[PDF] DÉNOMBREMENT ET PROBABILITÉS

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D

´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES

H. Hocquard

HSE 2016-2017

Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES1/36

Probabilit

´es vs StatistiquesExemple introductif

Un joueur parie sur le lancer d"un d

´e, s"il a raison il gagne la valeur

de la face en euros, sinon il ne gagne rien. Que vaut-il mieux parier? •Y r´epondre : faire desprobabilit´es.

•Analyser les fr´equences : faire desstatistiques.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES2/36

Notion d"ensemble

D ´efinition•Unensembleest une collection d"objets appel´es´el´ements.

Ensemble des r

´esultats possibles d"un lanc´e de d´e :

{1,2,3,4,5,6}. •Fest unepartie(ou est inclus, ou est un sous-ensemble) de Esi tous les´el´ements deFsont aussi des´el´ements deE. Cela se noteF?E. •On note∅l"ensemble vide: l"ensemble qui ne contient aucun el´ement. Dans la suite,E,AetBseront trois sous-ensembles d"un ensemble Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES3/36

Notion d"ensemble : l"union

D

´efinitionL"ensemble de tous les

´el´ements qui appartiennent`aAouBou

aux deux est appel

´euniondeAetB, not´eA?B.ABA?BA?B=?x?E|x?Aoux?B?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES4/36

Notion d"ensemble : l"intersection

D

´efinitionL"ensemble de tous les

´el´ements qui appartiennent`a la fois`aAet

aBest appel´eintersectiondeAetB, not´eA∩B.ABA∩BA∩B=?x?E|x?Aetx?B?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES5/36

Notion d"ensemble : la diff

´erenceD

´efinitionL"ensemble de tous les

´el´ements deAqui n"appartiennent pas`aB

est appel

´ediff´erencedeAetB, not´eA-BouA\B.A

BA-BA-B=?x?E|x?Aetx/?B?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES6/36

Notion d"ensemble : l"incompatibilit

´eD

´efinitionDeux ensemblesAetBsontdisjointsouincompatibless"ils n"ont aucun

´el´ement en commun.AB

A∩B=∅Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES7/36

Notion d"ensemble : le compl

´ementaireD

´efinitionL"ensemble de tous les

´el´ements deEqui n"appartiennent pas`aA

est lecompl´ementairedeAdansEnot´e¯A, alorsA∩¯A=∅et

A?¯A=E.ABE{

EA{ EA=?x?E|x/?A?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES8/36

Notion d"ensemble : le produit cart

´esienD

´efinitionL"ensemble de tous les couples d"un

´el´ement deE1et d"un´el´ement

deE2est appel´eproduit cart´esiendeE1etE2, not´eE1×E2.Exemple Attention carE1×E2?=E2×E1comme on peut le voir dans l"exemple suivant : {1,2} × {3,4}={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} {3,4} × {1,2}={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES9/36

Notion d"ensemble : le produit cart

´esienD

´efinitionL"ensemble de tous les couples d"un

´el´ement deE1et d"un´el´ement

deE2est appel´eproduit cart´esiendeE1etE2, not´eE1×E2.Exemple Attention carE1×E2?=E2×E1comme on peut le voir dans l"exemple suivant : {1,2} × {3,4}={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} {3,4} × {1,2}={(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES9/36 D

´enombrementD

´efinitionLe nombre d"

´el´ements d"un ensembleEest appel´ecardinaldeE, not

´eCard(E) ou|E|.Exemple

SiA={1;2;3;a;b;c}alorsCard(A) = 6.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES10/36 D

´enombrementD

´efinitionLe nombre d"

´el´ements d"un ensembleEest appel´ecardinaldeE, not

´eCard(E) ou|E|.Exemple

SiA={1;2;3;a;b;c}alorsCard(A) = 6.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES10/36 D ´enombrement : Formules g´en´eralesProposition

SoientE1etE2deux ensembles finis.

