321120

10!316281800Remarques:

La fonction factorielle admet une croissance spectaculaire :x

123456y

20406080100120

Vous trouverez sur votre calculatrice la touchex!oun!.

6 CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE

Formule:Pnn!Formule:P

npr1;...;rkq n!r

1!r2!...rk!Justification :

Exemple 4:Déterminer le nombre d"anagrammes du mot DIPLÔMES et du mot

MATURITÉ.

Exemple 5:

Un étudiant possède, parmi ses livres, 5 livres de math, 3 livres de géographie et 8 livres d"histoire de l"art. De combien de manières peuvent-ils être rangés sur une étagère si les livres traitant de la même matière sont placés les uns à côté des autres., Il faut décomposerchronologiquementles différentes étapes de range- ment, les dénombrer afin de multiplier ensuite les réponses individuelles

obtenues.Exercice 1.7:Déterminer le nombre d"anagrammes du mot MORGES.Exercice 1.8:Déterminer le nombre d"anagrammes du mot MISSISSIPPI.

Parmi ces anagrammes, combien commencent et se terminent par la lettre S?

CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE 7

Exercice 1.9:Combien de mots peut-on écrire avec les lettres du mot TOULOUSE,

si les consonnes doivent occuper les 1re, 2eet 7epositions?Exercice 1.10:Avec les lettres A, M, O, S et U, on peut créer 120 anagrammes.

En les classant par ordre alphabétique, quelle sera la position du "mot" SOUMA?Exercice 1.11: Les quatre remplaçants d"une équipe de volley prennent place sur le banc des remplaçants. De combien de manières différentes peuvent- ils s"asseoir?Exercice 1.12:Neuf personnes prennent place autour d"une table ronde. a) De combien de manières différentes peuvent-elles s"asseoir? (on ne tient compte que de la position relative des neuf personnes les unes par rapport aux autres) b) Même question, mais un couple de deux amoureux désirent

être voisins.Exercice 1.13:Un représentant s"apprête à visiter cinq de ses clients. De combien

de façons peut-il faire cette série de visite : a)s"il les fait toutes le même jour? b)s"il en fait trois un jour et deux le lendemain?Exercice 1.14: De combien de manières peut-on partager un groupe de dix personnes en deux groupes; un groupe de 7 et un de 3?Exercice 1.15: Le client d"une banque se rappelle que 2, 4, 7 et 9 sont les chiffres d"un code d"accès à quatre chiffres pour le distributeur automatique de billets. Malheureusement, il a oublié le code. Calculer le plus grand nombre possible d"essais nécessaires pour obtenir le code secret.Exercice 1.16: Refaire l"exercice précédent avec les chiffres 2, 4 et 7, en sachant que l"un de ces chiffres se trouve deux fois dans le code d"accès à quatre chiffres.Exercice 1.17:On dispose des sept jetons suivants :¬ ¬ ® ® a) Combien de nombres de sept chiffres peut-on composer en juxtaposant ces sept jetons? b)Combien de nombres sont inférieurs à 1"300"000?Exercice 1.18: On range 6 jetons de couleurs différentes regroupées deux à deux dans trois boîtes. Combien de dispositions différentes existe-t-il?

8 CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE

1.3 Les arrangements

Introduction:

a)Combien de nombres de deux chiffres distincts peut-on former avec les chiffres 5, 6, 7, 8, 9? b) Combien de nombres de cinq chiffres peut-on former avec les chiffres 1 et 2?Remarques: L"ordre d"écriture est très important : par exemple dans le 1er exemple, les nombres 56 et 65 sont différents. Dans le modèle gobelets, il y a plus d"éléments à placer que de gobelets à disposition.Définition:On dispose denobjets : On appellearrangement sans répétitionune dispositionor-

On noteAnple nombre d"arrangements possibles.

On appellearrangement avec répétitionune dispositionor- donnéedepéléments non forcément distincts choisis parmi lesn.

On noteA

n ple nombre d"arrangements possibles.

CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE 9

Remarque:Cette formule est compatible avec celle despermutationsdans le cas d"unarrangement denéléments choisis parmi lesn: A nnn!pnnq!n!0! n!1 n!PnFormule:A n

Exemple 6:

Déterminer le nombre de mots de quatre lettres distinctes formés avec les lettres du mot DIPLÔME?

10 CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE

Exemple 7:Dans l"alphabet braille, chaque lettre ou signe est représenté par

6 points disposés en un tableau de 3 lignes et 2 colonnes, certains

étant en relief.

Combien de signes distincts peut-on composer?.

.....rrrr. .....r rrrr. .....r rr. .....r rrr. .....r. .....rrr. .....rr. .....r rr. .....rr. .....r r. .....r rr. .....r rr. .....rrrr. .....rrrr. .....rr. .....rrr= gymnase de Morges

Exercice 1.19:

De combien de manières 10 personnes peuvent-elles s"asseoir sur un banc de 4 places?Exercice 1.20:Avec les 26 lettres de l"alphabet, a) combien de mots de 5 lettres peut-on former? (les mots n"ont pas nécessairement de signification!) b) Même question, mais en se limitant aux mots formés de 5 lettres différentes.Exercice 1.21: Un immeuble est composé d"un rez-de-chaussée et de 8 étages. Un ascenseur part du rez-de-chaussée avec 5 occupants. a) De combien de manières différentes ces 5 occupants peuvent-ils choisir les étages auxquels ils vont se rendre? b) Même question dans le cas où à chaque étage un occupant au plus quitte l"ascenseur.Exercice 1.22: a) Huit personnes désirent s"asseoir dans un compartiment de cinq places. Combien y a-t-il de possibilités? b) Cinq personnes désirent s"asseoir dans un compartiment de huit places. Combien y a-t-il de possibilités? c) Comment expliquez-vous l"analogie entre ces deux situations?Exercice 1.23: a) Combien y a-t-il d"initiales possibles formées de deux lettres? b)Combien un village doit-il avoir d"habitants pour que l"on soit

sûr que deux personnes au moins ont les mêmes initiales?Exercice 1.24:On considère les nombres 2, 5 et 7.

a) Combien peut-on former de nombres de deux chiffres distincts? b)Parmi eux, combien y a-t-il de nombres pairs?

CHAPITRE 1. ANALYSE COMBINATOIRE 11

Exercice 1.25:On considère un jeu forain où 4 souris, numérotées de 1 à 4 peuvent sequotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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