Card(E1?E2) =Card(E1) +Card(E2)-Card(E1∩E2)

Card(E1×E2) =Card(E1)?Card(E2)Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES11/36 D

´enombrement : Principe fondamentalProposition

Supposons qu"il faille r

´ealiser deux exp´eriences. Si l"exp´erience 1 peut produire l"un quelconque demr´esultats et si, pour chacun d"entre eux, il y anr´esultats possibles pour l"exp´erience 2, alors il existem×nr´esultats pour les deux exp´eriences prises ensemble.Remarque

Ce principe se g

´en´eralise facilement`a plusieurs exp´eriences.Exercice

Une petite communaut

´e se compose de dix hommes et de leurs fils,

chaque homme ayant trois fils. Si un homme et l"un de ses fils doivent ˆetre d´esign´es "p`ere et fils exemplaires", combien y a-t-il de choix diff ´erents possibles?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES12/36 D

´enombrement : Principe fondamentalProposition

Supposons qu"il faille r

´ealiser deux exp´eriences. Si l"exp´erience 1 peut produire l"un quelconque demr´esultats et si, pour chacun d"entre eux, il y anr´esultats possibles pour l"exp´erience 2, alors il existem×nr´esultats pour les deux exp´eriences prises ensemble.Remarque

Ce principe se g

´en´eralise facilement`a plusieurs exp´eriences.Exercice

Une petite communaut

´e se compose de dix hommes et de leurs fils,

chaque homme ayant trois fils. Si un homme et l"un de ses fils doivent ˆetre d´esign´es "p`ere et fils exemplaires", combien y a-t-il de choix diff ´erents possibles?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES12/36 D

´enombrement : Principe fondamentalProposition

Supposons qu"il faille r

´ealiser deux exp´eriences. Si l"exp´erience 1 peut produire l"un quelconque demr´esultats et si, pour chacun d"entre eux, il y anr´esultats possibles pour l"exp´erience 2, alors il existem×nr´esultats pour les deux exp´eriences prises ensemble.Remarque

Ce principe se g

´en´eralise facilement`a plusieurs exp´eriences.Exercice

Une petite communaut

´e se compose de dix hommes et de leurs fils,

chaque homme ayant trois fils. Si un homme et l"un de ses fils doivent ˆetre d´esign´es "p`ere et fils exemplaires", combien y a-t-il de choix diff ´erents possibles?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES12/36 D

´enombrement : probl`eme de placementProbl

´ematiqueOn souhaite r

´epondre`a la question suivante : combien y a-t-il de fac¸ons de construire un ensemble dep´el´ements pris dans un ensemble den´el´ements.Ce nombre est diff

´erent selon que l"on autorise ou non les

r ´ep´etitions (prendre plusieurs fois le mˆeme´el´ement) et que l"on tienne compte ou pas de l"ordre des

´el´ements.Il y a quatre possibilit

´es classiques et un cas particulier.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES13/36 D

´enombrement : probl`eme de placementProbl

´ematiqueOn souhaite r

´epondre`a la question suivante : combien y a-t-il de fac¸ons de construire un ensemble dep´el´ements pris dans un ensemble den´el´ements.Ce nombre est diff

´erent selon que l"on autorise ou non les

r ´ep´etitions (prendre plusieurs fois le mˆeme´el´ement) et que l"on tienne compte ou pas de l"ordre des

´el´ements.Il y a quatre possibilit

´es classiques et un cas particulier.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES13/36 D

´enombrement : probl`eme de placementProbl

´ematiqueOn souhaite r

´epondre`a la question suivante : combien y a-t-il de fac¸ons de construire un ensemble dep´el´ements pris dans un ensemble den´el´ements.Ce nombre est diff

´erent selon que l"on autorise ou non les

r ´ep´etitions (prendre plusieurs fois le mˆeme´el´ement) et que l"on tienne compte ou pas de l"ordre des

´el´ements.Il y a quatre possibilit

´es classiques et un cas particulier.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES13/36 D ´enombrement : lesp-listesNombre de tirages avec remise et avec ordre •Dans une urne`anboules, on tirepboules avec remise et avec ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est alorsnp.Exemple

SiE={a,b,c,d,e}, alors il y a 53= 125 mots de 3 lettres.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES14/36

D ´enombrement : lesp-listesNombre de tirages avec remise et avec ordre •Dans une urne`anboules, on tirepboules avec remise et avec ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est alorsnp.Exemple

SiE={a,b,c,d,e}, alors il y a 53= 125 mots de 3 lettres.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES14/36

D ´enombrement : lesp-listesNombre de tirages avec remise et avec ordre •Dans une urne`anboules, on tirepboules avec remise et avec ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est alorsnp.Exemple

SiE={a,b,c,d,e}, alors il y a 53= 125 mots de 3 lettres.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES14/36

D ´enombrement : les arrangementsNombre de tirages sans remise et avec ordre SoientEun ensemble fini`an´el´ements etpun entier v´erifiant •Dans une urne`anboules, on tirepboules sans remise et avec ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est : A pn=n?(n-1)?...?(n-p+ 1) =n!(n-p)!.Exercice Avec les lettres A,B et C, combien y-a-t-il de fac¸ons de former des paires de lettres distinctes? Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES15/36 D ´enombrement : les arrangementsNombre de tirages sans remise et avec ordre SoientEun ensemble fini`an´el´ements etpun entier v´erifiant •Dans une urne`anboules, on tirepboules sans remise et avec ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est : A pn=n?(n-1)?...?(n-p+ 1) =n!(n-p)!.Exercice Avec les lettres A,B et C, combien y-a-t-il de fac¸ons de former des paires de lettres distinctes? Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES15/36 D ´enombrement : les arrangementsNombre de tirages sans remise et avec ordre SoientEun ensemble fini`an´el´ements etpun entier v´erifiant •Dans une urne`anboules, on tirepboules sans remise et avec ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est : A pn=n?(n-1)?...?(n-p+ 1) =n!(n-p)!.Exercice Avec les lettres A,B et C, combien y-a-t-il de fac¸ons de former des paires de lettres distinctes? Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES15/36 D ´enombrement : les combinaisonsNombre de tirages sans remise et sans ordre SoientEun ensemble fini`an´el´ements etpun entier v´erifiant •Dans une urne`anboules, on tirepboules sans remise et sans ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est : C pn=?n p?=Apnp!=n!p!(n-p)!.Exercice Un ´etudiant doit r´epondre`a 7 des 10 questions d"un examen.

De combien de mani

`eres peut-il r´epondre?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES16/36 D ´enombrement : les combinaisonsNombre de tirages sans remise et sans ordre SoientEun ensemble fini`an´el´ements etpun entier v´erifiant •Dans une urne`anboules, on tirepboules sans remise et sans ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est : C pn=?n p?=Apnp!=n!p!(n-p)!.Exercice Un ´etudiant doit r´epondre`a 7 des 10 questions d"un examen.

De combien de mani

`eres peut-il r´epondre?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES16/36 D ´enombrement : les combinaisonsNombre de tirages sans remise et sans ordre SoientEun ensemble fini`an´el´ements etpun entier v´erifiant •Dans une urne`anboules, on tirepboules sans remise et sans ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est : C pn=?n p?=Apnp!=n!p!(n-p)!.Exercice Un ´etudiant doit r´epondre`a 7 des 10 questions d"un examen.

De combien de mani

`eres peut-il r´epondre?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES16/36 D

´enombrement : les combinaisonsPropri

n-1+Cp-1 n-1.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES17/36 D

´enombrement : les combinaisonsPropri

n-1+Cp-1 n-1.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES17/36 D

´enombrement : les combinaisonsPropri

n-1+Cp-1 n-1.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES17/36 D

´enombrement : les combinaisonsPropri

n-1+Cp-1 n-1.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES17/36 D

´enombrement : les combinaisonsPropri

n-1+Cp-1 n-1.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES17/36 D ´enombrement : lesp-suitesNombre de tirages avec remise et sans ordre •Dans une urne`anboules, on tirepboules avec remise et sans ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est :Cp n+p-1=?n+p-1 p?.Exercice

SoitE={1;2;3;4;5;6}.

Combien de couples distincts peut-on cr

´eer?

Les couples (1;2) et (2;1) sont identiques.

Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES18/36 D ´enombrement : lesp-suitesNombre de tirages avec remise et sans ordre •Dans une urne`anboules, on tirepboules avec remise et sans ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est :Cp n+p-1=?n+p-1 p?.Exercice

SoitE={1;2;3;4;5;6}.

Combien de couples distincts peut-on cr

´eer?

Les couples (1;2) et (2;1) sont identiques.

Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES18/36 D ´enombrement : lesp-suitesNombre de tirages avec remise et sans ordre •Dans une urne`anboules, on tirepboules avec remise et sans ordre.•Le nombre de tirages diff´erents est :Cp n+p-1=?n+p-1 p?.Exercice

SoitE={1;2;3;4;5;6}.

Combien de couples distincts peut-on cr

´eer?

Les couples (1;2) et (2;1) sont identiques.

Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES18/36 D ´enombrement : les permutations d"objets distinguablesProposition Le nombre de permutations denobjets estn! =Ann.Exercice

De combien de mani

`eres peut-on disposer 6 livres (distincts) sur une ´etag`ere?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES19/36 D ´enombrement : les permutations d"objets distinguablesProposition Le nombre de permutations denobjets estn! =Ann.Exercice

De combien de mani

`eres peut-on disposer 6 livres (distincts) sur une ´etag`ere?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES19/36 D ´enombrement : les permutations d"objets partiellement distinguablesProposition

Il y a

n!n

1!n2!···nr!

permutations diff

´erentes denobjets parmi lesquels lesni

Parmi les 10 participants

`a un tournoi d"´echec, on compte 4

Franc¸ais, 3 Am

´ericains, 2 Anglais et un Br´esilien. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des nationalit

´es

des joueurs mais pas leur identit

´e,`a combien de classements

individuels diff

´erents une telle liste correspond-elle?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES20/36

D ´enombrement : les permutations d"objets partiellement distinguablesProposition

Il y a

n!n

1!n2!···nr!

permutations diff

´erentes denobjets parmi lesquels lesni

Parmi les 10 participants

`a un tournoi d"´echec, on compte 4

Franc¸ais, 3 Am

´ericains, 2 Anglais et un Br´esilien. Si dans le classement du tournoi on ne peut lire que la liste des nationalit

´es

des joueurs mais pas leur identit

´e,`a combien de classements

individuels diff

´erents une telle liste correspond-elle?Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES20/36

D ´enombrement : en r´esum´eavec ordresans ordre avec r

´ep´etitionsn

pC p n+p-1=?n+p-1 p?sans r

´ep´etitionsA

pnC pn=?n p? Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES21/36

Probabilit

´es : VocabulaireD

´efinitions•Exp´erience al´eatoire: exp´erience donnant un r´esultat que l"on ne peut pr

´evoir`a l"avance. Par exemple, lancer un d´e.•Ensemble fondamentalΩ : ensemble de tous les r´esultats

possibles. Ici Ω ={1,2,3,4,5,6}.• ´Ev`enements ´el´ementaires: sous-ensembles de Ω contenant un seul r ´esultat possible. Ici les´ev`enements´el´ementaires sont donc{1},{2},{3},{4},{5}et{6}.• ´Ev`enement: sous-ensemble de Ω. Si par exempleEest l"

´ev`enement "obtenir un r´esultat pair", alorsE={2,4,6}.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES22/36

Probabilit

´es : VocabulaireD

´efinitions•Exp´erience al´eatoire: exp´erience donnant un r´esultat que l"on ne peut pr

´evoir`a l"avance. Par exemple, lancer un d´e.•Ensemble fondamentalΩ : ensemble de tous les r´esultats

possibles. Ici Ω ={1,2,3,4,5,6}.• ´Ev`enements ´el´ementaires: sous-ensembles de Ω contenant un seul r ´esultat possible. Ici les´ev`enements´el´ementaires sont donc{1},{2},{3},{4},{5}et{6}.• ´Ev`enement: sous-ensemble de Ω. Si par exempleEest l"

´ev`enement "obtenir un r´esultat pair", alorsE={2,4,6}.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES22/36

Probabilit

´es : VocabulaireD

´efinitions•Exp´erience al´eatoire: exp´erience donnant un r´esultat que l"on ne peut pr

´evoir`a l"avance. Par exemple, lancer un d´e.•Ensemble fondamentalΩ : ensemble de tous les r´esultats

possibles. Ici Ω ={1,2,3,4,5,6}.• ´Ev`enements ´el´ementaires: sous-ensembles de Ω contenant un seul r ´esultat possible. Ici les´ev`enements´el´ementaires sont donc{1},{2},{3},{4},{5}et{6}.• ´Ev`enement: sous-ensemble de Ω. Si par exempleEest l"

´ev`enement "obtenir un r´esultat pair", alorsE={2,4,6}.Herv´e HocquardD´ENOMBREMENT ET PROBABILIT´ES22/36

Probabilit

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